Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 11(11)-1.3. 11(11) класс — 1.3. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

1.3 Мыльный пузырь радиуса $R_0$ находится во влажной среде, давление воздуха которой равно $P_0$ . Из-за диффузии воздуха через мыльную пленку пузырь медленно сдувается.

Найдите зависимость скорости изменения радиуса пузыря $\Delta R/\Delta t$ от его же радиуса $R$ . Найдите время, за которое радиус пузыря уменьшится на малую величину $\Delta R$ ( $\Delta R$ ≪ $R_0$ ). Температуру воздуха в пузыре и окружающей среде считайте постоянной. Начальная толщина пленки пузыря равна $h_0$ . Поверхностное натяжение мыльной воды равно $\sigma$ . Испарением пленки пренебречь.

Подсказка. Диффузионный поток (количество молекул воздуха, проходящих через единицу площади пленки в единицу времени) q определяется законом Фика

q=-D\frac{\Delta n}{h},\qquad (1)

где $\Delta n$ - разность концентраций молекул воздуха с разных сторон пленки, h - толщина пленки, D - коэффициент диффузии (считайте известным), знак минус указывает, что поток направлен из стороны большей концентрации в сторону меньшей.

Решение

1.3 В соответствии с законом Фика, скорость изменения числа молекул воздуха внутри пузыря описывается уравнением

\frac{\Delta N}{\Delta t}=-D\frac{n-n_0}hS.\qquad (1)

Величины, входящие в этой уравнение, необходимо выразить через радиус пузыря. Разность давлений воздуха внутри и снаружи пузыря равна Лапласовскому давлению:

P-P_0=\frac{4\sigma}R.\qquad (2)

Разность соответствующих концентраций можно выразить из уравнения состояния

n-n_0=\frac{P-P_0}{kT}=\frac{4\sigma}{kTR}.\qquad (3)

Для записи формулы для числа молекул внутри пузыря также необходимо использовать формулу Лапласа и уравнение состояния

N=nV=n\frac43\pi R^3=\frac43\pi R^3\frac P{kT}=\frac{4\pi R^3}{3kT}\left(P_0+\frac{4\sigma}R\right).\qquad (4)

Формула для площади поверхности хорошо известна:

S=4\pi R^2.\qquad (5)

Наконец, толщина пленки выражается из условия постоянства ее объема:

h\cdot4\pi R^2=h_0\cdot4\pi R_0^2\Rightarrow h=h_0\frac{R_0^2}{R^2}.\qquad (6)

Собирая все формулы воедино, получим уравнение

\frac1{\Delta t}\Delta\left(\frac{4\pi R^3}{3kT}\left(P_0+\frac{4\sigma}R\right)\right)=-D\frac{4\sigma}{kTR}\frac{R^2}{h_0R_0^2}4\pi R^2\Rightarrow\frac{\Delta(P_0R^3+4\sigma R^2)}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3.

Вычисление производной от сложной функции, приводит к окончательному выражению для скорости изменения радиуса пузыря:

(3P_0R^2+8\sigma R)\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3\Rightarrow\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}\frac{R^3}{3P_0R^2+8\sigma R}.\qquad (7)

Отметим, что, если пренебречь лапласовским давлением, по сравнению с атмосферным давлением, то данная скорость пропорциональна радиусу пузыря, то есть радиус пузыря убывает экспоненциально. Так как, по условию задачи изменения радиуса мало, то для вычисления времени уменьшения радиуса можно пренебречь изменением радиуса пузыря и положить его равным $R_0$ . Тогда искомое время определяется формулой

\Delta t=\Delta R\frac{h_0R_0^2}{4\sigma D}\frac{3P_0R_0^2+8\sigma R_0}{R_0^3}=\Delta R\frac{h_0(3P_0R_0+8\sigma)}{4\sigma D}.\qquad (8)

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf