Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 11(11)-1.2. 11(11) класс — 1.2. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

1.2 Два одинаковых проводящих шарика, радиусы которых равны r , а массы m , связаны легкой проводящей пружиной жесткости k , длина которой в недеформированном состоянии равна l ( l ≫ r ). Шарики помещают в однородное электрическое поле, напряженности $E$ , направленной вдоль пружины.

Полная исходная система проводящих сфер/пружины: m,r,k,l,E и стрелка.

Определите амплитуду и период колебаний шариков, возникших после включения электрического поля.

Решение

1.2 При включении электрического поля на шариках индуцируются электрические заряды. Так как шарики и пружинка проводящие, то разность потенциалов между шариками должна быть равной нулю. Учитывая, что l ≫ r , условие эквипотенциальности можно записать в виде

Полные наведенные заряды сфер: −q,+q,r,l,E,пружина и стрелки.

\frac q{4\pi\varepsilon_0r}-\frac{-q}{4\pi\varepsilon_0r}=El.\qquad (1)

Следовательно, величины зарядов равны

q=2\pi\varepsilon_0rlE.\qquad (2)

Взаимодействие этих зарядов с электрическим полем приведет к смещению шариков и деформации пружины. Пусть каждый шарик сместился на расстояние x относительно центра пружины. Тогда

Полная силовая схема сфер: −q,+q,qE,Fупр,Fкул,l+2x,осьx и все стрелки.

уравнение второго закона Ньютона для шарика примет вид

ma=qE-2kx-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.\qquad (3)

Подставляя значение зарядов (с учетом их зависимости от расстояния), получим уравнение

ma=2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E^2-2kx-\frac{(2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E)^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.

Последним слагаемым можно пренебречь в виду малости r . Таким образом, приходим к уравнению движения шарика

ma=-(2k-4\pi\varepsilon_0rE^2)x+2\pi\varepsilon_0rlE^2.\qquad (4)

Из этого уравнения следует, что колебания возможны, только при условии, что

k>2\pi\varepsilon_0rE^2,\qquad (5)

в противном случае, пружина не сможет сдержать силы электрического взаимодействия. При выполнении условия (5), уравнение (4) является уравнением гармонических колебаний, с периодом

T=2\pi\sqrt{\frac m{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}}.\qquad (6)

Из уравнения (4) следует, что положению равновесия соответствует значение

x_0=\frac{2\pi\varepsilon_0rlE^2}{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}.\qquad (7)

Так как до включения поля x = 0 , то формула (7) определяет и амплитуду колебаний каждого шарика.

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf