Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 11(11)-1.1. 11(11) класс — 1.1. Разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.

1.1 Иногда на уроках физики демонстрируют прибор, предназначенный для иллюстрации то ли центробежных сил, то ли условий равновесия, то ли третьего закона Ньютона. Помогите разобраться! Длинный гладкий металлический стержень может вращаться вокруг жесткой вертикальной оси на которую насажен стержень. По стержню могут скользить без трения два цилиндра, расположенные с разных сторон от оси вращения. Массы цилиндров равны $m_1$ и $m_2$ . Цилиндры связаны между собой легкой нерастяжимой нитью длиной l . Положение центра первого стержня задается его координатой $x_1$ - расстоянием до оси вращения. Стержень раскручивают до угловой скорости $\omega$ .

Полная исходная схема цилиндров на вращающемся стержне: m1,m2,l−x1,x1,ω,оси и нить.

При каком значении $x_1$ цилиндры могут оставаться неподвижными относительно вращающегося стержня? Первый цилиндр расположили на расстоянии x10 от оси вращения и начали раскручивать стержень. Постройте график зависимости установившегося положения этого цилиндра после раскрутки стержня $x_1$ от его начального положения. Размерами цилиндров можно пренебречь.

Решение

1.1 Запишем уравнения динамики для каждого цилиндра в проекции на ось стержня (эта система не инерциальная)

Полная силовая схема цилиндров: m1ω²x1,m2ω²x2,N,x1,x2,l−x2,ω и все стрелки.

\begin{cases}m_1a_1=m_1\omega^2x_1-N,\\m_2a_2=m_2\omega^2x_2-N.\end{cases}\qquad (1)

Так как длина нити не изменяется, то $x_2$ = (l − $x_1$ ) , поэтому можно записать

\begin{cases}m_1a_1=m_1\omega^2x_1-N,\\-m_2a_1=m_2\omega^2(l-x_1)-N.\end{cases}

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение, описывающее движение одного цилиндра

(m_1+m_2)a_1=(m_1+m_2)\omega^2x_1-m_2\omega^2l^2.\qquad (2)

Координата положения равновесия описывается формулой

a_1=0\Rightarrow\bar x_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}l.\qquad (3)

Не сложно показать, что это положение равновесия является неустойчивым: из уравнения(2) следует, что при $x_1>\bar x_1$ ускорение этого цилиндра $a_1>0$ , поэтому он будет смещаться дальше; и, наоборот, при $x_1<\bar x_1$ ускорение $a_1<0$ . Следовательно, при начальной координате меньшей координаты положения равновесия $x_{10}<\bar x_1$ этот цилиндр сместится к оси вращения, в противном случае к оси вращения сместится второй цилиндр. Следовательно, координата первого цилиндра станет равной длине нити. В том же случае, когда $x_{10}=\bar x_1$ конечное положение цилиндра однозначно не определяется, оно зависит от направления случайного начального сдвига цилиндров. Данная зависимость-ступенька показана на рисунке.

Полный исходный ступенчатый график x1(x10): сетка,барx1,оси/стрелки и обе ветви.

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf