Съдържание

Условие Часть 1. «Разгон»Часть 2. «Остановка»Решение

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(12)-3. 10(12) класс — 3. Колонна автомобилей

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

В данной задаче рассматривается ряд эффектов, связанных с движением колонны автомобилей. Будем считать, что все водители строго соблюдают правила движения и данные им указания, обладают отменным глазомером. Все автомобили одинаковы, при описании их движения их можно считать материальными точками. Под расстоянием между автомобилями будем понимать, расстояния между водителями. Колонна состоит из N = 50 автомобилей.

Часть 1. «Разгон»

Все автомобили стоят на равном расстоянии друг от друга $l_0$ = 10 м .

Полная исходная колонна с l0,0,Ox и всеми автомобилями; левый автомобиль обрезан уже в исходной картинке.

Направим ось Ox вдоль дороги по направлению движения автомобилей. Начало отсчета совместим с положением первого автомобиля. Колона трогается с места. Каждый автомобиль разгоняется с постоянным ускорением $a_0=2{,}0\text{ м}/\text{с}^2$ , достигает скорости $v_0=72\text{ км}/\text{час}$ и дальше движется с постоянной скоростью. Первый автомобиль трогается в момент времени $t=0$ , каждый следующий начинает движение, когда расстояние до впереди находящегося автомобиля становится равным $l_1=35\text{ м}$ .

1.1 Постройте графики зависимости скоростей и координат первых трех автомобилей от времени за первые 30 секунд движения.

1.2 Найдите расстояние $l_2$ между соседними автомобилями в ходе движения всей колонны.

1.3 Найдите общую длину колонны, когда уже все автомобили движутся с постоянной скоростью.

1.4 Когда колона трогается с места вдоль нее пробегает «волна разряжения». Определите скорость этой «волны» Представьте себе, что автомобили стоят достаточно близко друг к другу, когда трогается очередной автомобиль, расстояние от него до следующего начинает заметно увеличиваться (в этом месте колонна начинает растягиваться). Под скоростью волны «разряжения» следует понимать скорость, с которой движется та точка колонны, до которой дошла область ее растяжения.

Часть 2. «Остановка»

Поступает команда остановить колонну. Каждый автомобиль тормозит с постоянным ускорением $a_1=-4{,}0\text{ м}/\text{с}^2$ . Во время торможения сзади автомобиля загораются лампочки «стоп-сигнала», поэтому водитель следующего автомобиля имеет возможность начать торможение через некоторый промежуток времени $\tau_2$ .

2.1 Чему должен быть равен этот промежуток времени (между началами торможения двух следующих друг за другом автомобилей), чтобы к моменту остановки расстоянием между ними стало равным $l_0$ = 10 м ?

2.2 Во время торможения вдоль колоны пробегает «волна сжатия». Определите скорость этой «волны».

Решение

1.1 Рассчитаем интервал времени $\tau_1$ за который автомобиль достигает требуемой скорости постоянного движения, используя закон равноускоренного движения

v_0=a_0\tau_1\Rightarrow\tau_1=\frac{v_0}{a_0}=\frac{20\text{ м}/\text{с}}{2{,}0\text{ м}/\text{с}^2}=10\text{ с}.\qquad (1)

За это время он пройдет путь, равный

s=\frac{a\tau^2}2=\frac{v_0^2}{2a_0}=100\text{ м}.\qquad (2)

Это расстояние больше чем расстояние $l_1$ , при котором трогается следующий автомобиль. Следовательно, следующий автомобиль тронется раньше, чем первый достигнет скорости $v_0$ , а именно в момент времени $\tau_1$ , который найдем из закона движения

l_1-l_0=\frac{a_0\tau^2}2\Rightarrow\tau=\sqrt{\frac{2(l_1-l_0)}{a_0}}=5{,}0\text{ с}.\qquad (3)

Заметим, что время разгона связано с промежутком времени между началами движения автомобилей простым соотношением $\tau_1$ = 2τ . Таким образом, первый автомобиль в течение промежутка времени 2τ будет двигаться равноускоренно, с ускорением $a_0$ (график зависимости скорости от времени – наклонная прямая, график закона движения – парабола), а затем равномерно (график закона зависимости скорости от времени – горизонтальная прямая; график закона движения - наклонная прямая линия). График движения второго автомобиля аналогичен первому, только смещен на интервал времени $\tau$ и на расстояние − $l_0$ ; третий смещен по оси времени на 2τ и на $-2l_0$ по оси координат.

Полный родной график скоростей трех машин: все 0/5/10/15/20/25,20м/с,кривые,штриховка,пунктиры и оси.

Полный родной график координат трех машин: все точки/0/5/10/15/20,метки−20/100/300,параболы/прямые,подписи,пунктиры и оси.

1.2 Расстояние между автомобилями (после того, как задний полностью набрал скорость), проще всего определить из графика зависимости скоростей от времени. Можно заметить, что площадь между графиками зависимостей скоростей двух автомобилей численно равна изменению расстояний между ними (на рисунке заштрихована). Легко определить, что изменение расстояния между двумя соседними автомобилями равно ∆l = v0τ = 100 м . Следовательно, в процессе движения расстояние между автомобилями будет равным

l_2=l_0+v_0\tau=110\text{ м}.\qquad (4)

1.3 Число интервалов между N автомобилями есть ( N − 1) , поэтому длина колонны равна

L=(N-1)l_2\approx5{,}4\text{ км}.\qquad (5)

1.4 Так как автомобили трогаются через равные промежутки времени $\tau$ , и находятся на расстоянии $l_0$ , то скорость движения «волны разряжения» равна

V=-\frac{l_0}\tau=-2{,}0\text{ м}/\text{с}.\qquad (6)

Часть 2. «Остановка»

2.1 Изобразим схематически зависимости скоростей двух соседних автомобилей от времени в процессе их торможения. Как и ранее, площадь между графиками равна изменению расстояния между автомобилями, то есть ∆x = v0τ . Так как расстояние должно измениться на величину ∆l = $l_1$ − $l_0$ , то интервал времени между началами торможений должен быть равен

Полный родной график остановки: обеv(t),1/2,τ,t,штрихованная площадь,пунктиры и оси.

\tau_2=\frac{\Delta l}{v_0}=5{,}0\text{ с},\qquad (7)

причем не зависимо от ускорения!

2.2 Времена между остановками автомобилей равны $\tau_2$ , каждый следующий автомобиль останавливается на расстоянии $l_0$ = 10 м , поэтому волна сжатия пробегает со скоростью

V=-\frac{l_0}{\tau_2}=-2{,}0\text{ м}/\text{с}.\qquad (8)

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf