Съдържание

BelPhO 2008, Заключителен етап, 10,11 — Задача 10(12)-2. 10(12) класс — 2. Труба дело

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2008

IV этап — теоретический тур,10(12)/10(11)/11классы

Внимание: Бележка към темата

В оригинале девять родительских номерных заданий: по три для10класса двенадцатилетней школы,10класса одиннадцатилетней школы и11класса одиннадцатилетней школы. «Разминка» в каждом комплекте прямо состоит из трех не связанных между собой задач; каждая из этих прямо названных независимыми задач сохранена отдельно целиком. Всего 15 целых задач под девятью родительскими заданиями; связанные пункты внутри остальных заданий остаются вместе. Всего49основных номерных групп, включая8пунктов образования облаков; каталог указывает48. Все составные запросы, методы и подсказки сохранены.

В полученных оригиналах не напечатаны общая обложка/утверждение, время выполнения, баллы или таблицы оценивания. Не получена упомянутая в разрядке конденсатора фотография-заставка; родные схемы сохранены. Табличные характеристики льда/воды в первой задаче считаются известными, численная таблица не приложена. Дополнительные бланки ответов или графиков не упоминаются.

Исходные расхождения сохранены: высотаh2=5,0м в условии и3,0м в ключе;D2=−2,6; повтор номера(2)длялампы; множитель1/2втеплотеплавления; различное значениеαкакдоли тепла в трубе/почве; графики колонны только до25/20с при запросе30с иΔl=l1−l0приτ2=5с; ссылки/знаки/r³включеколечка; пункты3.1–3.3при задании2диполя, «электрический» иM/m0вгравитационнойчасти, повторные знаки знаменателей, mвзнаменателепериода и пропущенный(9); в ключе обычной RCразрядки отсутствует отдельный ответ на запрос теплоты;l²в(2)цилиндров; положительный электрон, знаковые/индексные/алгебраические опечатки(14),(22),(27),(37)Холла. Формулы и графики не исправлены молча.

Условие

Ввиду громоздких выражений, встречающихся при решении этой задачи, рекомендуется производить промежуточные численные расчеты.

Во время холодной морозной зимы (какие теперь случаются редко) почва промерзла на глубину $2H=2{,}0\text{ м}$ . На глубине $H=1{,}0\text{ м}$ лежит медная труба длиной $L=100\text{ м}$ , радиусом $r=0{,}20\text{ м}$ и толщиной стенок $h=5{,}0\text{ мм}$ , по которой обычно протекает холодная вода. Но зима оказалась очень морозной и вода в трубе замерзла. Температура льда в трубе и промерзшей почвы равна $T_0=-10^\circ\text{C}$ . Для восстановления водоснабжения было решено отогреть трубу электрическим током. Для этого между ее концами подключили источник постоянного напряжения $U=220\text{ В}$ .

Полная схема промерзшей почвы/трубы: оба H,r,L,пунктир,границы и все стрелки.

1 Пренебрегая потерями теплоты в окружающую среду, найдите время $\tau_1$ , за которое весь лед в трубе растает. Плотность льда $\rho_{\text{Л}}=900\text{ кг}/\text{м}^3$ , удельная теплоемкость $c_{\text{Л}}=2100\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{град})$ , удельная теплота плавления $\lambda_{\text{Л}}=330\text{ кДж}/\text{кг}$ . Теплоемкостью трубы можно пренебречь. Удельное сопротивление меди $\gamma_{\text{М}}=1{,}7\cdot10^{-8}\text{ Ом}\cdot\text{м}$ . Считайте, что вода в трубе электрический ток не проводит.

2 Вокруг трубы – холодная почва, которая состоит на $\beta$ = 0,10 по объему из льда и на 1 − $\beta$ = 0,90 по объему из песка. Часть $\alpha$ = 0,50 тепловой мощности, выделяющейся в трубе, тратится на нагрев окружающей почвы и плавление содержащегося в ней льда. Считайте теплопроводность мерзлой почвы намного меньшей теплопроводности оттаявшей почвы. За какое время $\tau_2$ растает весь лед в трубе? Как зависит от времени t радиус цилиндра x , в пределах которого оттаяла почва? Постройте примерный график зависимости x(t ) . Плотность песка равна $\rho_{\text{п}}=2500\text{ кг}/\text{м}^3$ , удельная теплоемкость песка $c_{\text{п}}=840\text{ Дж}/(\text{кг}\cdot\text{град})$ .

3 Замерзшая почва не проводит электрический ток, но как только почва оттаивает, она становится неплохим проводником с удельным сопротивлением $\gamma_{\text{п}}=2{,}0\cdot10^{-4}\text{ Ом}\cdot\text{м}$ . Как зависит сопротивление $R_{\text{п}}$ оттаявшей почвы от времени $t$ ? Будем считать, что теплота, выделяющаяся в почве, идет только на нагрев самой почвы (не на трубу). Найдите дополнительное количество теплоты (помимо того, которое выделялось в трубе), выделившееся в почве за время t , после включения источника напряжения. Считайте, что вода в трубе электрический ток не проводит.

4 Если почва оттаивает до нижней границы «мерзлоты» на глубине 2H , происходит «заземление» и электрический ток перестает течь по трубе. Определите максимальный радиус трубы $r_{\max}$ , которую еще можно отогреть «электрическим методом». За какое время $\tau_3$ это произойдет?

Решение

Электрическое сопротивление металлической трубы равно

R=\frac{\gamma_{\text{М}}L}{S_{\text{М}}}=\frac{\gamma_{\text{М}}L}{2\pi rh}=2{,}71\cdot10^{-4}\text{ Ом}.\qquad (1)

Мощность, которая выделяется при протекании электрического тока в трубе по закону Джоуля-Ленца равна

P=\frac{U^2}R=\frac{U^2 2\pi rh}{\gamma_{\text{М}}L}=179\text{ МВт}.\qquad (2)

Время, за которое растает весь лед в трубе, определим из уравнения теплового баланса. Теплота, выделившаяся при протекании электрического тока, пошла на нагревание льда на ∆T = 10 град и его плавление

P\tau_1=Q_{\text{Л}},\qquad (3)

P\tau_1=\pi r^2L\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T),\qquad (4)

\tau_1=\frac{rL^2\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T)\gamma_{\text{М}}}{2U^2h}=22{,}2\text{ с}.\qquad (5)

Если на нагревание льда в трубе тратится часть $\alpha$ тепловой мощности P , то потребуется большее время для плавления льда:

\alpha P\tau_2=\pi r^2L\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T),\qquad (6)

\tau_2=\frac{rL^2\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T)\gamma_{\text{М}}}{2\alpha U^2h}=44{,}4\text{ с}.\qquad (7)

Стоит отметить, что это время пропорционально радиусу трубы

\tau=br,\qquad (8)

где $b=L^2\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T)\gamma_{\text{М}}/(2\alpha U^2h)=222\text{ с}/\text{м}$ .

Оставшаяся мощность (1 − $\alpha$ ) P пойдет на нагревание окружающей почвы и плавление льда в ней. За время t оттает почва в пределах цилиндра радиусом x , который найдем из уравнения теплового баланса

(1-\alpha)Pt=\pi(x^2-(r+h)^2)L[\beta\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T)+(1-\beta)\rho_{\text{п}}c_{\text{п}}\Delta T],\qquad (9)

Обозначим выражение в квадратных скобках — теплоту оттаивания $1\text{ м}^3$ почвы

B=\beta\rho_{\text{Л}}(\lambda_{\text{Л}}+c_{\text{Л}}\Delta T)+(1-\beta)\rho_{\text{п}}c_{\text{п}}\Delta T=50{,}5\cdot10^6\text{ Дж}/\text{м}^3.\qquad (10)

Итого

x=\sqrt{(r+h)^2+\frac{(1-\alpha)Pt}{\pi LB}}.\qquad (11)

Примерный график этой зависимости изображен на рисунке.

Полный родной график оттаивания x(t): x,r+h,t,0,вся кривая,пунктир и стрелки.

Сопротивление оттаявшей почвы равно

R_{\text{п}}=\frac{\gamma_{\text{п}}L}{S_{\text{п}}}=\frac{\gamma_{\text{п}}L}{\pi(x^2-(r+h)^2)}=\frac{\gamma_{\text{п}}L^2B}{(1-\alpha)Pt}.\qquad (12)

При этом по закону Джоуля-Ленца в почве выделяется дополнительная мощность

P_{\text{п}}=\frac{U^2}{R_{\text{п}}}=\frac{U^2(1-\alpha)Pt}{\gamma_{\text{п}}L^2B}.\qquad (13)

Дополнительная тепловая мощность не постоянна, а прямо пропорциональна времени, тогда количество теплоты, которое выделится за время t можно определить, как площадь под графиком мощности от времени.

Полный исходный график дополнительной мощности: P,t,начало,треугольник,штриховка и стрелки.

Q_{\text{п}}=\frac{U^2(1-\alpha)P}{\gamma_{\text{п}}L^2B}\frac{t^2}2.\qquad (14)

За время $\tau_2$ в почве выделится количество теплоты

Q_{\text{п}}(\tau_2)=\frac{U^2(1-\alpha)P}{\gamma_{\text{п}}L^2B}\frac{\tau_2^2}2,\qquad (15)

при этом от трубы почва получит теплоту

Q(\tau_2)=(1-\alpha)P\tau_2.\qquad (16)

Отношение $Q_{\text{п}}(\tau_2)/Q(\tau_2)=U^2\tau_2/(2\gamma_{\text{п}}L^2B)=0{,}01$ , это означает, что дополнительно выделившейся в почве теплотой можно пренебречь. Если x становится равно H , происходит «заземление» и нагревание трубы прекращается. Поскольку весь лед в трубе должен растопиться, то время $\tau_3$ , за которое это произойдет, равно по формуле (8)

\tau_3=br_{\max}.\qquad (17)

Максимальный радиус трубы определяется из соотношения

H^2=(r_{\max}+h)^2+\frac{(1-\alpha)Pbr_{\max}}{\pi LB}=(r_{\max}+h)^2+\frac{U^2 2\pi hr_{\max}}{\gamma_{\text{М}}L}\frac{(1-\alpha)br_{\max}}{\pi LB}.\qquad (18)

Получается квадратное уравнение относительно $r_{\max}$ :

\left(1+\frac{2U^2h(1-\alpha)b}{\gamma_{\text{М}}L^2B}\right)r_{\max}^2+2hr_{\max}+h^2-H^2=0,\qquad (19)

которое несколько упрощается, учитывая малость h по сравнению с H и $r_{\max}$ :

\left(1+\frac{2U^2h(1-\alpha)b}{\gamma_{\text{М}}L^2B}\right)r_{\max}^2-H^2=0,\qquad (20)

r_{\max}=\frac H{\sqrt{1+\frac{2U^2h(1-\alpha)b}{\gamma_{\text{М}}L^2B}}}=0{,}37\text{ м}.\qquad (21)

Произойдет это за время

\tau_3=br_{\max}=82\text{ с}.\qquad (22)

Оригинал в Архива: 2008_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2008_theoretical_solutions.pdf