Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9–11 клас — Задача 3. «Мертвая петля»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Экспериментальный тур.

Условие

Приборы и оборудование: штатив с лапкой; линейка деревянная 40 см; набор грузов 6х100 г; линейка для измерений; кольцо резиновое; нитки.

Часть1. Исследование деформации резинки.

Деформация резины зависит не только от приложенной силы, но и от ее предшествующей деформации (явление гистерезиса). Поэтому при проведении измерений нагрузку изменяйте в нужной последовательности. После снятия нагрузки дайте резинке «отдохнуть» около минуты в свободном состоянии.

1.1 Подвесьте резиновое колечко на стержень лапки. Измерьте зависимость длины резинки от приложенной к нему силы. Измерения проведите в следующей последовательности:

«нагрузка»- сначала последовательно увеличивайте нагрузку: подвесили один груз – измерили длину, добавили второй – измерили длину и т.д.;
максимальная деформация: после того как вы подвесили 6 грузов (и измерили длину), растяните резинку еще немного (осторожно – не порвите!) и медленно отпустите;
«разгрузка» - измерьте длину резинки при 6 подвешенных грузах, снимите один – измерьте длину и т.д.

1.2 Постройте график зависимости длины (не удлинения!) резинки от приложенной силы при нагрузке и при разгрузке.

Можно считать, что сила тяжести одного груза равна 1 Н.

Соберите установку, показанную на фото. Резинка должна крепиться к стержню штатива на высоте, равной высоте линейки. Нижний край линейки упирается в стержень штатива. Вам необходимо провести исследования зависимости отклонения линейки от массы подвешенного груза.

Фотография установки: деревянная линейка нижним концом упирается в стержень штатива, верхний конец привязан резинкой к стержню; к верхнему концу линейки подвешена цепочка грузов.

Схема: вертикальный стержень штатива с точками O (внизу), C и B; линейка OA длины L наклонена, к точке A подвешены грузы; резинка AB длины l; горизонтальный отрезок CA = x; отрезок OD = d перпендикулярно резинке; высота OB обозначена L.

Часть 2 «Теоретическая»

Для описания эксперимента будем использовать следующие обозначения (см. рис.):

длина линейки OA и высоты точки крепления OB - $L$ :
длина резинки AB - $l$ ;
расстояние от нижнего края линейки до резинки OD - $d$ ;
горизонтальное отклонение конца линейки AC - $x$ .

В эксперименте вам необходимо измерять и использовать в качестве меры отклонения именно величину $x$ - отклонение, измеренное по горизонтали.

2.1 Запишите условие равновесия линейки, прикрепленной резинкой к штативу и с подвешенными грузами.

2.2 Покажите, что выполняются следующие геометрические соотношения

x = l\sqrt{1 - \left(\frac{l}{2L}\right)^2}\,; \qquad (1)

d = \frac{xL}{l} = L\sqrt{1 - \left(\frac{l}{2L}\right)^2}\,. \qquad (2)

2.3 Используя экспериментальные данные, полученные в первой части, и пренебрегая массой линейки, рассчитайте зависимость момента силы упругости резинки в описанной экспериментальной установке, от величины горизонтального отклонения $x$ при нагрузке и разгрузке установки. Постройте график этой зависимости. На этом же листе постройте графики зависимости момента силы тяжести подвешенных грузов (от 1 до 6) от $x$ .

2.4 С помощью построенных графиков рассчитайте значения горизонтального отклонения линейки при различном числе подвешенных грузов (при разгрузке и нагрузке). Постройте график полученной зависимости.

Часть 3. «Сравнительная»

3.1 Проведите измерения горизонтального отклонения линейки $x$ при различном числе подвешенных грузов при нагрузке и при разгрузке.

Не забудьте после подвешивания 6 грузов дополнительно деформировать резинку, как и в п.1.1

3.2 Дополните график, построенный в п. 2.4, графиком экспериментальной зависимости. Сравните эти графики, объясните причины возможных расхождений.

Решение

В данной задаче результаты существенно зависят от используемой резины. Даже в одной пачке резиновые колечки различаются. Основной целью данной задачи является сравнение результатов, рассчитанных на основании измерений первой части, с результатами измерений второй части. Кроме того, положение равновесия рычага слабо устойчиво, малые изменения параметров может приводить к заметному изменению положения равновесия. Здесь приводятся результаты одной из типичных серий измерений авторов.

Часть1. Исследование деформации резинки.

Результаты измерений длины резинки при нагрузке и разгрузке приведены в таблице и на графике.

График «Зависимость длины резинки от числа подвешенных грузов»: l, см от 0 до 40 против n от 0 до 6; две S-образные кривые (нагрузка — нижняя, разгрузка — верхняя), образующие петлю гистерезиса.

Таблица 1.

Число грузов, $n$	Длина резинки $l$ , см
0	8,5
1	10,3
2	16,6
3	23,3
4	28,4
5	32,3
6	34,7
6	34,7
5	34,1
4	33,0
3	29,8
2	22,1
1	12,3
0	8,8

2.1 Условие равновесия линейки, прикрепленной резинкой к штативу и с подвешенными грузами, следует из равенства моментов сил тяжести подвешенных грузов и силы упругости резины:

mgx = F_{\text{упр.}}d\,. \qquad (1)

2.2 Указанные геометрические соотношения следуют из рассмотрения подобия треугольников и почти очевидны.

2.3 Приведенные геометрические соотношения позволяют по данным таблицы 1 для каждого значения $l$ последовательно рассчитать: горизонтальное отклонение $x = l\sqrt{1 - \left(\frac{l}{2L}\right)^2}$ ; плечо силы упругости $d = \frac{xL}{l} = L\sqrt{1 - \left(\frac{l}{2L}\right)^2}$ ; момент силы упругости $M_{el} = nd$ (в качестве единицы силы используется число грузов).

Результаты расчетов приведены в таблице 2, по этим данным построен график зависимости момента силы упругости от горизонтального отклонения х

Таблица 2.

$l$ , см	$x$ , см	$d$ , см	$n$	$M_{el}$
8,5	8,45	39,77	0	0,00
10,3	10,21	39,67	1	39,67
16,6	16,24	39,13	2	78,26
23,3	22,29	38,27	3	114,80
28,4	26,55	37,39	4	149,58
32,3	29,55	36,59	5	182,97
34,7	31,27	36,04	6	216,25
34,7	31,27	36,04	6	216,25
34,1	30,85	36,18	5	180,92
33,0	30,06	36,44	4	145,75
29,8	27,66	37,12	3	111,36
22,1	21,24	38,44	2	76,89
12,3	12,15	39,52	1	39,52
8,8	8,75	39,76	0	0,00

График «Зависимости моментов сил от горизонтального отклонения»: M от 0 до 250 против x, см от 0 до 35; петля момента силы упругости (ветви нагрузки и разгрузки) и прямые моментов силы тяжести, пронумерованные 1–6.

На этом же графике построены зависимости моментов сил тяжести (при различном числе подвешенных грузов) от горизонтального отклонения х. Точки пересечения дают значения горизонтального отклонения для различного числа грузов.

Отметим, что графики пересекаются под малыми углами, поэтому незначительное изменение параметров, приводит к тому, что точка пересечения смещается достаточно сильно. На приведенном графике наиболее характерными являются ветвь нагрузки и прямая 4 (т.е. для 4 грузов) и ветвь разгрузки с прямой 5. Так учет массы линейки приведет к малому изменению угла наклона прямых, но большому смещению положений равновесия.

В таблице 3 приведены значения горизонтального смещения, снятые с приведенного графика и измеренные экспериментально. Также приведен график этих зависимостей.

График x, см (от 0 до 35) против n (от 0 до 7): кривые «измерения» (тёмные точки) и «расчет» (светлые ромбы) для нагрузки и разгрузки, образующие петли гистерезиса.

Таблица 3.

$n$	$x_{\text{расчет}}$	$x_{\text{измер.}}$
1	8,7	8,7
2	9,0	9,3
3	9,5	10,0
4	10,2	12,0
5	20,0	24,5
6	27,7	31,5
6	31,0	31,5
5	30,2	33,3
4	27,5	31,5
3	11,5	13,2
2	10,0	10,3
1	9,0	9,0

Получено неплохое соответствие (для такой сложной зависимости). Главная причина расхождений (помимо очевидных погрешностей измерения) является слабая устойчивость и как следствие достаточно резкие переходы от одного положения равновесия к другому. Для подтверждения данного вывода приведем аналогичные графики для другой резинки (все обозначения прежние) – проведите прямые чуть выше и соответствие будет гораздо точнее.

Аналогичный график для другой резинки: момент от 0 до 250 против x от 0 до 30; петля момента силы упругости и шесть прямых моментов силы тяжести.

Аналогичный график для другой резинки: x от 0 до 35 против n от 0 до 7; кривые «измерения» и «расчет».

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_experimental_solutions.pdf