Съдържание

Условие 1.1 1.2 1.3 1.4 Отговори Решение

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 1. «Просто кинематика»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

1.1

Материальная точка движется вдоль оси $Ox$ . Проекция ее скорости на эту ось зависит от времени по закону представленному на графике 1.

График 1: проекция скорости V, м/с (от −2,5 до 2,5) от времени t, с (от 0 до 8) на сетке. Ломаная: из (0; 0) линейно растет до 2,0 при t = 2, линейно убывает до 0 при t = 4 и до −2,0 при t = 6, затем линейно возвращается к 0 при t = 8. — График 1. Зависимость скорости точки от времени

1.1.1 Постройте график зависимости координаты точки от времени, считая, что при $t = 0$ материальная точка находилась в начале координат.

1.1.2 Найдите путь и перемещение точки за все время движения (за 8 секунд).

1.2

Материальная точка движется вдоль оси $Ox$ . Проекция ее ускорения на эту ось зависит от времени по закону представленному на графике 2.

График 2: проекция ускорения a, м/с² (от −2,5 до 2,5) от времени t, с (от 0 до 8) на сетке. Ломаная: из (0; 0) линейно растет до 2,0 при t = 2, убывает до 0 при t = 4 и до −2,0 при t = 6, затем возвращается к 0 при t = 8. — График 2. Зависимость ускорения точки от времени

1.2.1 Постройте график зависимости проекции скорости на ось $Ox$ от времени, считая, что при $t = 0$ скорость точки равнялась нулю.

1.2.2 Найдите путь и перемещение точки за все время движения (за 8 секунд).

1.3

На практике в разных странах используются различные системы единиц измерения. Вы должны уметь переводить физические величины от одних единиц измерения к другим.

1.3.1 В США в качестве единицы измерения часто используется миля (1 миля = 1609 м). Автомобиль движется со скоростью $60\,\frac{\text{миль}}{\text{час}}$ . Выразите скорость автомобиля в $\frac{\text{м}}{\text{с}}$ .

1.3.2 В аэродинамике скорость тел часто измеряют в Махах (отношение скорости тела, к скорости звука – скорость в 1 Мах равна скорости звука). Самолет движется со скоростью $2600\,\frac{\text{км}}{\text{час}}$ . Найдите его скорость в Махах. Считайте, что скорость звука в воздухе равна $330\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$ .

1.4

Материальная точка движется вдоль оси $Ox$ . Проекция ее скорости $V$ на эту ось зависит от времени $t$ по закону

V = V_0\sqrt{1 - \frac{t^2}{\tau^2}}\,, \qquad (1)

где $V_0$ и $\tau$ - известные постоянные величины, $V_0$ задана в $\frac{\text{м}}{\text{с}}$ , $\tau$ - в секундах.

Точка движется, когда ее скорость отлична от нуля, в том числе и при отрицательных значениях $t$ .

1.4.1 Постройте график зависимости величины $\frac{V}{V_0}$ (т.е. скорости, измеренной в единицах $V_0$ ) от величины $\frac{t}{\tau}$ (т.е. времени измеренном в единицах $\tau$ ).

1.4.2 Используя построенный график, найдите путь (в м), пройденный точкой, за все время движения.

1.4.3 Используя тот же график, найдите зависимость ускорения точки (в единицах системы СИ) от времени.

Отговори

Решение

1.1.1 На временных интервалах $[0,\ 2];\ [2,\ 6];\ [6,\ 8]$ с движение является равноускоренным, поэтому графики зависимости координаты от времени на этих интервалах будут являться отрезками парабол. Изменение координаты можно подсчитать как площади под участками графика зависимости $V(t)$ . В итоге должен получиться график, показанный на рисунке.

График x, м (от 0 до 4,5) от t, с (от 0 до 8): гладкая кривая из отрезков парабол, начинается в точке 1 (0; 0), проходит через точку 2 (2; 2,0), достигает максимума в точке 3 (4; 4,0), проходит через точку 4 (6; 2,0) и заканчивается в точке 5 (8; 0). — Зависимость координаты точки от времени

Критериями правильности построения графика являются:

правильность координат точек 1, 2, 3, 4, 5;
точки 1, 3, 5 являются вершинами парабол; т.е. в этих точках касательные должны быть горизонтальны;
в точках 2, 3 не должно быть изломов, т.е. участки парабол плавно переходят друг в друга.

1.1.2 По графику видно, что перемещение точки равно $\Delta x = 0$ . Пройденный путь равен $S = 8{,}0\,\text{м}$ .

1.2.1 График зависимости скорости от времени совпадает с графиком зависимости координаты от времени, построенный в предыдущем пункте задачи.

График V, м/с (от 0 до 4,5) от t, с (от 0 до 8): кривая из отрезков парабол через точки 1 (0; 0), 2 (2; 2,0), 3 (4; 4,0), 4 (6; 2,0), 5 (8; 0) и треугольник 1-3-5 из прямых; заштрихованы участки между параболами и прямыми. — Зависимость скорости точки от времени

В этом случае площадь под графиком численно равна изменению координаты точки. Очевидно, что площади заштрихованных участков (между отрезками парабол и прямых) равны. Поэтому площадь под графиком зависимости $V(t)$ равна площади треугольника 1-3-5-1, которая подсчитывается элементарно. Итого, в данном случае путь и перемещение равны

S = \Delta x = 16\,\text{м}.

1.3.1 Для выполнения данного пункта задачи следует провести преобразования

V = 60\,\frac{\text{миль}}{\text{час}} = 60\,\frac{1609\,\text{м}}{3600\,\text{с}} = 27\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.

Обращаем внимание на правильность округления (в соответствии с точностью исходных данных) – до двух значащих цифр!

1.3.2 В этом пункте цепочка «пересчета» имеет вид

\tilde V = \frac{V}{c} = \frac{2600\,\frac{\text{км}}{\text{час}}}{330\,\frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{2600\,\frac{1000\,\text{м}}{3600\,\text{с}}}{330\,\frac{\text{м}}{\text{с}}} = 2{,}19\,\text{Мах}

В данном случае результат должен быть округлен до трех значащих цифр.

1.4.1 В требуемых координатах график имеет вид полуокружности.

График V/V₀ от t/τ на сетке: полуокружность единичного радиуса с центром в начале координат (от −1,0 до 1,0 по оси t/τ). Из начала O проведен радиус к точке A на окружности, из A — касательная, пересекающая ось абсцисс в точке C; B — проекция A на ось абсцисс (около 0,85).

1.4.2 В данных единицах измерения пройденный путь равен площади под графиком, т.е. $\frac{\pi}{2}$ . Далее следует перейти в систему СИ. Единицей измерения длины в используемой «безразмерной» системе единиц является $V_0\tau$ , поэтому пройденный путь (и перемещение) равен

S = \frac{\pi}{2}V_0\tau.

1.4.3 На графике зависимости скорости от времени ускорение численно равно коэффициенту наклона касательной. В данном случае касательная перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в точку касания. Из рисунка следует, что коэффициент наклона касательной AC равен тангенсу угла OAC, взятому с противоположным знаком, то есть в используемых единицах

\tilde a = -\frac{|OB|}{|AB|} = -\frac{\tilde t}{\tilde V(\tilde t)} = -\frac{\tilde t}{\sqrt{1 - \tilde t^{2}}}\,,

здесь $\tilde V = \frac{V}{V_0}$ , $\tilde t = \frac{t}{\tau}$ . Для перехода в систему единиц СИ необходимо учесть, что единицей измерения ускорения является величина $\frac{V_0}{\tau}$ . Окончательно получаем

a = \frac{V_0}{\tau}\tilde a = -\frac{V_0}{\tau}\frac{\tilde t}{\sqrt{1 - \tilde t^{2}}} = -\frac{V_0}{\tau}\frac{\frac{t}{\tau}}{\sqrt{1 - \frac{t^2}{\tau^2}}}\,.

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf