Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 2. «Кастрюля»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

В этой задаче Вам необходимо описать нагревание и остывание воды в кастрюле с учетом теплообмена с окружающей средой. Как Вам, наверное, известно, мощность тепловых потерь в окружающую среду пропорциональна разности температур тела и окружающей среды:

P_{\uparrow} = \alpha(T - T_0) \qquad (1),

где $\alpha$ - коэффициент тепловых потерь (постоянная для поверхности некоторого вещества величина); $T$ - температура тела; $T_0$ - температура окружающей среды.

В кастрюлю доверху наливают $m = 3{,}0\,\text{кг}$ воды (удельная теплоемкость $c = 4200\,\text{Дж}/\text{кг}\,{}^{\circ}C$ ) при $T = 0{,}0^{\circ}C$ и ставят на плиту.

При решении задачи используйте следующие приближения:

мощность плиты постоянна;
плита передает тепло только кастрюле;
температуры воды и кастрюли всегда одинаковы;
температура окружающей среды остается всегда постоянной;
потери тепла через дно кастрюли отсутствуют;
вода не испаряется;
теплоемкость кастрюли равна нулю.

2.1

Плиту включили и измерили зависимость температуры от времени. В результате были получены следующие данные. От $0^{\circ}C$ до $5^{\circ}C$ вода нагрелась за 51 секунду; от $40^{\circ}C$ до $45^{\circ}C$ за 89 секунд; и от $80^{\circ}C$ до $85^{\circ}C$ за 339 секунд.

2.1.1 Исходя из этих данных, покажите, что мощность теплопотерь действительно пропорциональна разности температур (формула (1)).

2.1.2 Определите коэффициент тепловых потерь $\alpha$ . Укажите размерность этого коэффициента.

2.1.3 Определите, за какое время вода нагревается от $20^{\circ}C$ до $25^{\circ}C$ .

2.1.4 Определите, до какой максимальной температуры можно нагреть воду на этой плите.

2.2

После длительного нагревания, плиту выключили, и кастрюля начала остывать. Было обнаружено, что вода остыла от $95^{\circ}C$ до $90^{\circ}C$ за 67 секунд; от $65^{\circ}C$ до $60^{\circ}C$ за 114 секунд; и от $35^{\circ}C$ до $30^{\circ}C$ за 393 секунды.

2.2.1 Покажите, что и в этом случае мощность теплопотерь пропорциональна разности температур.

2.2.2 Определите значение комнатной температуры $T_0$ .

2.2.3 Определите, за какое время вода остывает от $50^{\circ}C$ до $45^{\circ}C$ .

2.2.4 Используя данные части 2.1, определите мощность электрической плиты $P$ .

Отговори

Решение

В каждом случае вода нагревается на $\Delta T = 5^{\circ}C$ . Температурный интервал достаточно маленький. Поэтому можно считать, что мощность тепловых потерь в окружающую среду остается практически неизменной в этом интервале. Для большей точности в формулу теплопотерь

P_{\uparrow} = \alpha(T - T_0) \qquad (1)

будем подставлять среднее значение температуры. В нашем случае:

\langle T_1\rangle = 2{,}5^{\circ}C \quad \langle T_2\rangle = 42{,}5^{\circ}C \quad \langle T_3\rangle = 82{,}5^{\circ}C \qquad (2).

За некоторый промежуток времени $\Delta t$ вода получает от плиты количество теплоты равное $P\Delta t$ Дж и отдает в окружающую среду количество теплоты равное $P_{\uparrow}\Delta t$ Дж. Уравнение теплового баланса выглядит следующим образом:

cm\Delta T = (P - P_{\uparrow})\Delta t \qquad (3).

Подставив выражение для мощности тепловых потерь, запишем уравнение (3) в виде:

cm\frac{\Delta T}{\Delta t} = P - \alpha(\langle T\rangle - T_0) \qquad (4).

Преобразуем уравнение (4) к виду:

cm\frac{\Delta T}{\Delta t} = (P + \alpha T_0) - \alpha\langle T\rangle = \beta - \alpha\langle T\rangle \qquad (5),

\text{где } \beta = P + \alpha T_0 \qquad (6),

1.1 Используя данные задачи, можно вычислить значение правой части выражения (5) для каждого случая, т.е. для каждой средней температуры (2) найти значение $cm\frac{\Delta T}{\Delta t}$ .

График зависимости cm·ΔT/Δt (от 0 до 1200) от ⟨T⟩ (от 0 до 90): три точки около (2,5; 1235), (42,5; 708), (82,5; 188) лежат на одной убывающей прямой. — Рис.1

Получим:

\begin{aligned} &1.\quad \langle T_1\rangle = 2{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_1} = 1235\\ &2.\quad \langle T_2\rangle = 42{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_2} = 708 \qquad (7)\\ &3.\quad \langle T_3\rangle = 82{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_3} = 188 \end{aligned}

Если мощность теплопотерь действительно пропорциональна разности температур, то все три точки на графике зависимости $cm\frac{\Delta T}{\Delta t}$ от $\langle T\rangle$ будут находиться на одной прямой. Нетрудно убедиться, что это действительно так (рис. 1).

1.2 Определим постоянные $\alpha$ и $\beta$ аналитически:

\alpha = \frac{cm\frac{\Delta T}{\Delta t_1} - cm\frac{\Delta T}{\Delta t_3}}{\langle T_3\rangle - \langle T_1\rangle} = 13\,\frac{\text{Вт}}{{}^{\circ}C} \qquad (8);

\beta = 1270\,\text{Вт} \qquad (9);

1.3 При нагревании от $20^{\circ}C$ до $25^{\circ}C$ $\langle T\rangle = 22{,}5^{\circ}C$ . Подставим это значение, а также значения постоянных $\alpha$ и $\beta$ в уравнение (5). Получим:

cm\frac{\Delta T}{\Delta t_x} = \beta - \alpha\langle T\rangle = 978 \qquad (10).

Откуда:

\Delta t_x = \frac{cm\Delta T}{978} = 64\,\text{с} \qquad (11).

1.4 Температура воды перестает изменяться, когда мощность теплопотерь становится равной мощности плиты. При этом правая часть выражения (5) обращается в ноль. Таким образом, максимальная температура равна:

T_{\max} = \frac{\beta}{\alpha} = 98^{\circ}C \qquad (12)

2.1 При выключенной плите уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим образом:

cm\frac{\Delta T}{\Delta t} = -\alpha(\langle T\rangle - T_0) = -\alpha\langle T\rangle + \alpha T_0 \qquad (13)

Таким образом, зависимость $cm\frac{\Delta T}{\Delta t}$ от $\langle T\rangle$ и в случае остывания должна быть линейной. Убедимся в этом:

\begin{aligned} &1.\quad \langle T_1\rangle = 92{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_1} = -940\\ &2.\quad \langle T_2\rangle = 62{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_2} = -553 \qquad (14).\\ &3.\quad \langle T_3\rangle = 32{,}5^{\circ}C \quad cm\frac{\Delta T}{\Delta t_3} = -160 \end{aligned}

Зависимость действительно линейная (рис. 2).

График зависимости cm·ΔT/Δt (от 0 до −800) от ⟨T⟩ (от 0 до 90): три точки около (32,5; −160), (62,5; −553), (92,5; −940) лежат на одной убывающей прямой. — Рис.2

2.2 Можно убедиться, что постоянная $\alpha$ и в этом случае равна:

\alpha = -\frac{cm\frac{\Delta T}{\Delta t_1} - cm\frac{\Delta T}{\Delta t_3}}{\langle T_3\rangle - \langle T_1\rangle} = 13 \qquad (15).

А постоянная $\alpha T_0$ :

\alpha T_0 = 263\,\text{Вт} \qquad (16).

Отсюда определяем значение комнатной температуры:

T_0 = 20^{\circ}C \qquad (17).

2.3 При остывании от $50^{\circ}C$ до $45^{\circ}C$ , средняя температура $\langle T\rangle = 47{,}5^{\circ}C$ Подставим известные величины в уравнение (13) и получим время остывания:

\Delta t_x = \frac{cm\Delta T}{-\alpha\langle T\rangle + \alpha T_0} = 176\,\text{с} \qquad (18).

2.4 Мощность входила в выражение для коэффициента $\beta$ в первой части задачи (выражение (6)). Зная комнатную температуру, можно вычислить мощность электроплиты:

P = \beta - \alpha T_0 = 1{,}0\cdot 10^{3}\,\text{Вт} \qquad (19).

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf