Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 3. «Чем длина отличается от ширины?»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

3.1 Цилиндр радиуса $r$ и длиной $L$ изготовлен из материала с удельным электрическим сопротивлением $\rho_1$ . Цилиндр покрывают тонкой оболочкой толщиной $h\ (h \ll r)$ из материала, удельное сопротивление которого равно $\rho_2$ . Полученный таким образом образец зажимают между двумя хорошо проводящими пластинами. Найдете электрическое сопротивление полученного элемента, при его подключении к проводящим пластинам.

Цилиндр радиуса r и длины L с тонкой оболочкой толщины h, зажатый между двумя темными проводящими пластинами; внутренний материал обозначен ρ₁, оболочка — ρ₂.

3.2 Электрическая цепь, состоящая из двух последовательно соединенных резисторов, сопротивления которых равны $R_1$ и $R_2$ , подключена к источнику постоянного напряжения $U_0$ . Найдите силу тока в цепи и напряжение на резисторе $R_1$ .

Схема: источник U₀ и последовательно соединенные резисторы R₁ и R₂.

3.3 В цепи, рассмотренной в предыдущем пункте, к резистору $R_1$ параллельно подключают резистор сопротивлением $R_0$ . При этом в цепь включают амперметр и вольтметр, как показано на схеме. Считая приборы идеальными (сопротивление амперметра пренебрежимо мало, сопротивление вольтметра очень велико), рассчитайте показания этих приборов. Найдите показания этих приборов, если сопротивление $R_0$ значительно больше сопротивлений $R_1$ и $R_2$ . В этом случае ток через амперметр оказывается малым, поэтому вместо амперметра в цепь включают миллиамперметр.

Схема: источник U₀, резисторы R₁ и R₂ последовательно; параллельно R₁ подключен резистор R₀ через амперметр A; вольтметр V подключен параллельно R₀.

3.4 Для измерения удельного сопротивления изоляционного материала используют следующую методику. Цилиндр радиуса $r$ и длиной $L$ $(L \gg r)$ с удельным сопротивлением $\rho_0$ покрывают тонким слоем исследуемого материала толщиной $h$ $(h \ll R)$ . Полученный таким образом элемент помещают внутрь цилиндрической трубки, электрическое сопротивление которой пренебрежимо мало. Этот элемент включают в электрическую цепь, как показано на схеме. Напряжение источника равно $U_0$ , амперметр показывает малый (по сравнению с током через источник) ток величиной $I$ . Определите по этим данным удельное электрическое сопротивление исследуемого изоляционного материала.

Схема: источник U₀ подключен к концам цилиндра (серый стержень внутри трубки); амперметр A включен между цилиндром и трубкой.

Во всех пунктах данной задачи сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь.

Отговори

Решение

3.1 Используя известные формулы для сопротивления проводника и параллельного соединения проводников, найдем требуемое сопротивление

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{\pi r^2}{\rho_1 L} + \frac{2\pi rh}{\rho_2 L} = \frac{\pi r}{\rho_1\rho_2 L}(\rho_2 r + 2\rho_1 h) \quad\Rightarrow

R = \frac{\rho_1\rho_2 L}{\pi r(\rho_2 r + 2\rho_1 h)} = \frac{\rho_1 L}{\pi r^2\left(1 + 2\frac{\rho_1 h}{\rho_2 r}\right)} \qquad (1)

Ответ может быть представлен и в других эквивалентных формах.

3.2 Используя стандартные формулы, находим

I = \frac{U_0}{R_1 + R_2};\quad U_1 = IR_1 = U_0\frac{R_1}{R_1 + R_2}. \qquad (2)

3.3 При подключении дополнительного резистора для расчета силы тока и напряжения можно воспользоваться полученными формулами (2), в которых вместо величины $R_1$ следует подставить сопротивление двух параллельных резисторов

R_1' = \frac{R_1 R_0}{R_1 + R_0}. \qquad (3)

В этом случае напряжение окажется равным

U_1 = U_0\frac{R_1'}{R_1' + R_2} = U_0\frac{\frac{R_1 R_0}{R_1 + R_0}}{\frac{R_1 R_0}{R_1 + R_0} + R_2} = U_0\frac{R_1 R_0}{R_1 R_0 + R_2(R_1 + R_0)}\,, \qquad (4)

а сила тока через амперметр

I_A = \frac{U_1}{R_0} = U_0\frac{R_1}{R_1 R_0 + R_2(R_1 + R_0)}. \qquad (5)

Если сопротивление резистора $R_0$ велико, то можно пренебречь его проводимостью и считать, что напряжение на нем совпадает с напряжением, рассчитанным по формуле (2), т.е.

U_1 \approx U_0\frac{R_1}{R_1 + R_2}. \qquad (6)

Сила тока в этом случае оказывается равной

I_A = \frac{U_0}{R_0}\frac{R_1}{R_1 + R_2}. \qquad (7)

3.4 При решении данного пункта задачи следует учитывать, что ток течет поперек изоляционного слоя, причем распределение тока (точнее плотности тока) вдоль цилиндра не будет однородным. Так как сопротивление изоляции велико, то и измеряемый ток будет малым. Следовательно, распределение напряжений $U(x)$ между элементом $\Delta x$ цилиндра и хорошо проводящей трубкой будет примерно таким же, как при отключенном амперметре, то есть меняться по линейному закону от $U_0$ до нуля. Это дает основание использовать в качестве среднего напряжения между цилиндром и проводящей трубкой среднее арифметическое напряжений на концах цилиндра, то есть $\frac{U_0}{2}$ . Следовательно, измеряемый ток равен

I = \frac{U_0}{2R'}. \qquad (8)

Где $R' = \rho\frac{h}{2\pi rL}$ - сопротивление изоляционного слоя при протекание тока «поперек».

Схема: источник U₀ подключен к концам цилиндра внутри трубки; под цилиндром показан слой изоляции, стрелки тока направлены поперек слоя, выделен элемент Δx и линейно убывающее напряжение U(x); амперметр A включен между цилиндром и трубкой.

Таким образом, получаем

I = \frac{U_0\cdot 2\pi rL}{2\rho h} \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{U_0\pi rLU_0}{Ih}. \qquad (9)

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf