Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 4. Электрическое поле Земли

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

Между поверхностью Земли и ионосферой существует электрическое поле, которое можно считать примерно однородным. Напряженность поля Земли $E_0 = 100\,\frac{\text{В}}{\text{м}}$ , а его направление соответствует отрицательному заряду Земли. Будем считать, что отрицательный заряд равномерно распределен по поверхности нашей планеты несмотря на то, что физические свойства суши и воды заметно различаются. На высоте $h \approx 50\,\text{км}$ в атмосфере находится однородный слой положительно заряженных частиц, называемых ионосферой. Суммарный электрический заряд Земли и ионосферы равен нулю. Радиус Земли $R_{\text{З}} = 6{,}4\cdot 10^{6}\,\text{м}$ , ускорение свободного падения $g = 9{,}8\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ . Диэлектрическую проницаемость воздуха примите равной диэлектрической проницаемости вакуума $\varepsilon \approx 1$ .

Схема: поверхность Земли (подпись «Земля», знаки «−») и над ней на высоте h слой «Ионосфера» со знаками «+».

1.1 Для измерения электрического заряда Земли предлагается следующий эксперимент. Подвесим незаряженный проводящий шарик массы $m = 2{,}0\,\text{г}$ и радиуса $r = 1{,}0\,\text{см}$ на проводящей пружине малой электроемкости. При этом шарик растянул пружину на $\Delta l_1 = 2{,}5\,\text{см}$ . После установления равновесия шарик при помощи ключа $K$ подключили к источнику постоянного напряжения $U = 20\,\text{кВ}$ . Вычислите удлинение пружины $\Delta l_2$ после замыкания ключа $K$ в новом положении равновесия. Найдите относительное изменение удлинения пружины $\varepsilon = \frac{\Delta l_2 - \Delta l_1}{\Delta l_1}$ после замыкания ключа $K$ . Сделайте выводы о возможности измерения заряда планеты подобным способом. Считайте, что в этом пункте на шарик действует только электрическое поле Земли.

Шарик массы m с зарядом q подвешен на пружине к потолку; вектор g направлен вниз; пружина через ключ K соединена с источником напряжения U, другой полюс которого заземлен.

1.2 Для более точного измерения напряженности поля Земли использовали электрометра, основной частью которого служат два небольших одинаковых шарика массой $m = 1{,}5\,\text{г}$ каждый, подвешенных на легких проводящих нитях длины $l = 50\,\text{см}$ каждая. Проводящий корпус электрометра заземлен и экранирует поле Земли. На стержне электроскопа укреплен проводящий диск радиусом $R = 1{,}0\,\text{м}$ .

Электроскоп: сверху диск A; вектор g вниз; в заземленном круглом корпусе на подставке к стержню на нитях длины l подвешены два шарика массы m, разошедшиеся на расстояние a.

Два параллельных диска радиуса R на малом расстоянии d, верхний A и нижний B соединены проводником; вектор g направлен вниз.

Два таких же проводящих параллельных диска, соединенные проводником $AB$ , для зарядки посредством электростатической индукции в поле Земли сблизили на малое расстояние $d$ . После разрыва проводника $AB$ верхний диск $A$ подносят на малое расстояние к диску электроскопа, не касаясь его. Затем аналогичным образом заряжают следующий диск $A'$ и кладут его на диск $A$ . Процесс зарядки повторяют $N = 10$ раз. Оцените расстояние $a$ , на которое разойдутся лепестки электроскопа после зарядки. Укажите знак электрического заряда шариков электроскопа в описанном эксперименте.

1.3 Предполагая, что удельное сопротивление воздуха постоянно и равно $\rho = 2{,}9\cdot 10^{13}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ , найдите силу тока $I$ утечки с поверхности Земли через атмосферу к ионосфере. Оцените время разрядки $\tau$ Земли вследствие существования тока утечки.

1.4 Удивительно, но, несмотря на ток утечки, электрический заряд Земли с течением времени практически не меняется. Следовательно, должен существовать ток подзарядки планеты, который компенсирует ее разрядку с течением времени. Основной механизм подзарядки Земли осуществляется в результате грозовой активности в атмосфере.

При зарождении грозового фронта в результате электризации капелек воды в восходящих потоках воздуха в атмосфере образуются области положительного (в верхней части облака) и отрицательного (в его нижней части) зарядов $^1$ . Считайте, что эти области накопления зарядов имеют форму шара радиуса $r \approx 0{,}10\,\text{км}$ . Расстояние между этими областями примите равным $H = 5{,}0\,\text{км}$ , а расстояние от нижнего края грозового облака до земли $h \approx 1{,}0\,\text{км}$ . Известно, что при напряженности электрического поля $E_1 = 3{,}0\,\frac{\text{кВ}}{\text{см}}$ (и более) наступает пробой воздуха, при котором он становится проводником. Примем, что в этот момент ударяет молния. Оцените, при каком минимальном заряде $q_{\min}$ заряженной области облака в Землю может ударить молния? В данном пункте считайте поверхность Земли хорошим проводником.

Грозовое облако: вверху шар радиуса r с зарядом +q, ниже на расстоянии H шар радиуса r с зарядом −q; от нижнего края облака до земли расстояние h, из облака в землю бьет молния; вектор g направлен вниз.

$^1$ Механизм разделения зарядов в восходящих потоках очень сложен и в данной задаче не рассматривается.

1.5 Считая, что при ударе мощной молнии, длящемся $\tau_2 = 40\,\text{мс}$ средняя сила тока $I_2 = 200\,\text{кА}$ , и что грозы на планете в течение года происходят равномерно, оцените среднее количество ударов молний в Землю на Земле в течение суток.

Подсказка. Потенциал заряженного шара радиуса $R$ и имеющего заряд $q$ равен

\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}.

Отговори

Решение

1.1 Согласно закону Гука удлинение пружины под действием силы тяжести $\Delta l_1 = \frac{mg}{k}$ , где $k$ – коэффициент упругости пружины. Отсюда можем выразить

k = \frac{mg}{\Delta l_1}. \qquad (1)

После подключения шарика к источнику постоянного напряжения его потенциал относительно Земли станет равным напряжению источника. При этом на шарике появится электрический заряд $q$ , который можно найти из условия

\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r} = U \quad\Rightarrow\quad q = 4\pi\varepsilon_0 rU. \qquad (2)

Соответственно, со стороны электрического поля Земли на шарик начнет действовать сила, направленная вниз и равная

F = qE = 4\pi\varepsilon_0 rUE. \qquad (3)

Искомое удлинение пружины $\Delta l_2$ после замыкания ключа $K$ найдем из равенства

k\Delta l_2 = mg + F \quad\Rightarrow\quad \Delta l_2 = \frac{mg + F}{k} = \frac{mg + F}{mg}\Delta l_1. \qquad (4)

Таким образом, отношение удлинений пружины до и после замыкания ключа

\varepsilon = \frac{\Delta l_2 - \Delta l_1}{\Delta l_1} = \frac{F}{mg} = \frac{4\pi\varepsilon_0 rUE}{mg}. \qquad (5)

Расчет дает значение

\varepsilon \approx 1{,}0\cdot 10^{-4}. \qquad (6)

Как видим, удлинение пружины составит крайне малую величину, равную сотым долям процента от $\Delta l_1$ . Зафиксировать столь малое смещение пружины будет практически невозможно. Следовательно предлагаемая методика измерения заряда планеты является неприемлемой.

1.2 При зарядке дисков в поле Земли посредством электростатической индукции на них появятся электрические заряды, которые, согласно принципу электростатической защиты, создадут электрическое поле, напряженность которого равна по модулю и противоположна по направлению напряженности $\vec E_0$ поля Земли (см. рис.). Считая, что диски образуют плоский конденсатор, найдем

q_0 = \sigma S = \varepsilon_0 ES = \varepsilon_0 E\pi R^2, \qquad (7)

где $\sigma$ – поверхностная плотность электрических зарядов на одном диске, $S$ – площадь диска.

Два диска A (сверху, знаки «−») и B (снизу, знаки «+»), соединенные проводником; вектор g направлен вниз, вектор E₀ — вниз.

Как следует из рисунка, при зарядке на верхнем диске $A$ окажется отрицательный заряд.

Соответственно, после разрыва проводника $AB$ и переноса диска к электроскопу на диске электроскопа образуется положительный заряд такой же величины. Вследствие электронейтральности стержня электроскопа (он изолирован от корпуса диэлектрической прокладкой) на каждом из его шариков окажутся отрицательные заряды, равные по модулю $\frac{q_0}{2}$ . Таким образом, после складывания $N = 10$ заряженных дисков вблизи электроскопа на каждом из его шариков появится отрицательный заряд $q = N\frac{q_0}{2}$ .

Предположим, что под действием силы Кулона $\vec F_K$ нити электроскопа (с шариками) разошлись на малый угол $2\alpha$ (см. рис.). Из условия равновесия шариков с учетом малости угла их расхождения ( $\alpha \to 0$ ) получаем

\frac{F_K}{mg} = tg\,\alpha \approx \alpha \approx \frac{a}{2l}. \qquad (8)

Поскольку $F_K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(N\frac{q_0}{2})(N\frac{q_0}{2})}{a^2}$ , то выражение (8) можно переписать в виде

\frac{N^2 q_0^2}{16\pi\varepsilon_0 a^2 mg} = \frac{a}{2l}. \qquad (9)

Из (9) получаем оценку расстояния, на которое разойдутся небольшие шарики электроскопа после зарядки дисков

a = \sqrt[3]{\frac{N^2 q_0^2 l}{8\pi\varepsilon_0 mg}} = \sqrt[3]{\frac{\pi\varepsilon_0 l N^2 E^2 R^4}{8mg}}. \qquad (10)

Расчет по формуле (10) дает

a = 4{,}9\,\text{см}. \qquad (11)

Как видим из (11) шарики разойдутся на вполне регистрируемое расстояние. Заметим, что подобная методика была использована при одной из первых попыток измерения заряда Земли.

Электроскоп: диск на стержне, два шарика на нитях длины l разошлись на расстояние a, угол α между нитью и вертикалью; на левый шарик действуют сила Кулона F_K (влево) и mg (вниз); вектор g вниз.

1.3 Поскольку высота, на которой находится ионосфера, мала по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что в промежутке между Землей и ионосферой напряженность электрического поля остается постоянной.

Мысленно выделим на поверхности Земли вертикальный цилиндр с площадью основания $S$ и высотой $h$ , упирающийся в ионосферу (см. рис.). Сопротивление воздуха внутри этого цилиндра

R = \rho\frac{h}{S}. \qquad (12)

Напряжение между торцами цилиндра найдем, используя связь между напряжением и напряженностью однородного электростатического поля

U = E\cdot h \qquad (13)

Применяя закон Ома, получим значение тока утечки

I = \frac{U}{R} = \frac{ES}{\rho}. \qquad (14)

Подставляя в (14) значение площади земной поверхности $S = 4\pi R_{\text{З}}^2$ , окончательно получаем

I_1 = \frac{U}{R} = \frac{4\pi R_{\text{З}}^2 E}{\rho} = 1{,}8\,\text{кА}. \qquad (15)

Полученное большое значение тока утечки в значительной степени обусловлено большим значением площади земной поверхности.

Вертикальный цилиндр высоты h с площадью основания S на поверхности Земли; внутри стрелка тока I вниз.

Для оценки времени $\tau$ разрядки Земли потребуем, чтобы за это время между ионосферой и Землей был перенесен заряд, равный заряду Земли. Будем также считать, что в процессе разрядки Земли сила тока остается постоянной, хотя в реальности она уменьшается вследствие уменьшения напряженности поля Земли. Тогда

I_1\tau = \{(15)\} = \frac{4\pi R_{\text{З}}^2 E}{\rho}\tau = q.

С учетом выражения для напряженности $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{R_{\text{З}}^2}$ электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью, преобразуем полученное равенство к виду

\frac{\tau}{\rho\varepsilon_0} = 1 \quad\Rightarrow\quad \tau = \rho\varepsilon_0. \qquad (16)

Расчет по формуле (16) дает неожиданный результат

\tau = 2{,}6\cdot 10^{2}\,\text{с} = 4{,}3\,\text{мин}. \qquad (17)

Таким образом, вследствие конечного сопротивления воздуха между Землей и ионосферой наша планета разрядилась бы довольно быстро и утратила бы свой электрический заряд. Однако наблюдения показывают, что заряд Земли не уменьшается с течением времени. Это говорит о том, что в природе существует механизм непрерывной зарядки Земли, обеспечивающий поступление новых порций заряда и компенсирующий ток утечки.

1.4 При достаточно сложном механизме формирования и распределения электрических зарядов внутри и на поверхности грозового облака ключевым моментом для возникновения молнии является возникновение первичного канала или ступенчатого лидера, который формирует траекторию основного электрического удара, производящего огромный термический, а также световой и звуковой эффекты.

Внутри этого канала проводимость воздуха значительно выше проводимости окружающего воздуха, а ток, как известно, достаточно «умен», поскольку выбирает путь наименьшего сопротивления.

Для расчета заряда грозовой тучи построим заряд-изображение небольшого сферического заряда ее нижней части, заряженной отрицательно, относительно проводящей поверхности Земли (см. рис). Тогда суммарная напряженность поля зарядов тучи и индуцированных зарядов на поверхности Земли может быть оценена как

2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{h^2} = E_1 \quad\Rightarrow\quad q = 2\pi\varepsilon_0 E_1 h^2 = 0{,}17\,\text{Кл}. \qquad (18)

1.5 При силе тока утечки $I_1$ за сутки ( $t = 86400\,\text{с}$ ) Земля потеряет заряд $q_1 = I_1 t$ . Согласно условию, этот же заряд планета должна получить в результате грозовой активности. Таким образом

I_1 t = N_3 I_2\tau_2 \quad\Rightarrow\quad N_3 = \frac{I_1 t}{I_2\tau_2}. \qquad (19)

Расчет дает, что каждые сутки на планете гремит около $N_3 \approx 2\cdot 10^{4}$ гроз, львиная доля которых приходится на тропические пояса Земли.

Грозовое облако с зарядами +q (вверху) и −q (внизу) на расстоянии H, на высоте h над проводящей поверхностью Земли; под поверхностью — зеркальное изображение облака с зарядами +q и −q; молния между облаком и землей; вектор g вниз.

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf