Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 5. «Ваттметр»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

Существует множество хитроумных устройств, измеряющих мощность в цепи постоянного тока. Принцип их работы сводится к тому, чтобы каким-либо способом перемножить ток и напряжение на нагрузке. Мы предлагаем Вам рассмотреть наиболее простую схему такого устройства, состоящую из резисторов, вольтметра и двух диодов.

2.1.

Сначала разберемся с диодом. Этот полупроводниковый прибор является нелинейным элементом, т.е. сила тока не пропорциональна напряжению. В данной задаче диоды будут включаться в прямом направлении. В этом случае можно считать, что сила тока пропорциональна квадрату напряжения:

I_D = kU_D^2,

где $k$ – известный коэффициент.

Участок цепи: диод и резистор, соединенные последовательно, с выводами по концам. — Рис.1

2.1.1 Рассмотрим участок цепи, состоящей из последовательно включенного диода и резистора с сопротивлением $R$ (рис. 1). Разность потенциалов на участке равна $\Delta\varphi$ . Определите силу тока, текущего в этом участке.

2.1.2 Определите разность потенциалов на резисторе $\Delta\varphi_R$ .

2.1.3 Покажите, что если выполняется условие:

kR\Delta\varphi \ll 1,

то сила тока в таком участке $I \approx k(\Delta\varphi)^2$ , а разность потенциалов на резисторе $\Delta\varphi_R \approx Rk(\Delta\varphi)^2$ .

Воспользуйтесь формулой приближенного вычисления:

(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x \quad x \ll 1.

2.2

Схема ваттметра представлена на рис.2. Устройство состоит из двух участков с диодами ( $AE$ и $BF$ ), резистора $R_1$ и вольтметра. Сопротивление резистора $R$ , гораздо больше сопротивления нагрузки ( $R \gg R_H$ ). Кроме того, выполняется условие пункта 1.3: $kR\Delta\varphi \ll 1$ . Вольтметр – идеальный, т.е. обладает очень большим сопротивлением.

Схема ваттметра: входные точки φ₁ = U (вверху) и φ₀ = 0 (внизу), между ними напряжение U. Верхний провод: точка A, резистор R₁, точка B, далее ток I через нагрузку R_H к нижнему проводу. Из A вниз диод до точки C и резистор R до точки E; из B вниз диод до точки D и резистор R до точки F. Вольтметр V включен между C и D. — Рис.2

2.2.1 Напряжение в цепи равно $U$ , сила тока, текущего в нагрузке, равна $I$ . Выберем потенциал нижнего проводника равным нулю ( $\varphi_0 = 0\,\text{В}$ ), а потенциал второго проводника, идущего от источника напряжения, $\varphi_1 = U$ (точка $A$ на рис. 2). Определите потенциалы точек $B$ , $C$ и $D$ .

2.2.2 Определите разность потенциалов между точками $C$ и $D$ . Преобразуйте, полученное выражение к виду:

U_V = \xi IU.

Выразите коэффициент $\xi$ через $k$ , $R$ , $R_1$ и $R_H$ .

2.2.3 Покажите, что при малом сопротивлении резистора $R_1$ по сравнению с сопротивлением нагрузки ( $R_1 \ll R_H$ ), коэффициент $\xi$ не зависит от $R_H$ , а определяется только характеристиками элементов ваттметра.

2.2.4 Определите относительную погрешность $\eta$ измерения мощности в приближении, описанном в предыдущем пункте.

Отговори

Решение

1.1 Если по участку течет ток $I$ , то падение напряжения на диоде

U_D = \frac{\sqrt{I}}{\sqrt{k}} \qquad (1),

а напряжение на резисторе

U_R = IR \qquad (2).

Сумма этих напряжений равна разности потенциалов на всем участке цепи:

U_D + U_R = \Delta\varphi \qquad (3).

Подставляя значения (1) и (2), получим квадратное уравнение относительно $\sqrt{I}$ :

IR + \frac{1}{\sqrt{k}}\sqrt{I} - \Delta\varphi = 0 \qquad (4).

Физический смысл имеет только положительный корень этого уравнения:

\sqrt{I} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4kR\Delta\varphi}}{2R\sqrt{k}} \qquad (5).

Тогда

I = \left(\frac{-1 + \sqrt{1 + 4kR\Delta\varphi}}{2R\sqrt{k}}\right)^2 \qquad (6).

1.2 Разность потенциалов на резисторе:

\Delta\varphi_R = IR = \left(\frac{-1 + \sqrt{1 + 4kR\Delta\varphi}}{2R\sqrt{k}}\right)^2 R \qquad (7).

1.3 При выполнении условия $kR\Delta\varphi \ll 1$ , формула (6) преобразуется к виду:

I \approx \left(\frac{-1 + (1 + 2kR\Delta\varphi)}{2R\sqrt{k}}\right)^2 = k(\Delta\varphi)^2 \qquad (8),

а формула (7) – к виду:

\Delta\varphi_R = Rk(\Delta\varphi)^2 \qquad (9).

2.1 Т.к. $R \gg R_H$ , то ток через резисторы $R_1$ равен току через нагрузку. Поэтому падение напряжения на резисторе $R_1$ :

U_1 = IR_1 \qquad (10).

Тогда потенциал точки $B$ :

\varphi_B = U - U_1 = U - IR_1 \qquad (11).

Напряжение на участке $AE$ равно $U$ . Напряжение на резисторе $R$ определим, воспользовавшись выражением (9):

\Delta\varphi_{RAE} = RkU^2 \qquad (12).

Тогда потенциал точки $C$ :

\varphi_C = 0 + \Delta\varphi RAE = RkU^2 \qquad (13).

Напряжение на участке $BF$ равно $\varphi_B = U - IR_1$ . Поэтому напряжение на резисторе $R$ :

\Delta\varphi_{RBF} = Rk(U - IR_1)^2 \qquad (14)

Потенциал точки $D$ :

\varphi_D = 0 + \Delta\varphi_{RBF} = Rk(U - IR_1)^2 \qquad (15).

2.2 Разность потенциалов между точками $C$ и $D$ :

\begin{aligned} U_V &= \varphi_C - \varphi_D = RkU^2 - Rk(U - IR_1)^2 =\\ &= 2kRR_1UI - kRR_1^2I^2 = 2kRR_1UI\left(1 - \frac{R_1 I}{2U}\right) \end{aligned} \qquad (16).

Ток и напряжения связаны законом Ома, т.е.:

\frac{I}{U} = \frac{1}{R_H + R_1} \qquad (17).

Поэтому показания вольтметра:

U_V = 2kRR_1UI\left(1 - \frac{R_1}{2(R_1 + R_H)}\right) \qquad (18).

Коэффициент $\xi$ :

\xi = 2kRR_1\left(1 - \frac{R_1}{2(R_1 + R_H)}\right) \qquad (19).

2.3 При выполнении условия $R_1 \ll R_H$ выражение для коэффициента $\xi$ принимает вид:

\xi = 2kRR_1 \qquad (19),

Т.е. действительно не зависит от сопротивления нагрузки.

2.4 Относительная погрешность измерения:

\eta = \frac{kRR_1^2}{R_1 + R_H} \approx \frac{kRR_1^2}{R_H} \qquad (20).

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf