Съдържание

BelPhO 2009, Областен етап, 9, 11 — Задача 6. «Сила и импульс»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2009 год. Теоретический тур.

Условие

3.1

Небольшой упругий шарик массы $m$ быстро движется со скоростью $v_0$ по гладкой горизонтальной поверхности, ограниченной двумя стенками, находящимися на расстоянии $l$ друг от друга. Найдите среднюю силу давления шарика на одну из стенок, считая все удары шарика о стенки абсолютно упругими.

Пояснение. Сила давления возникает из-за ударов шарика о стенку. В соответствии со вторым законом Ньютона средняя сила равна отношению импульса, полученного стенкой ко времени, в течение которого этот импульс был получен $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ . В данном случае усреднение должно проводиться за промежуток времени $\Delta t$ , значительно превышающий время между ударами шарика о стенку.

Шарик массы m движется со скоростью v₀ вправо по горизонтальной поверхности между двумя вертикальными стенками; расстояние между стенками l₀.

3.2

Два упругих тела движутся вдоль оси $Ox$ : тело массы $m_1$ со скоростью $u_0$ , тело массы $m_2$ со скоростью $v_0$ . Тела сталкиваются абсолютно упруго.

Ось X; тело m₁ со скоростью u₀ и впереди него тело m₂ со скоростью v₀, обе скорости направлены вдоль оси X.

3.1.1 Найдите скорости тел после столкновения.

3.1.2 Допустим, масса второго тела пренебрежимо мала. Чему будут равны скорости тел после столкновения в этом случае.

3.3

Рассмотрим движение тяжелого поршня и легкого шарика массы $m$ , (который можно считать материальной точкой) по гладкой горизонтальной поверхности, ограниченной вертикальной стенкой. Столкновения шарика с поршнем и стенкой абсолютно упругие. Поршень движется с малой постоянной скоростью $u_0$ по направлению к стенке. Первоначально шарик находится на расстоянии $l_0$ от стенки.

Поршень слева движется со скоростью u₀ вправо; шарик m на расстоянии l₀ от вертикальной стенки справа; траектория шарика показана до стенки и обратно, точка следующего удара на расстоянии l₁ от стенки.

3.3.1 Чему будет равна скорость шарика $v_1$ после его столкновения с поршнем?

3.3.2 На каком расстоянии $l_1$ от стенки шарик столкнется с поршнем следующий раз? Через какой промежуток времени $\tau_1$ произойдет это столкновение?

3.3.3 Найдите скорость шарика $v_k$ после $k$ -того столкновения с поршнем ( $k$ - номер удара шарика о поршень). На каком расстоянии $l_k$ произойдет следующее столкновение? Через какой промежуток времени $\tau_k$ оно произойдет?

Выразите величины $v_k$ , $l_k$ , $\tau_k$ в явном виде через заданные значения $l_0$ и $u_0$ .

3.3.4 Покажите, что средняя сила давления шарика на стенку $F$ , зависит от расстояния поршня до стенки $l$ по закону

F = Al^{\gamma},

где $A$ и $\gamma$ - постоянные величины. Найдите, чему они равны.

По-прежнему считайте, что промежуток времени, за который происходит усреднение, значительно больше времени между ударами шарика о стенку. Также можно считать, что число столкновений шарика с поршнем очень велико.

Отговори

Решение

Шарик массы m движется со скоростью v₀ вправо между двумя вертикальными стенками на расстоянии l₀.

3.1 Импульс, полученный стенкой за одно столкновение равен

\Delta p = 2mv_0, \qquad (1)

время между ударами, очевидно, равно

\Delta t = 2\frac{l_0}{v_0} \qquad (2)

Следовательно, средняя сила давления шарика на стенку равна

F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{mv_0^2}{l_0}. \qquad (3)

3.2 Для определения скоростей тел после соударения следует воспользоваться законами сохранения импульса и механической энергии

\begin{aligned} &m_1u_0 + m_2v_0 = m_1u_1 + m_2v_1\\ &\frac{m_1u_0^2}{2} + \frac{m_2v_0^2}{2} = \frac{m_1u_1^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \end{aligned}. \qquad (4)

Для решения системы уравнений, преобразуем их и разделим одно на другое:

\begin{cases} m_1(u_0^2 - u_1^2) = m_2(v_1^2 - v_0^2)\\ m_1(u_0 - u_1) = m_2(v_1 - v_0) \end{cases} \Rightarrow\quad u_0 + u_1 = v_1 + v_0 \quad\Rightarrow\quad v_1 = u_0 - v_0 + u_1.

Тем самым, получаем систему двух линейных уравнений, решение которых находится легко

m_1u_0 + m_2v_0 = m_1u_1 + m_2(u_0 - v_0 + u_1) \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}u_0 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}v_0\\ v_1 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}u_0 - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0 \end{cases}. \qquad (5)

Если масса второго тела пренебрежимо мала ( $m_2 \approx 0$ ), то из формул (5) следует

\begin{cases} u_1 = u_0\\ v_1 = 2u_0 - v_0 \end{cases}. \qquad (6)

Ось X; тело m₁ со скоростью u₀ и тело m₂ со скоростью v₀.

3.3.1 Полагая в формуле (6) $v_0 = 0$ , находим скорость шарика после первого удара

v_1 = 2u_0. \qquad (7)

Поршень со скоростью u₀, шарик m на расстоянии l₀ от стенки; точка следующего удара на расстоянии l₁ от стенки.

3.3.2 До следующего столкновения поршень пройдет расстояние $(l_0 - l_1)$ , а шарик $(l_0 + l_1)$ . Приравнивая их времена движения, получим уравнение

\frac{l_0 - l_1}{u_0} = \frac{l_0 + l_1}{2u_0}. \qquad (8)

Из которого находим точку второго удара

l_1 = \frac{1}{3}l_0. \qquad (9)

И время между ударами

\tau_1 = \frac{l_0 - l_1}{u_0} = \frac{2}{3}\frac{l_0}{u_0}. \qquad (10)

3.3.3 Из формул (6) следует, что после каждого удара скорость шарика увеличивается на $2u_0$ (следует учесть, что шарик при всяком ударе летит навстречу поршню):

v_k = 2u_0 + v_{k-1}. \qquad (11)

Таким образом, скорости шарика после ударов образуют арифметическую прогрессию, поэтому явное выражение для скорости шарика после $k$ -того столкновения с поршнем имеет вид

v_k = 2k\cdot u_0. \qquad (12)

Чтобы установить связь между координатами точек последовательных ударов запишем уравнение, аналогичное уравнению (8), из которого определим

\frac{l_{k-1} - l_k}{u_0} = \frac{l_{k-1} + l_k}{v_k} = \frac{l_{k-1} + l_k}{2ku_0} \quad\Rightarrow\quad l_k = \frac{2k - 1}{2k + 1}l_{k-1}. \qquad (13)

Последовательно подставляя значения легко найти, что

l_k = \frac{1}{2k + 1}l_0. \qquad (14)

Время между последовательными ударами рассчитывается по формуле

\tau_k = \frac{l_{k-1} - l_k}{u_0} = \left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1}\right)\frac{l_0}{u_0} = \frac{2}{4k^2 - 1}\frac{l_0}{u_0}. \qquad (15)

Средняя сила давления шарика на поршень после $k$ -того удара равна

F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = m\frac{2v_k}{\tau_k} = m\frac{2\cdot 2k\cdot u_0}{\frac{2}{4k^2 - 1}\frac{l_0}{u_0}} = 2k(4k^2 - 1)\frac{mu_0^2}{l_0}. \qquad (16)

После большого числа ударов $(k \gg 1)$ можно считать, что $(4k^2 - 1) \approx 4k^2$ , и $\frac{l_0}{l_k} = 2k - 1 \approx 2k$ , поэтому

F = 2k(4k^2 - 1)\frac{mu_0^2}{l_0} \approx 8k^3\frac{mu_0^2}{l_0} \approx \frac{mu_0^2}{l_0}\left(\frac{l_0}{l}\right)^3. \qquad (17)

Следовательно, $\gamma = -3$ , $A = mu_0^2 l_0^2$ .

Оригинал в Архива: 3_etap_2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2009_theoretical_solutions.pdf