Съдържание

Условие Теоретическое введение.Измерения Отговори Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап — Задача 2. Трение и равновесие.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Экспериментальный тур

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

9 класс.

Приборы и оборудование: Нитки, кнопки канцелярские, набор грузов $6\times 100\,\text{г}$ , линейка 40 см.

В данной работе вам предстоит исследовать условия равновесия тел и силу трения между нитью и пластмассовой канцелярской кнопкой.
Воткните две кнопки в торец крышки стола. К одной из них привяжите конец нити, перебросьте нить через вторую кнопку. Грузы необходимо прикреплять к концу нити и к середине между кнопками. Вам необходимо измерять высоты подъемов грузов, прикрепленных к концу нити и к ее середине.

Обозначим высоту подъема груза $m_0$ через $x$ , расстояние от точки крепления грузов до стола $h$ , расстояние между кнопками $2l$ .

Нить, переброшенная через кнопку: горизонтальный участок с натяжением T̄₁ и вертикальный участок с натяжением T̄₀, на котором подвешены два цилиндрических груза; стрелка у кнопки показывает направление закрутки.

Когда нить переброшена через стержень, натяжения нити различны с различных сторон от стержня из-за наличия сил трения между нитью и поверхностью стержня. Можно показать, что отношение сил натяжения нитей при постоянном угле закрутки остается постоянным:

T_1 = \beta T_0, \qquad (1)

где $\beta$ - коэффициент, зависящий от коэффициента трения и угла закрутки.

Основной целью вашей работы является проверка данной формулы и определение коэффициента $\beta$ .

Теоретическое введение.

Для определения силы натяжения нити $T_1$ необходимо рассмотреть геометрические соотношения между сторонами треугольника $ABC$ и измеряемыми параметрами $h$ (расстояние на которой опустился центральный груз) и $x$ (высота подъема крайнего груза). Выразим из теоремы Пифагора длину отрезка $|AD| = a$

a = \sqrt{l^2 - h^2}. \qquad (1)

Теперь из подобия треугольников $BCD$ и $AGB$ следует

\frac{h}{l + x} = \frac{d}{2l}, \quad \Rightarrow \quad d = 2l\frac{h}{l + x} \qquad (2)

Условие равновесия груза $m_1$ имеет вид

m_1 g\, a = T_1 d, \qquad (3)

из которого следует формула для расчета силы $T_1$ :

T_1 = m_1 g\frac{a}{d} \qquad (4)

Геометрия установки: кнопки в точках A и B на расстоянии 2l (отрезки a = AD и b = DB); из середины C нити опущен груз m₁ на глубину h под точкой D; AC = l, CB = l+x с натяжением T̄₁ под углом β к AB; из A проведен перпендикуляр d = AG к прямой BC; с точки B свисает груз m₀ с натяжением T̄₀, поднятый на высоту x.

Измерения

Все измерения проводите в двух случаях: при опускании грузов $m_0$ и при их подъеме:

- сначала поднимите груз $m_0$ выше положения равновесия, затем, слегка придерживая его рукой, дайте ему медленно опуститься до положения равновесия;

- опустите груз $m_0$ ниже положения равновесия, а затем, придерживая его рукой, дайте ему подняться до положения равновесия.

Результаты измерений и последующих расчетов удобно представить в таблице

$m_0$ , г	$m_1$ , г	подъем					опускание
		$x$ , мм	$h$ , мм	$a$ , мм	$d$ , мм	$T_1$ , Н	$x$ , мм	$h$ , мм	$a$ , мм	$d$ , мм	$T_1$ , Н

1.1 Прикрепите к середине нити один груз. Измерьте значения опускания грузов $x$ и высоты подъема центрального груза $h$ от числа грузов, подвешенных к концу нити. Измерения проведите при опускании и при подъеме грузов.

1.2 Постройте графики полученных зависимостей $x(m_0)$ и $h(m_0)$ при подъеме и при опускании. Дайте им качественное объяснение.

1.3 Постройте графики зависимостей силы натяжения $T_1$ от силы натяжения $T_0$ при подъеме и при опускании грузов. Подтверждают ли полученные результаты формулу (1)?

1.4 Проведите аналогичные измерения для всевозможных отношений масс $m_1$ и $m_0$ (при этом всегда должно выполняться условие $m_0 \geq m_1$ ). Постройте объединенные графики зависимостей силы натяжения $T_1$ от силы натяжения $T_0$ при подъеме и при опускании грузов. Используя полученные экспериментальные зависимости, определите значение коэффициента $\beta$ в формуле (1).Согласуются ли полученные значения этого коэффициента, рассчитанные по двум зависимостям (при подъеме и опускании)?

1.5 Представьте все полученные данные в виде одной, объединенной зависимости, укажите, как это можно сделать. Определите значение коэффициента $\beta$ по этой объединенной зависимости. Оцените погрешность полученного результата.

Отговори

Решение

1.1 Результаты измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерений и расчетов.

$m_0$ , г	$m_1$ , г	Подъем					опускание
		$x$ , мм	$h$ , мм	$a$ , мм	$d$ , мм	$T_1$ , Н	$x$ , мм	$h$ , мм	$a$ , мм	$d$ , мм	$T_1$ , Н
1	1	50	125	305,4	217,1	1,41	167	230	236,6	305,4	0,77
2	1	19	70	322,5	132,4	2,44	45	110	311,1	193,6	1,61
3	1	10	45	326,9	87,4	3,74	20	65	323,5	122,6	2,64
4	1	5	35	328,1	69,0	4,76	10	50	326,2	97,1	3,36
2	2	47	127	304,6	222,3	2,74	160	235	231,7	316,5	1,46
3	2	20	85	318,9	160,3	3,98	70	150	293,9	247,5	2,38
4	2	12	70	322,5	135,1	4,77	35	105	312,8	189,9	3,30

1.2 Графики зависимости $x(m_0)$ и $h(m_0)$ показаны на рис. 1

Два графика: слева x, мм (0–180) от m₀ (0–5), справа h, мм (0–240) от m₀ (0–5); на каждом по две убывающие кривые (при подъеме — нижняя, при опускании — верхняя) через точки для m₀ = 1, 2, 3, 4. — Рис. 1

Эти зависимости не линейны, потому что изменяется не только масса груза, но и плечо силы натяжения нити $T_1$ .

1.3 Аналогичные зависимости регистрируются при других значениях масс подвешенных грузов.

Графики зависимости силы натяжения $T_1$ от натяжения $T_0$ показаны на рис. 2. Данные зависимости практически линейны, что подтверждает высказанное предположение о том, что трение уменьшает силу натяжения нити в одно и тоже число раз. Параметр $\beta$ определяется как коэффициент наклона при подъеме и величина обратная коэффициенту наклона при опускании груза.
Значение коэффициента $\beta$ , рассчитанное по зависимости при подъеме равно $\beta \approx 0{,}82$ ; по зависимости при опускании $\beta = \frac{1}{1{,}24} \approx 0{,}81$ . Таким образом, данные согласуются друг с другом.

График T₁ от T₀ (оси от 0 до 5 и от 0 до 4): две прямые из начала координат с экспериментальными точками — более крутая (опускание) доходит до T₁ ≈ 5 при T₀ = 4, более пологая (подъем) — до T₁ ≈ 3,3. — Рис. 2

Объединенный график T′ от T (оси от 0 до 5): точки обеих серий лежат около одной прямой, поднимающейся примерно от 0,3 при T = 0,5 до 4,1 при T = 5. — Объединенный график

1.5 Для объединения всех данных необходимо построить зависимость «меньшей силы» от «большей» (т.е. обратить зависимость, полученные при опускании). В этом случае график будет отражать именно уменьшение силы натяжения нити из-за ее трения о кнопку. Этот график показан на рис. 3. Значение коэффициента $\beta$ , рассчитанное по этой зависимости равно

\beta \approx 0{,}85 \pm 0{,}06.

Оригинал в Архива: 2009_experimental_problems.pdf · официални решения: 2009_experimental_solutions.pdf