Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая модель.Часть 2. Параметры установки.Часть 3. Изучение закона движения.Часть 4. Итоги.Отговори Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап — Задача 3. Лобовое сопротивление.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Экспериментальный тур

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

11 класс.

В данной работе вам необходимо измерить коэффициент лобового сопротивления движения гайки в вязкой жидкости.

Приборы и оборудование. Стержень с двумя гайками, желоб с вязкой жидкостью (жидкое мыло), линейка 40 см, секундомер, весы с разновесами, вилка одноразовая.

Для вас собрана установка: к потолку привязана длинная нить, к нижнему концу которой прикрепляется стержень, на который можно накручивать одинаковые гайки. Гайка может двигаться в желобе с вязкой жидкостью. С помощью линейки можно измерять положение стержня с гайкой в различные моменты времени, то есть изучать закон ее движения $x(t)$ .

Схема установки: длинная нить от потолка, на нижнем конце — стержень с гайками, опущенный в горизонтальный желоб с вязкой жидкостью; под желобом линейка, ниже ось x. Подписи: «нить», «стержень с гайками», «желоб с вязкой жидкостью», «линейка», x.

Будем считать, что сила сопротивления, действующая на гайку со стороны жидкости, пропорциональна скорости гайки

\vec F_{\text{сопр.}} = -\beta\vec v, \qquad (1)

где $\beta$ - коэффициент лобового сопротивления.

Часть 1. Теоретическая модель.

1.1 Используя формулу (1) и предварительные наблюдения над движением гайки в жидкости, покажите, что закон движения гайки $x(t)$ описывается уравнениями

\frac{\Delta x}{\Delta t} = -\gamma x \quad \Leftrightarrow \quad x(t) = x_0\exp(-\gamma t), \qquad (2)

где $x_0$ - начальное отклонение положения гайки от положения равновесия.

1.2 Выразите значение коэффициента $\gamma$ через параметры установки.

Часть 2. Параметры установки.

2.1 Измерьте массы гайки и стержня.

2.2 Для измерения длины нити используйте секундомер.
Измерьте период колебаний маятника (без вязкой жидкости). Рассчитайте длину маятника. Ускорение свободного падения считайте равным $g = 9{,}81\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Часть 3. Изучение закона движения.

3.1 Проведите измерения зависимости координаты гайки от времени $x(t)$ в двух случаях с одной гайкой внизу и с двумя гайками (одна внизу стержня, вторая сверху).

Следите, чтобы гайка или стержень в процессе движения не касались дна и стенок желоба. При проведении измерений с двумя гайками, верхняя гайка должна находиться выше жидкости. Перед каждым измерением тщательно перемешивайте жидкость в желобе, так как на ней может образовываться поверхностная пленка, существенно влияющая на результаты измерений.

3.2 Постройте графики законов движения для двух случаев.

3.3 Покажите, что результаты измерений закона движения соответствуют теоретической модели (2).

3.4 Рассчитайте значения коэффициентов $\gamma$ в формулах (2) для двух экспериментально изученных случаев.

Соответствуют ли полученные значения этих коэффициентов значениям измеренных масс?

Часть 4. Итоги.

4.1 Рассчитайте коэффициент лобового сопротивления при движении гайки в вязкой жидкости.

Отговори

Решение

1.1 На основании второго закона Ньютона и с учетом малости угла отклонения $\alpha = \frac{x}{L}$ запишем уравнение:

ma = -mg\,\alpha - \beta v. \qquad (1)

Так как ускорение и скорость движения очень малы, то в этом уравнении можно пренебречь слагаемым $ma$ , тогда уравнение движения приобретает вид

v = -\frac{mg}{\beta L}x \qquad (2)

или

\frac{\Delta x}{\Delta t} = -\gamma x, \qquad (3)

где

\gamma = \frac{mg}{\beta L}. \qquad (4)

Часть 2. Параметры установки.

2.1 Измеренные значения масс гайки $m$ и стержня $m_0$ равны

\begin{aligned} m &= (4{,}5 \pm 0{,}1)\,\text{г} \\ m_0 &= (1{,}5 \pm 0{,}1)\,\text{г} \end{aligned}

2.2 Период колебаний маятника

T = (3{,}67 \pm 0{,}05)\,\text{с}.

Используя формулу для периода колебаний математического маятника

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad (5)

рассчитаем длину нити

L = \frac{T^2 g}{4\pi^2} = 3{,}347\,\text{м}, \qquad \Delta L = 2L\frac{\Delta T}{T} = 0{,}09\,\text{м}.

Окончательно получаем

L = (3{,}35 \pm 0{,}09)\,\text{м}. \qquad (6)

Маятник: нить длиной L отклонена от вертикали на угол α; на конце — шар, на который действуют сила тяжести mg⃗ (вниз), сила натяжения N⃗ (вдоль нити), сила F⃗ (вправо); скорость v⃗ направлена влево; внизу горизонтальная ось x.

Часть 3. Изучение закона движения.

Результаты измерений времени движения до соответствующего значения координаты для маятника с одной и двумя гайками приведены в Таблице 1. На рис. 2 показаны графики законов движения, построенные по этим данным.

Таблица 1. Результаты измерений времени движения.

1 гайка		2 гайки
$x$ , см	$t$ , с	$x$ , см	$t$ , с
15	0	15	0
14	5	14	3
13	10	13	6
12	16	12	9
11	22	11	14
10	29	10	18
9	39	9	23
8	49	8	29
7	60	7	35
6	74	6	43
5	92	5	54
4	117	4	67
3	143	3	83
2	186	2	108

График x, см (0–16) от t, с (0–200): две убывающие кривые от x = 15 при t = 0 — для двух гаек (ромбы) до x = 2 при t ≈ 108 с, для одной гайки (кружки) до x = 2 при t ≈ 186 с. — Рис. 2 Закон движения

Полученные зависимости похожи на экспоненциальные. Для проверки этого утверждения необходимо построить эти графики в полулогарифмическом масштабе. Так как в ходе экспериментов непосредственно измерялось время достижения определенного значения координаты, то предпочтительнее $^1$ построить графики зависимости времени от логарифма координаты $t(\ln(x))$ . Эти графики приведены на рис. 3 (при расчете учтено смещение нулевого положения маятника $x_0 = 1{,}5\,\text{см}$ ).
Как и следовало ожидать, получены линейные зависимости. В соответствии с приведенным законом движения

x(t) = x_0\exp(-\gamma t), \qquad (7)

Теоретически зависимости, приведенные на рис. 3 описываются функцией

t = -\frac{1}{\gamma}(\ln(x) - \ln(x_0)). \qquad (8)

Следовательно, коэффициенты наклона графиков численно равны $\gamma^{-1}$ .

График t, с (0–160) от ln(x) (0,0–3,0): две убывающие прямые, сходящиеся в точке ln(x) ≈ 2,6, t = 0; верхняя (одна гайка) начинается около t ≈ 145 при ln(x) ≈ 0,4, нижняя (две гайки) — около t ≈ 85. — Рис. 3 Зависимость времени от координаты (полулогарифмический масштаб)

Обработка этих зависимостей по МНК (где $t = a\ln(x) + b$ ) приводит к следующим значениям коэффициентов наклона для маятника с одной и двумя гайками, соответственно

\begin{aligned} a_1 &= -(67{,}2 \pm 1{,}7)\,\text{с} \\ a_2 &= -(38{,}7 \pm 0{,}9)\,\text{с} \end{aligned}

В соответствии с формулой (4) отношение этих коэффициентов должно быть равно обратному отношению масс грузов, подвешенных к маятнику. Вычислим это отношение:

\frac{a_1}{a_2} = (1{,}74 \pm 0{,}06).

Рассчитаем также отношение масс грузов

m_1 = m + m_0 = 6{,}0\,\text{г}, \quad \Delta m_1 = \sqrt{(\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}14\,\text{г};

m_2 = 2m + m_0 = 10{,}5\,\text{г}, \quad \Delta m_2 = \sqrt{(2\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}22\,\text{г};

\frac{m_2}{m_1} = 1{,}75 \quad \Delta\left(\frac{m_1}{m_2}\right) = \frac{m_1}{m_2}\sqrt{\left(\frac{\Delta m_1}{m_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m_2}{m_2}\right)^2} = 0{,}05.

Таким образом, полученные данные соответствуют теоретической модели.
Значение параметров $\gamma$ в двух случаях равны:

\begin{aligned} \gamma_1 &= (2{,}58 \pm 0{,}06)\cdot 10^{-2}\,\text{с}^{-1} \\ \gamma_2 &= (1{,}49 \pm 0{,}04)\cdot 10^{-2}\,\text{с}^{-1} \end{aligned}

Часть 4. Итоги.

4.1 Из выражения (4) следуют формулы для расчета коэффициента лобового сопротивления

\beta = \frac{mg}{\gamma L} = a\frac{mg}{L}, \qquad \Delta\beta = \beta\sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2}. \qquad (9)

Расчеты по ним приводят к следующим значениям искомого параметра:

маятник с одной гайкой

\beta_1 = a_1\frac{m_1 g}{L} = 67{,}2\,\frac{6{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}18\,\frac{\text{кг}}{\text{с}}, \qquad \Delta\beta_2 = 0{,}04\,\frac{\text{кг}}{\text{с}};

маятник с двумя гайками

\beta_2 = a_2\frac{m_2 g}{L} = 38{,}7\,\frac{10{,}5\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}19\,\frac{\text{кг}}{\text{с}}, \qquad \Delta\beta_2 = 0{,}05\,\frac{\text{кг}}{\text{с}};

Окончательный результат можно представить в виде

\beta = (1{,}18 \pm 0{,}04)\,\frac{\text{кг}}{\text{с}}.

$^1$ В этом случае применение метода наименьших квадратов обосновывается более строго. Не будет большой ошибкой и традиционное построение зависимости логарифма координаты от времени.

Оригинал в Архива: 2009_experimental_problems.pdf · официални решения: 2009_experimental_solutions.pdf