Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая.Часть 2. Стационарный режим.Часть 3. Остывание.Часть 4. Итоги.Отговори Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап — Задача 4. Сопротивление графита.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Экспериментальный тур

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого из них отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь сразу с условиями обеих задачами, что бы разумно спланировать свое время.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям жюри.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика. При недостатке бумаги – обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Все графики необходимо строить на миллиметровой бумаге, которую вложите внутрь своей тетради. Не забудьте озаглавить каждый график (номер задачи, номер графика, вид зависимости).
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

11 класс.

В данной работе вам необходимо изучить зависимость сопротивления графитового стержня от температуры. При относительно небольшом изменении температуры $T$ можно считать, что данная зависимость линейна

R = R_0(1 - \alpha\Delta T). \qquad (1)

Хрупкий графитовый стержень закрепляется с помощью двух стальных зажимов, которые также является токоподводящими контактами. Теплопроводность стали высока, поэтому температуру зажимов можно считать постоянной и равной температуре стержня. Теплоемкостью стержня можно пренебречь.

Масса каждого зажима равна $m = (1{,}5 \pm 0{,}1)\,\text{г}$ ;

Удельная теплоемкость стали $c = 0{,}47\,\frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$ .

Также можно считать, что мощность передачи теплоты от стержня в окружающую среду пропорциональна разности температур стержня и воздуха

P = \beta\Delta T. \qquad (2)

Целью работы является экспериментальная проверка соотношений (1) и (2) и определение температурного коэффициента сопротивления $\alpha$ .

Приборы и оборудование. Графитовый стержень с зажимами-контактами в бутылке; источник питания (ЛИП); мультиметр цифровой; амперметр школьный; реостат 6 Ом; 2 резистора с известными сопротивлениями; секундомер; двухполюсной электрический ключ; соединительные провода.

Условное обозначение графитового стержня в бутылке: прямоугольник резистора внутри овала, подпись R_C; над символом надпись «графитовый стержень в бутылке». — Рис. 1

На электрических схемах графитовый стержень будем обозначать, как показано на рис. 1.

Доставать графит из бутылки запрещается – обязательно сломаете стержень!

Часть 1. Теоретическая.

1.1 При протекании электрического тока по стержню, последний нагревается, что приводит к изменению его сопротивления. Если к стержню приложено постоянное напряжение, то по прошествии некоторого промежутка времени устанавливается стационарный режим, когда и сила тока, и температура стержня остаются постоянными.

Покажите, что в стационарном режиме протекания тока сопротивление стержня зависит от выделяющейся мощности по формуле

R_C = R_{C0}(1 - \gamma P). \qquad (3)

Укажите физический смысл параметра $\gamma$ . Выразите его через значения параметров $\alpha$ и $\beta$ .

1.2 Стержень подключен к источнику постоянного напряжения, но температура стержня отличается от стационарной $\overline{T}$ . Покажите, что изменение температуры со временем приближенно описывается уравнением

\frac{\Delta T}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}(T - \overline{T}). \qquad (4)

где $\tau$ - характерное время установления равновесия. Выразите значение этого параметра чрез параметры $\alpha$ , $\beta$ и характеристики стержня с зажимами. Получите формулу для расчета температурного коэффициента сопротивления $\alpha$ .

Решением уравнения (4) является функция (вам доказывать это не требуется)

(T - \overline{T}) = (T - \overline{T})_0\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right). \qquad (5)

Часть 2. Стационарный режим.

2.1 Используя имеющееся оборудование, измерьте зависимость силы тока через графитовый стержень от приложенного к нему напряжения. Измерения проведите «в двух направлениях»:

при увеличении напряжения от минимального до максимального значения (нагревание);
при уменьшении напряжения от максимального до минимального значений (остывание).

Так как при протекании тока температура стержня изменяется, то перед каждым снятием показаний следует выждать не менее 30-40 секунд. Следите, чтобы показания мультиметра стабилизировались после изменения приложенного напряжения.

Напоминаем: один из критериев оценивания – диапазон изменения измеряемых параметров, стремитесь сделать его максимально широким. Не забудьте привести принципиальную электрическую схему регулировки напряжения, использованную вами при измерениях.

Для повышения точности измерения используйте мультиметр как для измерения силы тока через стержень, так и для измерения напряжения на нем. Для этого рекомендуем использовать следующую измерительную схему (рис. 2), позволяющую простым переключением ключа измерять напряжение, как на графитовом стержне, так и на резисторе с известным сопротивлением.

Использовать мультиметр в качестве амперметра или омметра не рекомендуется (Made in China).

Школьный амперметр используйте в качестве индикатора наличия тока в цепи и для предварительных измерений.

Укажите диапазон мультиметра, на котором проводились измерения. Укажите, какое сопротивление Вы использовали в качестве $R_0$ .

Измерительная схема: последовательно соединены графитовый стержень R_C и резистор R₀; вольтметр V одним выводом подключен к точке между ними, другим — через ключ K, который соединяет его с одним из внешних концов цепи. — Рис.2

1.2 Постройте график полученной вольтамперной характеристики графитового стержня. Качественно объясните полученную зависимость.

1.3 Постройте график зависимости сопротивления графитового стержня $R_C$ , от мощности теплоты $P$ , выделяющейся на нем при прохождении электрического тока.
Выделите линейные участки на полученных экспериментальных зависимостях.
Рассчитайте сопротивление стержня при комнатной температуре $R_{C0}$ и численное значение параметра $\gamma$ . Не забудьте об оценке погрешности!

Часть 3. Остывание.

Для измерения малых изменений сопротивления предпочтительнее использовать мостовую схему (рис. 3). Ключ может находиться в двух положениях:

1 - режим измерений;

2 – режим разогрева.

Изменяя положение движка реостата, можно добиться того, чтобы напряжение на вольтметре было равно нулю (или близко к нему), в этом случае мост называется сбалансированным. В качестве резистора $R_0$ возьмите резистор с меньшим сопротивлением, он упрощает балансировку моста.

При изменении сопротивления графита $R_C$ напряжение на вольтметре становится отличным от нуля. Можно показать (вам этого делать не требуется), что напряжение на вольтметре в этом случае пропорционально изменению сопротивления графитового стержня.

Мостовая схема: источник с амперметром A и ключом K (положения 1 и 2); плечи моста — графитовый стержень R_C и резистор R₁ сверху, резистор R₀ слева и реостат снизу; вольтметр V включен между точкой соединения R_C и R₁ и движком реостата. — Рис.3

3.1 Не разогревая стержень переключите ключ в режим измерений (положение 1). С помощью движка реостата добейтесь, чтобы показания мультиметра были близки к нулю (как можно точнее).

Переключив ключ в положение 2, разогрейте стержень (выждав не менее 1 минуты). После этого быстро переключите ключ в положение 1 и проведите измерения зависимости показаний вольтметра от времени.

Укажите диапазон мультиметра, на котором проводились измерения.

Подсказка. Не удивляйтесь, если показания вольтметра не стремятся к начальному значению, полученному при балансировке моста – примите, как неизбежность!

3.2 Постройте график полученной зависимости, дайте ему качественное объяснение.

3.3 Проверьте выполнимость законов (4) –(5). Определите с максимально возможной точностью значение характерного времени установления теплового равновесия $\tau$ .
Не забудьте об оценке погрешности!

Часть 4. Итоги.

4.1 Используя полученные экспериментальные данные, оцените (без оценки погрешности) значение температурного коэффициента сопротивления графита $\alpha$ .

4.2 Оцените, на сколько градусов нагревался графитовый стержень (максимальный нагрев) в ваших измерениях.

Отговори

Решение

Часть 1. Теоретическая.

В условии приведены формулы, определяющие стационарный режим протекания тока и значения температуры:

R = R_0(1 - \alpha\Delta T). \qquad (1)

P = \beta\Delta T. \qquad (2)

В стационарном режиме вся мощность, выделяющаяся на стержне при протекании тока, рассеивается в окружающую среду. Выражая из формулы (2) разность температур и подставляя в формулу (1) получим

R = R_0\left(1 - \frac{\alpha}{\beta}P\right) = R_0(1 - \gamma P). \qquad (3)

Следовательно, параметр равен

\gamma = \frac{\alpha}{\beta} \qquad (4)

и имеет смысл мощностного коэффициента сопротивления, указывает относительное изменение сопротивления при изменении мощности на нем на 1 Вт.

Запишем очевидное уравнение теплового баланса для стержня с зажимами

cm\Delta T = (P - \beta(T - T_0))\Delta t, \qquad (5)

где $T_0$ - комнатная температура. Так как сила тока слабо изменяется при небольшом изменении температуры, то выделяющуюся мощность можно считать примерно постоянной.
Уравнение (5) перепишем в виде

\frac{\Delta T}{\Delta t} = -\frac{\beta}{cm}\left(T - \frac{P + \beta T_0}{\beta}\right) = -\frac{1}{\tau}(T - \overline{T}), \qquad (6)

где обозначено

характерное время установления теплового равновесия: $\tau = \frac{cm}{\beta}$ ; (7)
стационарная температура (не нужная в дальнейшем): $\overline{T} = \frac{P + \beta T_0}{\beta}$ .

Из формул (4) и (7) находим

\alpha = \gamma\beta = \gamma\frac{cm}{\tau}. \qquad (8)

Схема для измерений в стационарном режиме: графитовый стержень R_C и резистор R₀ последовательно; вольтметр V через ключ K переключается между ними; цепь питается от источника через реостат, в цепи амперметр A. — Рис. 1

Часть 2. Стационарный режим.

Для проведения измерений следует использовать следующую схему. Резистор $R_0$ должен иметь минимальное значение, что бы достичь максимально возможного значения силы тока через графитовый стержень.

2.1 Результаты измерений напряжений на графитовом стержне $U_C$ и резисторе $U_0$ , а также расчетов силы тока $I$ , мощности, выделяющейся на стержне $P$ , и сопротивления стержня $R$ представлены в таблице 1.

Расчетные формулы хорошо известны:

сила тока: $I = \frac{U_0}{R_0}$ , использован резистор с сопротивлением $R_0 = 0{,}51\,\text{Ом}$ ;
мощность: $P = UI$ ;
сопротивление: $R = \frac{U}{I}$ .

Таблица 1. Стационарный режим. Результаты измерений и расчетов.

Нагрев					Остывание
$U_0$ , мВ	$U_C$ , мВ	$I$ , мА	$P$ , мВт	$R$ , Ом	$U_0$ , мВ	$U_C$ , мВ	$I$ , мА	$P$ , мВт	$R$ , Ом
13	27	25,5	0,69	1,059	680	1260	1333,3	1680,0	0,945
39	82	76,5	6,27	1,072	617	1150	1209,8	1391,3	0,951
61	128	119,6	15,3	1,070	590	1105	1156,9	1278,3	0,955
86	181	168,6	30,5	1,073	563	1062	1103,9	1172,4	0,962
112	234	219,6	51,4	1,066	531	1002	1041,2	1043,3	0,962
146	306	286,3	87,6	1,069	512	972	1003,9	975,8	0,968
164	344	321,6	110,6	1,070	490	935	960,8	898,3	0,973
191	398	374,5	149,1	1,063	453	872	888,2	774,5	0,982
224	463	439,2	203,4	1,054	413	803	809,8	650,3	0,992
244	502	478,4	240,2	1,049	388	756	760,8	575,2	0,994
267	550	523,5	287,9	1,051	349	686	684,3	469,4	1,002
293	594	574,5	341,3	1,034	324	639	635,3	406,0	1,006
314	633	615,7	389,7	1,028	279	556	547,1	304,2	1,016
339	683	664,7	454,0	1,028	237	476	464,7	221,2	1,024
366	731	717,6	524,6	1,019	210	424	411,8	174,6	1,030
389	773	762,7	589,6	1,013	186	378	364,7	137,9	1,036
421	833	825,5	687,6	1,009	157	320	307,8	98,51	1,039
443	872	868,6	757,4	1,004	129	263	252,9	66,52	1,040
470	917	921,6	845,1	0,995	107	220	209,8	46,16	1,049
497	963	974,5	938,5	0,988	79	163	154,9	25,25	1,052
522	1005	1023,5	1028,6	0,982	56	117	109,8	12,85	1,066
538	1041	1054,9	1098,2	0,987	33	69	64,71	4,46	1,066
567	1084	1111,8	1205,2	0,975	13	27	25,49	0,69	1,059
584	1108	1145,1	1268,8	0,968
622	1168	1219,6	1424,5	0,958
660	1221	1294,1	1580,1	0,944
703	1284	1378,4	1769,9	0,931

1.3 Графики зависимостей силы тока от напряжения на графитовом стержне при нагреве и остывании показаны на рис. 2. Полученные результаты показывают, что эти зависимости практически совпадают, что свидетельствует о том, что в процессе измерений стационарный режим достигается.

График I, мА (0–1400) от U, мВ (0–1400): точки нагрева (кружки) и остывания (ромбы) лежат на одной почти прямой линии из начала координат до I ≈ 1380 мА при U ≈ 1280 мВ; легенда «- нагрев», «- остывание». — Рис. 2 Вольт-амперная характеристика стержня

На рис. 3 показаны зависимости сопротивления стержня от мощности, выделяющейся на нем.

График R, Ом (0,92–1,10) от P, мВт (0–2000): две серии точек (нагрев — кружки, остывание — ромбы) с убывающими линейными участками, отмеченными прямыми и подписями «нагрев» и «остывание». — Рис. 3 Зависимость сопротивления стержня от мощности

Полученные зависимости близки к линейным, большой разброс наблюдается при малых силах токов, что вероятнее всего связано с погрешностями измерений; и при больших токах, где вероятнее всего, существенны конвективные потоки воздуха. Тем не менее, не сложно выделить линейные участки на обоих графиках (Они указаны на рис. 3 и жирным шрифтом в Таблице 1).

Эти линейные участки можно обработать по методу наименьших квадратов (или графически), полагая

R = aP + b. \qquad (9)

Из сравнения с искомой зависимостью $R = R_0(1 - \gamma P)$ получаем, что характеристики графитового стержня могут быть рассчитаны по параметрам линейной зависимости

R_0 = b, \quad \gamma = -\frac{a}{b}. \qquad (10)

Проведенные расчеты приводят к следующим численным значениям:

при нагреве

\begin{aligned} a &= -(7{,}5 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-5}\ \text{Ом}\cdot\text{мВт}^{-1} \\ b &= R_0 = 1{,}060 \pm 0{,}003\,\text{Ом} \\ \gamma &= (7{,}1 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-5}\ \text{мВт}^{-1} = (7{,}1 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-2}\ \text{Вт}^{-1} \end{aligned}

при остывании

\begin{aligned} a &= -(7{,}0 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-5}\ \text{Ом}\cdot\text{мВт}^{-1} \\ b &= R_0 = 1{,}036 \pm 0{,}003\,\text{Ом} \\ \gamma &= (6{,}7 \pm 0{,}3)\cdot 10^{-5}\ \text{мВт}^{-1} = (6{,}7 \pm 0{,}3)\cdot 10^{-2}\ \text{Вт}^{-1} \end{aligned}

В пределах погрешности измерений коэффициенты $\gamma$ оказываются равными. Численные значения параметра $R_0$ несколько различаются, что видно и на графике 2. Этот факт вполне объясним – при остывании температура оказывается немного выше (хотя это и не слишком существенно для данной работы).

Среднее значение мощностного коэффициента сопротивления равно

\overline{\gamma} = (6{,}9 \pm 0{,}3)\cdot 10^{-2}\ \text{Вт}^{-1}. \qquad (11)

Часть 3. Остывание.

3.1 Результаты измерений зависимости напряжения от времени по предложенной схеме и последующих расчетов (см. ниже) приведены в Таблице 2.

Таблица 2. Результаты измерений зависимости напряжение от времени и расчеты параметров.

Мостовая схема: источник с амперметром A и ключом K (положения 1 и 2); плечи моста — R_C и R₁ сверху, R₀ слева, реостат снизу; вольтметр V между точкой соединения R_C и R₁ и движком реостата. — Рис.3

$t$ , с	$U$ , мВ	$U_{\text{ср.}}$ , мВ	$\frac{\Delta U}{\Delta t}, \frac{\text{мВ}}{\text{с}}$	$\ln(U - \overline{U})$
0	12,0			2,067
10	11,0	11,5	0,1000	1,932
20	10,0	10,5	0,1000	1,775
26	9,5	9,75	0,0833	1,686
31	9,0	9,25	0,1000	1,589
40	8,5	8,75	0,0556	1,482
47	8,0	8,25	0,0714	1,361
57	7,5	7,75	0,0500	1,224
67	7,0	7,25	0,0500	1,065
80	6,5	6,75	0,0385	0,875
96	6,0	6,25	0,0313	0,642
115	5,5	5,75	0,0263	0,336
155	5,0	5,25	0,0125	-0,105
207	4,5	4,75	0,0096	-0,916

График полученной зависимости показан на рис. 4. Отметим, что фактически данный график представляет также зависимость температуры (в относительных единицах) от времени. Поэтому теоретические зависимости для напряжения можно переписать из условия, заменив температуру измеренным напряжением:

\frac{\Delta U}{\Delta t} = -\frac{1}{\tau}(U - \overline{U}_0). \qquad (4)

(U - \overline{U}) = (U - \overline{U})_0\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right). \qquad (5)

Полученная кривая похожа на экспоненту, что качественно подтверждает предложенную модель теплоотдачи. Как видно из графика, напряжение не стремится к нулевому значению.

График U, мВт (0–14) от t, с (0–250): точки убывают от 12 при t = 0 к 4,5 при t ≈ 207 с по кривой, приближающейся к горизонтальной асимптоте Ū ≈ 4,1. — Рис. 4 Зависимость напряжения от времени

Можно, конечно, по графику приближенно оценить стационарное значение этого напряжения $\overline{U} \approx 4\ \text{В}$ , необходимое для дальнейшего для дальнейшей проверки записанных законов и определения их параметров. Однако предпочтительнее непосредственно проверить справедливость уравнения (4)! Для двух соседних точек следует рассчитать значения скорости изменения напряжения («для красоты», взятую с обратным знаком)

\left(\frac{\Delta U}{\Delta t}\right)_k = \frac{U_k - U_{k-1}}{t_k - t_{k-1}}, \qquad (6)

среднего напряжения на данном участке

U_{\text{ср.}k} = \frac{U_k + U_{k-1}}{2} \qquad (7)

и построить график их зависимости.

График dU/dt (0–0,12) от U_ср. (0–12): точки около прямой, пересекающей ось абсцисс примерно при U_ср. ≈ 4,1 и поднимающейся до ≈ 0,11 при U_ср. ≈ 11,5. — Рис. 5 Зависимость скорости изменения напряжения от напряжения

Результаты расчетов этих величин приведены в таблице 2, а график показан на рис. 5.

Как видно из графика уравнение (4) выполняется (если отбросить начальные точки, где скорость изменения велика, промежутки времени малы, поэтому и погрешность высока). Обработка линейной зависимости

-\frac{\Delta U}{\Delta t} = aU_{\text{ср.}} + b \qquad (8)

по МНК $^2$ приводит к следующим значением параметров

a = 0{,}0150\ \text{с}^{-1}, \qquad b = 0{,}0617\ \text{В}.

Сравнивая теоретическую зависимость (4) с линейной функцией, позволяет определить параметры уравнения (4)

\tau = \frac{1}{a} \approx 67\ \text{с}, \quad \overline{U} = \frac{b}{a} \approx 4{,}1\,\text{В}. \qquad (9)

Найденное значение предельного напряжения позволяет теперь проанализировать «интегральную» зависимость (5). Для этого построим график зависимости $\ln(U - \overline{U})$ от времени (рис. 6)

График ln(U − Ū) (от −1,5 до 2,5) от t, с (0–250): точки ложатся на убывающую прямую от 2,07 при t = 0, пересекающую ось t около 138 с; две последние точки (155 и 207 с) отклоняются от прямой. — Рис. 6 Зависимость напряжения от времени (полулогарифический масштаб)

Как видно, точки прекрасно легли на прямую (за исключением двух последних – где напряжение близко к предельному, поэтому точность измерений мала). Коэффициент наклона данной прямой, рассчитанный по МНК, равен

a = -(0{,}0150 \pm 0{,}0002)\ \text{с}^{-1},

Что дает значение времени установления теплового равновесия

\tau = (66{,}7 \pm 0{,}07)\,\text{с} \qquad (10)

с погрешностью порядка 1%.

Часть 4. Итоги.

4.1 По формуле (8) рассчитываем температурный коэффициент сопротивления графита

\alpha = \gamma\frac{cm}{\tau} = 6{,}9\cdot 10^{-2}\,\text{Вт}^{-1}\,\frac{0{,}47\cdot 10^3\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}\cdot 3{,}0\cdot 10^3\,\text{кг}}{66{,}7\,\text{с}} \approx 1{,}5\cdot 10^{-3}\,K^{-1}. \qquad (11)

4.2 В ходе измерений в Части 2 сопротивление графита упало от 1,06 Ом до 0,93 Ом. Это позволяет оценить изменение температуры стержня

\Delta T = \frac{1}{\alpha}\frac{\Delta R}{R_0} \approx \frac{1{,}06 - 0{,}93}{1{,}5\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}06} \approx 90^{\circ}. \qquad (12)

$^2$ Понятно, что точность процедуры численного вычисления производной низка, поэтому не следует проводить расчет погрешностей параметров этой зависимости, самое важное в этом графике – возможность определить стационарное значение напряжения.

Оригинал в Архива: 2009_experimental_problems.pdf · официални решения: 2009_experimental_solutions.pdf