Съдържание

BelPhO 2009, Заключителен етап, 9,11 — Задача 1. 9-1. «Маленький принц»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Заключительный этап — теоретический тур, 9 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач: три для 9 класса и три для 11 класса. В этих оригиналах раздела для 10 класса нет. Включены все 55 напечатанных конечных запросов, инструкции, справочные данные, таблица, подсказки, полные решения и дополнительные способы. Баллы и таблицы оценивания не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: часть греческих букв, минусов, штрихов и знаков приближения пропадает или заменяется посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригинальных PDF; исходные научные ошибки не исправлены.

Реология: ключ не печатает явную формулу x(t) для последовательного соединения, а описывает ее словами и графиком. При максимальном сжатии ключ ссылается на (7), хотя величина деформации дана в (9); исходная ссылка сохранена.

Глаз: в ключе количество колбочек обозначено N₂, тогда как в условии это N₁; численная подстановка использует 6,0·10⁶. В последней части ключ печатает A₁′A₂′≤ρ, одновременно говоря «должно быть больше». Номер (11) использован дважды; сохранены исходные обозначения, формулы и слова.

Оптико-механическая аналогия: в ключе угол однажды назван углом к горизонту, хотя условие задает угол к вертикали. Ссылка на формулы (4) вместо (3) сохранена. В формулах (14) и промежуточных равенствах (15) обе гравитационные дроби напечатаны с r₀, а заключительная зависимость скорости использует r; эти исходные различия сохранены.

Электрические качели: относительное изменение энергии в (8) использует W₁ в знаменателе, а напряжения – U₀. Ключ округляет 231,4 до 231 и получает примерно 116T₀. Для потерь в указанном сопротивлении катушки ключ использует U²max/(2R) и δ=T₀/(2RC₀); исходная модель и формулы сохранены, а не заменены другим расчетом.

Полупроводник: условие печатает j=Δq/(ΔS·Δt)=ΔI/Δt, хотя последнее выражение размерностно не соответствует плотности тока. Исходная температурная модель содержит exp(−E_g/kT). Красная граница в ключе округлена до 1,0 мкм, хотя приведенные константы дают около 1,11 мкм; дальнейшие формулы и графики используют исходное 1,0 мкм. Слова «регенерации», «соответствую» и неверные ссылки (11)/(12)/(19)/(20) в ключе сохранены. На графике i/i₀ при λ=1,0 мкм линия приходит к нулю, тогда как текст говорит i=i₀; исходный график сохранен.

Каталог указывает 58 частей; оригинал содержит 55 конечных номерных пунктов. Вложенные и составные запросы сохранены в своих исходных пунктах. На исходной иллюстрации потока зарядов в условии полупроводника крайние элементы уже обрезаны границами рисунка в PDF; опубликован полный исходный рисунок.

Обложка

А.И. Слободянюк. В.О. Богомолов. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Теоретический тур. Минск. 2009.

9 класс. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» марта 2009 года.

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
При решении задач вы также можете при необходимости использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях величины $x$ (то есть при $x\ll1$ ):

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x;\quad\exp(x)=e^x\approx1+x;\quad\sin x\approx x;\quad\cos x\approx1-\frac{x^2}2.

Условие

Согласно «теории» Антуана де Сент Экзюпери к нам на Землю прилетал Маленький Принц. Родиной героя являлась малая планета, судя по всему – астероид. Примем за родину Маленького принца Астероид со следующими характеристиками:

Астероид движется вокруг Солнца по круговой орбите радиусом $2{,}5$ а.е. в том же направлении, что и Земля.

Астероид представляет собой шар радиусом $r_A=10\,\text{км}$ .

Средняя плотность вещества Астероида $\rho=2{,}7\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Справочные данные. Среднее расстояние от Земли до Солнца называют астрономической единицей $1\,\text{а.е.}=1{,}46\cdot10^{11}\,\text{м}$ .

Год на Земле длится 1 год. Сутки на Земле 1 сут.=24 часа. Ускорение свободного падения на поверхности земли принять равным $g=9{,}8\,\text{м/с}^2$ . Гравитационная постоянная $G=6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ . Объем шара рассчитывается по формуле $V=\frac43\pi R^3$ .

Справка. В Солнечной системе между орбитами Марса и Юпитера существует пояс астероидов (звездоподобных, малых планет). В 2000 году каталог зарегистрированных астероидов насчитывал 18200 астероидов, из которых почти 9 тыс. имеют персональное название. Чтобы показать реальность наших допущений, приведем параметры известного астероида «Отто Шмидт», у которого большая полуось орбиты $a=2{,}436$ а.е., эксцентриситет $\varepsilon=0{,}006$ , диаметр астероида $D=16\,\text{км}$ , плотность $\rho=2700\,\text{кг/м}^3$ .

Иллюстрация поверхности астероида и Солнца целиком.

1.1 Сколько времени длится год на Астероиде Маленького Принца?

1.2 Допустим, что наименьшее расстояние от этого Астероида до Земли было 1 января 2009 года, рассчитайте, когда опять расстояние между нашими планетами станет наименьшим. Чему оно равно?

1.3 Чему равно ускорение свободного падения на этом Астероиде?

1.4 Чему равна первая космическая скорость для этого Астероида?

1.5 Гуляя по планете, маленький принц при помощи пружинных весов обнаружил, что вес тел на экваторе планеты меньше, чем на полюсе на $\eta=10\%$ . Чему равна продолжительность суток на Астероиде?

1.6.1 На какую высоту подпрыгнет Маленький Принц на астероиде, если на Земле он подпрыгивает вверх на высоту $h_0=0{,}50\,\text{м}$ ? Считайте, что начальная скорость прыжка одинакова на Земле и на Астероиде. Считайте, что изменением ускорения свободного падения на высоте прыжка можно пренебречь.

1.6.2 Оцените, на сколько процентов уменьшится ускорение свободного падения на максимальной высоте прыжка на Астероиде.

1.6.3 Оцените, какую относительную ошибку вы допустили в п. 1.6.1, считая ускорение свободного падения не зависящим от высоты над поверхностью астероида.

Решение

1.1 По второму закону Ньютона (с учетом закона всемирного тяготения)

G\frac{M_Cm}{R^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}R,\qquad (1)

где $m$ – масса планеты, $R$ – радиус орбиты планеты, $T$ – период обращения планеты вокруг Солнца. Сравнив движение Астероида и Земли, получим

T_A=T_{\text{З}}\sqrt{\left(\frac{R_A}{R_{\text{З}}}\right)^3}\approx1\sqrt{\left(\frac{2{,}5}1\right)^3}\approx4{,}0\,\text{года}.\qquad (2)

1.2. Наименьшее расстояние между астероидом и Землей будет, когда Солнце, Земля и Астероид установятся на одной прямой (точка 1 на рис.). При этом расстояние между Астероидом и Землей равно

L=R_A-R_{\text{З}}=1{,}5\,\text{а.е.}\approx2{,}2\cdot10^{11}\,\text{м}.\qquad (3)

Следующий раз такая ситуация повторится, когда Земля в своем движении вокруг Солнца обгонит астероид на угол $2\pi$ , (или $360^\circ$ ) – точка 2. Относительная угловая скорость Земли относительно астероида равна $\omega_{\text{отн.}}=\omega_{\text{З}}-\omega_A=\frac{2\pi}{T_{\text{З}}}-\frac{2\pi}{T_A}$ . Следовательно, время движения можно рассчитать по формуле

\tau=\frac{2\pi}{\omega_{\text{отн.}}}=\frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_{\text{З}}}-\frac{2\pi}{T_A}}=\frac{T_{\text{З}}T_A}{T_A-T_{\text{З}}}\approx1{,}33\,\text{года}.\qquad (4)

Таким образом, следующий раз минимальное расстояние между Землей и Астероидом случится через 1,33 года, т.е. примерно 1 мая 2010 года.

Полная схема двух орбит, Солнце, точки1/2, два положения планет и направление.

1.3. На любое тело, на поверхности Астероида, действует сила всемирного тяготения, сообщающая ему ускорение $g_A$ , которое можно выразить из уравнения

mg_A=G\frac{M_Am}{r_A^2};\quad\Rightarrow\quad g_A=G\frac{M_A}{r_A^2}.\qquad (5)

Масса Астероида выражается через его плотность

M_A=\rho V=\frac43\pi r_A^3\rho.\qquad (6)

Подстановка формулы для массы в формулу (5) и последующий расчет приводит к результату

g_A=\frac{4\pi}3Gr_A\rho=\frac{4\pi}3\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10\cdot10^3\cdot2{,}7\cdot10^3\approx7{,}5\cdot10^{-3}\,\text{м/с}^2.\qquad (7)

1.4. Первая космическая скорость соответствует скорости движения по круговой орбите с радиусом, равным радиусу астероида, поэтому

m\frac{v^2}{r_A}=mg_A\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{g_Ar_A}=\sqrt{7{,}5\cdot10^{-3}\cdot10\cdot10^3}\approx8{,}7\,\text{м/с}.\qquad (8)

1.5. Вес тела на полюсе планеты численно равен силе тяжести, действующей на тело

P_0=mg_A.\qquad (9)

На экваторе планеты вес тела уменьшается из-за суточного вращения планеты, поэтому на экваторе вес тела оказывается равным

P_1=mg_A-m\omega^2r_A=mg_A-m\frac{4\pi^2}{T_A^2}r_A=mg_A\left(1-4\pi^2\frac{r_A}{T_A^2g_A}\right).\qquad (10)

Следовательно, относительное изменение веса тела равно

\eta=4\pi^2\frac{r_A}{T_A^2g_A}.\qquad (11)

Из этой формулы следует, что период обращения Астероида вокруг собственной оси (т.е. сутки) рассчитывается по формуле

T_A=2\pi\sqrt{\frac{r_A}{\eta g_A}}\approx2{,}3\cdot10^4\,\text{с}\approx6{,}4\,\text{часа}.\qquad (12)

1.6.1 Высота прыжка рассчитывается по известной формуле

h=\frac{v_0^2}{2g}.\qquad (13)

Так как начальная скорость прыжка одинакова на Земле и Астероиде, то высота прыжка оказывается обратно пропорциональной ускорению свободного падения, поэтому высота прыжка на Астероиде будет равна

h=h_0\frac{g_{\text{З}}}g\approx0{,}65\cdot10^3\,\text{м}.\qquad (14)

1.6.2 Ускорение свободного падения на высоте $h$ рассчитывается по формуле

g=G\frac M{(r+h)^2}=G\frac M{r^2}\frac{r^2}{(r+h)^2}=g_0\frac{r^2}{(r+h)^2},\qquad (15)

здесь $r$ – радиус планеты, $g_0$ – ускорение свободного падения на поверхности планеты. Таким образом, относительное уменьшение ускорения свободного падения равно

\varepsilon=\frac{g_0-g}{g_0}=1-\left(\frac r{r+h}\right)^2\approx12\%.\qquad (16)

1.6.3 Уточнить найденную приближенно высоту прыжка можно, заменив в формуле (13) ускорение свободного падения на поверхности на среднее значение ускорения на поверхности и на найденной максимальной высоте, то есть положить

\bar h=\frac{v_0^2}{2\frac{g_0+g_h}2}=\frac{v_0^2}{2g_0}\frac2{1+\frac{g_h}{g_0}}=h\frac2{1+\left(\frac r{r+h}\right)^2}=h\frac2{2-\varepsilon}\approx1{,}06h\approx0{,}69\cdot10^3\,\text{м}.\qquad (17)

Таким образом, учет зависимости ускорения свободного падения от высоты приводит к увеличению высоты примерно на 6%, что составляет примерно 40 м.

Небольшое дополнение. Пункт 1.6 может быть решен точно при использовании закона сохранения энергии и формулы для энергии гравитационного взаимодействия тел

\frac{mv_0^2}2=G\frac{Mm}r-G\frac{Mm}{r+h}.\qquad (18)

Решить данное уравнение не сложно:

\begin{aligned}\frac{v_0^2}2&=G\frac Mr-G\frac M{r+h}=G\frac Mr\left(1-\frac r{r+h}\right)=g_0r\frac h{r+h},\\\frac{v_0^2}{2g_0}r+\frac{v_0^2}{2g_0}h&=rh\quad\Rightarrow\quad\bar h=\frac{v_0^2}{2g_0}\frac1{1-\frac{v_0^2}{2g_0r}}=\frac h{1-\frac hr}\approx0{,}695\cdot10^3\,\text{м}.\end{aligned}\qquad (19)

Оригинал в Архива: 2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2009_theoretical_solutions.pdf