Съдържание

Условие Часть 1. Демпфер и пружина.Часть 2. Фрикцион и пружина.Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап, 9,11 — Задача 2. 9-2. Реология

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Заключительный этап — теоретический тур, 9 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач: три для 9 класса и три для 11 класса. В этих оригиналах раздела для 10 класса нет. Включены все 55 напечатанных конечных запросов, инструкции, справочные данные, таблица, подсказки, полные решения и дополнительные способы. Баллы и таблицы оценивания не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: часть греческих букв, минусов, штрихов и знаков приближения пропадает или заменяется посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригинальных PDF; исходные научные ошибки не исправлены.

Реология: ключ не печатает явную формулу x(t) для последовательного соединения, а описывает ее словами и графиком. При максимальном сжатии ключ ссылается на (7), хотя величина деформации дана в (9); исходная ссылка сохранена.

Глаз: в ключе количество колбочек обозначено N₂, тогда как в условии это N₁; численная подстановка использует 6,0·10⁶. В последней части ключ печатает A₁′A₂′≤ρ, одновременно говоря «должно быть больше». Номер (11) использован дважды; сохранены исходные обозначения, формулы и слова.

Оптико-механическая аналогия: в ключе угол однажды назван углом к горизонту, хотя условие задает угол к вертикали. Ссылка на формулы (4) вместо (3) сохранена. В формулах (14) и промежуточных равенствах (15) обе гравитационные дроби напечатаны с r₀, а заключительная зависимость скорости использует r; эти исходные различия сохранены.

Электрические качели: относительное изменение энергии в (8) использует W₁ в знаменателе, а напряжения – U₀. Ключ округляет 231,4 до 231 и получает примерно 116T₀. Для потерь в указанном сопротивлении катушки ключ использует U²max/(2R) и δ=T₀/(2RC₀); исходная модель и формулы сохранены, а не заменены другим расчетом.

Полупроводник: условие печатает j=Δq/(ΔS·Δt)=ΔI/Δt, хотя последнее выражение размерностно не соответствует плотности тока. Исходная температурная модель содержит exp(−E_g/kT). Красная граница в ключе округлена до 1,0 мкм, хотя приведенные константы дают около 1,11 мкм; дальнейшие формулы и графики используют исходное 1,0 мкм. Слова «регенерации», «соответствую» и неверные ссылки (11)/(12)/(19)/(20) в ключе сохранены. На графике i/i₀ при λ=1,0 мкм линия приходит к нулю, тогда как текст говорит i=i₀; исходный график сохранен.

Каталог указывает 58 частей; оригинал содержит 55 конечных номерных пунктов. Вложенные и составные запросы сохранены в своих исходных пунктах. На исходной иллюстрации потока зарядов в условии полупроводника крайние элементы уже обрезаны границами рисунка в PDF; опубликован полный исходный рисунок.

Обложка

А.И. Слободянюк. В.О. Богомолов. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Теоретический тур. Минск. 2009.

9 класс. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» марта 2009 года.

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
При решении задач вы также можете при необходимости использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях величины $x$ (то есть при $x\ll1$ ):

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x;\quad\exp(x)=e^x\approx1+x;\quad\sin x\approx x;\quad\cos x\approx1-\frac{x^2}2.

Условие

Реология – наука о деформации, пластичности, вязкости трении в различных средах. Описание реальных процессов изменения формы тел – очень сложная физическая задача. Однако хорошее качественное и количественное описание некоторых процессов деформации можно провести, используя так называемые реологические модели.

В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть некоторые модели, используемые для описания одномерных деформаций. Все эти модели состоят из трех типов основных элементов.

Каждый элемент можно наглядно представить, как длинную трубку, внутри которой находится некоторое простое устройство, соединенное с тонким выдвижным стержнем, который может двигаться в обоих направлениях (рис. 1). Массами всех элементов и их устройств можно пренебречь. Во всех случаях деформацией и скоростью деформации элемента будем называть смещение и скорость конца выдвижного стержня.

Рис1: вся трубка,выдвижнойстержень,осьx и подпись.

Вам предстоит рассмотреть некоторые реологические модели, состоящие из соединенных различным образом элементов, и качественно построить графики зависимостей величины и скорости деформации. Качественное изображение зависимостей отражает лишь суть процесса и не требует указания масштаба и точного построения прямых и кривых. Однако обязательным является указание точек, в которых ход процесса существенно изменяется, а также точек пересечения с осями и асимптот (предельных значений). Вам также необходимо объяснить ваши построения.

Рассмотрим используемые в данной задаче «основные элементы». Рядом с изображением элемента приводится его условное обозначение на схемах.

1. «Пружина». Внутри трубки находится упругая легкая пружина (рис. 2). Так как масса пружины пренебрежимо мала, то при приложении силы $F$ такая пружина практически мгновенно растягивается (деформируется) на определенную величину

x=\frac1kF,\qquad (1)

где $k$ – жесткость пружины. При изменении внешней силы пружина мгновенно изменяет свою длину в соответствии с формулой (1).

Рис2: пружина,полный условныйзнак,силаF и графикx(F),всеоси/стрелки/подпись.

2. «Демпфер». Внутри цилиндра находится вязкая жидкость. Выдвижной стержень соединен с легким поршнем внутри цилиндра (рис. 3). Между стенками цилиндра и поршнем имеется небольшой зазор, через который жидкость может перетекать с одной стороны поршня на другую. На поршень действует сила вязкого трения, которая пропорциональна скорости его движения. Поэтому скорость деформации оказывается пропорциональной приложенной силе

v=\frac1aF,\qquad (2)

где постоянную $a$ назовем сопротивлением демпфера. Так как массой поршня пренебрегаем, то при изменении внешней силы скорость мгновенно принимает значение, соответствующее формуле (2).

Рис3: демпфер,символ,вязкоетрение,весь поршень/сила и полный графикv(F).

3. «Фрикцион». Выдвижной стержень внутри цилиндра соединен с поршнем, плотно примыкающим к стенкам цилиндра. На поршень со стороны цилиндра действует сила сухого трения. Пока внешняя сила не превышает определенного значения $F<f$ ( $f$ – максимальная сила трения покоя), поршень не движется. Если же внешняя сила превышает значение $f$ , то сила трения остается постоянной и равной $f$ . Так как и в этом случае, массой поршня пренебрегаем, то при $F>f$ фрикцион бесконечно быстро деформируется, что отражено на графиках рис. 4.

Рис4: фрикцион,символ,сухоетрение и оба полных пороговыхграфика.

Часть 1. Демпфер и пружина.

1.1.1 1.1 Демпфер и пружина соединены параллельно и изначально не деформированы. К этой системе прикладывают постоянную силу $F$ .

Всё параллельное соединение пружины/демпфера,опора и стрелкаF.

Найдите зависимость скорости деформации от ее величины $v(x)$ (запишите формулу). Постройте график этой зависимости.

1.1.2 Качественно изобразите зависимости величины деформации от времени $x(t)$ и скорости деформации от времени $v(t)$ .

1.2.1 1.2 Демпфер и пружина соединены последовательно и изначально не деформированы. К этой системе прикладывают постоянную силу $F$ .

Всё последовательное соединение с опорой и силойF.

Найдите зависимость деформации системы от времени $x(t)$ (запишите формулу). Постройте график этой зависимости.

1.2.2 постройте график зависимости скорости деформации от времени $v(t)$ .

1.3 Рассмотрите смешанное соединение двух пружин и демпфера. К этой системе также прикладывают постоянную силу $F$ . Качественно изобразите зависимости графики зависимостей $v(x)$ , $x(t)$ и $v(t)$ .

Полное смешанное соединение двух пружин и демпфера с F/опорой.

Часть 2. Фрикцион и пружина.

2.1 Рассмотрите параллельное соединение фрикциона и пружины. В этом случае к системе прикладывается сила, которая сначала равномерно увеличивается от нуля до $2f$ за время $2\tau$ , затем она равномерно уменьшается до значения $-2f$ (т.е. сила будет сжимать систему) за время $4\tau$ , а затем снова равномерно увеличивается до значения $f$ .

Постройте качественный график зависимости величины деформации от времени $x(t)$ . Постройте также график зависимости величины деформации от величины приложенной силы $x(F)$ .

Вся схема фрикцион/пружина и полный графикF(t),0–9tau,±f/±2f,оси/сетка.

Решение

Часть 1. Демпфер и пружина.

1.1 Деформации элементов одинаковы, а внешняя сила уравновешивается силой упругости пружины и демпфера:

\begin{cases}x_1=x_2=x,\\F_1+F_2=F.\end{cases}\qquad (1)

Полная параллельная схема с x/x1/x2,F/F1/F2 и стрелками.

Используя формулы (1) и (2) из условия задачи составим уравнение:

kx+av=F,\qquad (2)

Из которого получаем выражение для скорости

v=\frac{F-kx}a.\qquad (3)

Зависимость скорости деформации от величины деформации представляет собой отрезок прямой, пересекающей ось $v$ в точке $F/a$ и ось $x$ в точке $F/k$ .

В начальный момент времени деформация отсутствует, $x=0$ , поэтому скорость деформации будет максимальна и равна:

v_0=\frac Fa.\qquad (4)

Затем, по мере увеличения деформации, скорость деформации будет становиться все меньше и меньше (асимптотически приближаться к нулю).

Величина деформации $x$ вначале достаточно быстро увеличивается, а затем, т.к. скорость уменьшается, постепенно приближается своему равновесному значению:

x_P=\frac Fk.\qquad (5)

Все три полных графикаv(x),v(t),x(t),F/a,F/k,асимптоты и оси.

1.2 При последовательном соединении величина деформации равна сумме деформаций каждого элемента, а сила $F$ оказывается приложенной и к пружине и к демпферу (элементы невесомые).

\begin{cases}x_1+x_2=x,\\F_1=F_2=F.\end{cases}\qquad (6)

Полная последовательная схема с x1/x2/F1/F2/F/x.

Следовательно, скорость деформации мгновенно достигнет значения (4) и не будет изменяться с течением времени. Величина деформации также мгновенно достигнет значения (5), а затем будет линейно увеличиваться.

Оба полных графикаv(t)/x(t),F/a/F/k/оси.

1.3 Смешанное соединение приведет к тому, что в начальный момент времени произойдет мгновенная деформация на величину (5). Затем деформация будет повторять таковую, описанную в первом пункте задачи. Т.е. скорость в начальный момент будет равна (4), а затем будет уменьшаться. А деформация будет увеличиваться и приближаться к значению $2F/k$ . На графике зависимости $v(x)$ также произойдет смещение на величину $F/k$ .

Полная смешанная схема с x1/x2/x3,F1/F2/F/x.

Все три полных смешанных графика с F/k,2F/k,F/a,пунктирами/осями.

Часть 2. Фрикцион и пружина.

При параллельном соединении фрикциона и пружины сила $F$ уравновешивается силой упругости пружины и силой трения возникающей внутри фрикциона. До тех пор пока значение силы не превысит $f$ , деформация будет отсутствовать (отрезок 1 на графике $x(F)$ ). Когда сила трения внутри фрикциона превращается в силу трения скольжения (т.е. остается постоянной и равной $f$ ) между силами выполняется соотношение:

F=kx+f.\qquad (7)

Т.е. зависимость деформации от величины силы представляет собой линейную зависимость:

x=\frac1kF-\frac fk.\qquad (8)

Максимальная деформация составит величину:

x_M=\frac fk.\qquad (9)

Этот процесс изображен отрезком 2 на графике.

Как только сила $F$ начнет уменьшаться, сила трения в фрикционе снова станет силой трения покоя и деформация прекратится. По мере уменьшения приложенной силы, сила трения покоя будет уменьшаться и достигнет нулевого значения при $F=f$ . Далее сила трения покоя поменяет направление на противоположное и начнет возрастать, однако деформация не начнется до тех пор пока сила трения не достигнет значения $f$ , а это произойдет только в тот момент, когда внешняя сила $F$ станет равной нулю. Только тогда пружина начнет сжиматься. Поэтому при уменьшении силы от $2f$ до нуля график зависимости деформации от силы будет представлять горизонтальный отрезок 3.

Далее внешняя сила начнет сжимать систему. Сила трения в фрикционе будет являться силой трения скольжения и будет препятствовать сжатию с силой $f$ . При максимальной сжимающей силе $F=-2f$ деформация достигнет максимального значения, модуль которой равен (7). Этот процесс изображен отрезком 4.

Затем возникнет аналогичная ситуация, и деформация будет оставаться неизменной до тех пор, пока модуль внешней силы не станет равным нулю, после чего деформация опять начнет линейно увеличиваться. Последние процессы изображаются отрезками 5 и 6 соответственно.

Оба полных графикаx(t) и гистерезисx(F),сетка/стрелки/номера1–6/0–9tau/±f/k.

Оригинал в Архива: 2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2009_theoretical_solutions.pdf