Съдържание

Условие Часть 1. Введение.Часть 2. Изменение фокусного расстояния глаза.Часть 3. Глубина резкости.Часть 4. Разрешающая способность.Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап, 9,11 — Задача 3. 9-3. Глаз

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Заключительный этап — теоретический тур, 9 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач: три для 9 класса и три для 11 класса. В этих оригиналах раздела для 10 класса нет. Включены все 55 напечатанных конечных запросов, инструкции, справочные данные, таблица, подсказки, полные решения и дополнительные способы. Баллы и таблицы оценивания не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: часть греческих букв, минусов, штрихов и знаков приближения пропадает или заменяется посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригинальных PDF; исходные научные ошибки не исправлены.

Реология: ключ не печатает явную формулу x(t) для последовательного соединения, а описывает ее словами и графиком. При максимальном сжатии ключ ссылается на (7), хотя величина деформации дана в (9); исходная ссылка сохранена.

Глаз: в ключе количество колбочек обозначено N₂, тогда как в условии это N₁; численная подстановка использует 6,0·10⁶. В последней части ключ печатает A₁′A₂′≤ρ, одновременно говоря «должно быть больше». Номер (11) использован дважды; сохранены исходные обозначения, формулы и слова.

Оптико-механическая аналогия: в ключе угол однажды назван углом к горизонту, хотя условие задает угол к вертикали. Ссылка на формулы (4) вместо (3) сохранена. В формулах (14) и промежуточных равенствах (15) обе гравитационные дроби напечатаны с r₀, а заключительная зависимость скорости использует r; эти исходные различия сохранены.

Электрические качели: относительное изменение энергии в (8) использует W₁ в знаменателе, а напряжения – U₀. Ключ округляет 231,4 до 231 и получает примерно 116T₀. Для потерь в указанном сопротивлении катушки ключ использует U²max/(2R) и δ=T₀/(2RC₀); исходная модель и формулы сохранены, а не заменены другим расчетом.

Полупроводник: условие печатает j=Δq/(ΔS·Δt)=ΔI/Δt, хотя последнее выражение размерностно не соответствует плотности тока. Исходная температурная модель содержит exp(−E_g/kT). Красная граница в ключе округлена до 1,0 мкм, хотя приведенные константы дают около 1,11 мкм; дальнейшие формулы и графики используют исходное 1,0 мкм. Слова «регенерации», «соответствую» и неверные ссылки (11)/(12)/(19)/(20) в ключе сохранены. На графике i/i₀ при λ=1,0 мкм линия приходит к нулю, тогда как текст говорит i=i₀; исходный график сохранен.

Каталог указывает 58 частей; оригинал содержит 55 конечных номерных пунктов. Вложенные и составные запросы сохранены в своих исходных пунктах. На исходной иллюстрации потока зарядов в условии полупроводника крайние элементы уже обрезаны границами рисунка в PDF; опубликован полный исходный рисунок.

Обложка

А.И. Слободянюк. В.О. Богомолов. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Теоретический тур. Минск. 2009.

9 класс. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» марта 2009 года.

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
При решении задач вы также можете при необходимости использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях величины $x$ (то есть при $x\ll1$ ):

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x;\quad\exp(x)=e^x\approx1+x;\quad\sin x\approx x;\quad\cos x\approx1-\frac{x^2}2.

Условие

Глаз человека представляет собой уникальный оптический прибор, посредством которого мозг получает зрительную информацию. Согласно усредненным данным глазное яблоко можно считать шаром диаметра $D=24\,\text{мм}$ , который заполнен стекловидным телом 2. Основным оптическим элементом глаза является хрусталик 3, который можно считать тонкой линзой с переменным фокусным расстоянием. Процесс изменения фокусного расстояния (оптической силы) глаза называется аккомодацией. В процессе аккомодации человек может с сохранением резкости достаточно быстро переводить взгляд с более удаленных предметов на менее удаленные (или наоборот).

Полный анатомическийразрез глаза со всеми11подписями.

Описание оптических свойств глаза чрезвычайно сложно, поэтому мы рассмотрим предельно упрощенную оптическую схему глаза, состоящую из линзы переменного фокусного расстояния (моделирующую хрусталик) находящуюся в воздухе, и плоского экрана (моделирующего сетчатку), расположенного на расстоянии от линзы равном диаметру глазного яблока $D$ и перпендикулярного главной оптической оси линзы. Диаметр линзы примем равным диаметру хрусталика $d=4{,}0\,\text{мм}$ .

Полная упрощеннаясхема глазалинза–экран,подписи хрусталик/сетчатка,D и ось.

Часть 1. Введение.

Предмет $AB$ находится на расстоянии $a$ от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ .

Полное исходное построение: AB,O,обаF,линза и ось.

1.1 Постройте изображение предмета в линзе.

1.2 Используя сделанное построение, покажите, что расстояние от предмета до линзы $a$ , расстояние от линзы до изображения $b$ и фокусное расстояние линзы $F$ связаны соотношением (которое называется формулой линзы¹)

\frac1a+\frac1b=\frac1F.\qquad (1)

¹ Если Вам не удалось доказать справедливость формулы тонкой линзы, то используйте ее как «очевидный» факт при выполнении последующих пунктов задачи.

1.3 Пусть предмет находится на расстоянии $a$ от тонкой линзы с фокусным расстоянием $F$ ( $a>F$ ). На какое расстояние $\Delta b$ и в какую сторону переместится изображение предмета, если расстояние $a$ увеличится на малую величину $\Delta a$ .

Подсказка. Рекомендуем использовать приближенную формулу, справедливую при малых $\Delta a$ :

\frac1{a+\Delta a}=\frac1{a\left(1+\frac{\Delta a}a\right)}\approx\frac1a\left(1-\frac{\Delta a}a\right).\qquad (2)

Часть 2. Изменение фокусного расстояния глаза.

Согласно физиологическим исследованиям, благодаря процессу аккомодации глаза здоровый человек может с незначительной временной задержкой переводить взгляд с предметов, расположенных «на бесконечности» $a_1=\infty$ на предметы, расположенные на расстоянии $a_0=25\,\text{см}$ , при котором можно наиболее отчетливо рассмотреть мелкие детали предмета без перенапряжения мышц хрусталика.

2.1 Вычислите пределы ( $F_{\min}$ и $F_{\max}$ ) изменения фокусного расстояния хрусталика глаза при этом.

Часть 3. Глубина резкости.

Сетчатка глаза человека содержит светочувствительные клетки (фоторецепторы) двух типов: колбочки (для восприятия цветного изображения) и палочки (для восприятия черно-белого (сумеречного) изображения. Среднее количество колбочек в сетчатке глаза $N_1=6{,}0\cdot10^6$ , палочек $N_2=1{,}2\cdot10^8$ . В центральной ямке (желтом пятне) глазного яблока концентрация колбочек на единицу площади максимальна, а палочек там практически нет. Примем, что все колбочки расположены в пределах желтого пятна, радиус которого $r=2{,}5\,\text{мм}$ . Палочки расположены за пределами желтого пятна на задней полусфере глазного яблока. Каждый фоторецептор создает изображение независимо от других фоторецепторов.

Полный разрез глаза/сетчатки,палочки/колбочки,все подписи типовклеток.

Будем считать, что точка видна резко, если она проецируется на одну колбочку в желтом пятне.

Пусть точка $A$ находится на главной оптической оси на расстоянии $a_0=25\,\text{см}$ от глаза.

Полная схемаA/O/a/Delta-a1/Delta-a2 со всеми размернымистрелками.

3.1 На какое расстояние $\Delta a_1$ ее можно приблизить к глазу, чтобы изображение осталось резким?

3.2 На какое расстояние $\Delta a_2$ ее можно удалить от глаза (без изменения фокусного расстояния хрусталика), чтобы изображение осталось резким?

Часть 4. Разрешающая способность.

Две точки находятся на расстоянии $a_0=25\,\text{см}$ от хрусталика глаза на малом расстоянии $h$ друг от друга.

4.1 При каком расстоянии минимальном расстоянии $h$ эти точки будут видны раздельно?

Решение

Часть 1. Введение.

Полная конструкцияAB/A′B′,C/D/O/F1/F2,l/l′/a/b и лучи.

1.1 Построение изображения проводится традиционно:

от точки $A$ проводим луч $AC$ , параллельный главной оптической оси, после преломления луч пройдет через точку заднего фокуса $CF_2$ ;
от точки $A$ проводим луч, проходящий через точку переднего фокуса $F_1$ до пересечения с плоскостью линзы $AF_1D$ , после преломления этот луч пойдет параллельно главной оптической оси; продлеваем его до пересечения с лучом $CF_2$ – точки $A'$ , которая и является изображением точки $A$ .

1.2 Обозначим размер предмета $AB$ – $l$ , а размер изображения $A'B'$ – $l'$ . Из подобия треугольников $ACD$ и $F_1OD$ следует

\frac{l+l'}a=\frac{l'}F.\qquad (1)

Аналогично, из подобия треугольников $A'CD$ и $F_2OC$ следует

\frac{l+l'}b=\frac lF.\qquad (2)

Складывая эти уравнения, получим требуемое соотношение

\frac{l+l'}a+\frac{l+l'}b=\frac{l+l'}F\quad\Rightarrow\quad\frac1a+\frac1b=\frac1F.\qquad (3)

1.3 Прежде всего, с помощью формулы линзы найдем расстояние от линзы до изображения предмета

\frac1a+\frac1b=\frac1F\quad\Leftrightarrow\quad b=\frac{aF}{a-F}.\qquad (4)

Теперь подставим в полученную формулу линзы (3), измененные расстояния от линзы до предмета и до изображения

\frac1{a+\Delta a}+\frac1{b+\Delta b}=\frac1F

и воспользуемся приведенной в условии приближенной формулой для обоих слагаемых:

\frac1a-\frac{\Delta a}{a^2}+\frac1b-\frac{\Delta b}{b^2}=\frac1F.

Из этого соотношения (с учетом связи между исходными расстояниями) получим требуемый результат:

\frac{\Delta b}{b^2}=-\frac{\Delta a}{a^2}\quad\Rightarrow\quad\Delta b=-\Delta a\left(\frac ba\right)^2=-\Delta a\left(\frac F{a-F}\right)^2.\qquad (5)

Знак минус указывает, что при удалении предмета от линзы его изображение приближается к ней. Рисунок иллюстрирует полученный алгебраический результат.

Полная смещеннаяконструкция,оба положения,Delta-a/Delta-b,стрелки и размерыa/b.

Часть 2. Изменение фокусного расстояния глаза.

Наиболее отчетливое изображение получается в том случае, когда изображение предмета оказывается на экране (сетчатке), то есть когда расстояние от линзы до изображения равно диаметру глазного яблока

b=D.\qquad (6)

2.1 Фокусные расстояния можно вычислить с помощью формулы линзы. В первом случае, когда $a_1\to\infty$ , фокусное расстояние зрачка равно диаметру глазного яблока $F_1=D=24\,\text{мм}$ . Когда расстояние до рассматриваемого предмета равно $a_0$ , фокусное расстояние оказывается равным

\frac1{a_0}+\frac1D=\frac1F\quad\Rightarrow\quad F_0=\frac{a_0D}{a_0+D}=\frac{250\cdot24}{250+24}\approx21{,}9\,\text{мм}.

Таким образом, фокусное расстояние зрачка изменяется в пределах

F_{\min}=22\,\text{мм},\quad F_{\max}=24\,\text{мм}.\qquad (7)

Часть 3. Глубина резкости.

В данной части задачи следует принять во внимание дискретную структуру рецепторов сетчатки. Поэтому сначала вычислим среднее расстояние $\rho$ между отдельными рецепторами (колбочками). Можно считать, что рецепторы расположены по желтому пятну равномерно. Пусть на каждый рецептор приходится площадь $s=\frac14\pi\rho^2$ , а $N_2$ рецепторов покрывают всю площадь желтого пятна $S=\pi r^2$ . Тогда расстояние радиус кружка, приходящегося на один рецептор, оценивается следующим образом

N_2\frac14\pi\rho^2=\pi r^2\quad\Rightarrow\quad\rho=\frac{2r}{\sqrt{N_2}}\approx\frac{2\cdot2{,}5}{\sqrt{6{,}0\cdot10^6}}\approx2{,}0\cdot10^{-3}\,\text{мм}.\qquad (8)

Весь желтыйкругс рецепторами,2r/rho и подписьрецепторы.

Интересно отметить, что расстояние между рецепторами не намного превышает длину световой волны видимого диапазона.

3.1 Если размер пятна на сетчатке меньше, чем среднее расстояние между рецепторами, глаз (точнее мозг) будет воспринимать это пятно как точку, то есть четкое изображение. Следовательно, положение изображения, формируемого зрачком, может не попадать точно на сетчатку, а отстоять от нее на некотором расстоянии $\Delta b$ , таком, чтобы размер пятна на экране не превышал $\rho$ . Рисунок иллюстрирует ход лучей в такой ситуации (масштаб смещения сильно преувеличен). Диаметр зрачка обозначен $d=4{,}0\,\text{мм}$ . Из рисунка следует, что предельное смещение изображения должно удовлетворять соотношению

\frac\rho{\Delta b}=\frac d{D+\Delta b}.

Полный ходлучей при приближении,A/a0/d/O/b=D/сетчатка/rho/Delta-a1/Delta-b.

Учитывая, что $\Delta b\ll D$ , получим

\Delta b=\frac{D\rho}d.\qquad (9)

Теперь можно воспользоваться соотношением (5) для определения возможного смещения рассматриваемого предмета

\begin{aligned}\frac{\Delta b}{b^2}&=-\frac{\Delta a}{a^2}\quad\Rightarrow\quad\Delta a_1=-\Delta b\left(\frac ab\right)^2=-\rho\frac Dd\left(\frac{a_0}D\right)^2\\&=-2{,}0\cdot10^{-3}\frac{24}{4{,}0}\left(\frac{250}{24}\right)^2\approx-1{,}3\,\text{мм}.\end{aligned}\qquad (10)

3.2 В этом случае решение полностью аналогично, что подтверждается рисунком хода лучей при удалении предмета. Поэтому

\Delta a_2\approx1{,}3\,\text{мм}.\qquad (11)

Полный ходлучей при удалении,A/d/O/b=D/сетчатка/rho/Delta-a2/Delta-b.

Часть 4. Разрешающая способность.

В этом случае расстояние между изображениями $A_1'A_2'\le\rho$ двух точек должно быть больше, чем среднее расстояние между рецепторами $\rho$ . Положения изображений $A_1'$ и $A_2'$ проще всего найти, проведя лучи через оптический центр зрачка $O$ . Из подобия треугольников находим минимальной расстояние

\frac h{a_0}=\frac\rho D\quad\Rightarrow\quad h=\rho\frac{a_0}D=2{,}0\cdot10^{-3}\frac{250}{24}\approx2{,}1\cdot10^{-2}\,\text{мм}.\qquad (11)

Полное разрешающеепостроение,A1/A2/A1′/A2′/h/a0/D/O/rho и лучи.

Оригинал в Архива: 2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2009_theoretical_solutions.pdf