Съдържание

Условие Часть первая. Толчок.Часть 2. Раскачка.Часть 3. Сбой по согласованию.Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап, 9,11 — Задача 5. 11-2. Электрические качели

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Заключительный этап — теоретический тур, 9 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач: три для 9 класса и три для 11 класса. В этих оригиналах раздела для 10 класса нет. Включены все 55 напечатанных конечных запросов, инструкции, справочные данные, таблица, подсказки, полные решения и дополнительные способы. Баллы и таблицы оценивания не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: часть греческих букв, минусов, штрихов и знаков приближения пропадает или заменяется посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригинальных PDF; исходные научные ошибки не исправлены.

Реология: ключ не печатает явную формулу x(t) для последовательного соединения, а описывает ее словами и графиком. При максимальном сжатии ключ ссылается на (7), хотя величина деформации дана в (9); исходная ссылка сохранена.

Глаз: в ключе количество колбочек обозначено N₂, тогда как в условии это N₁; численная подстановка использует 6,0·10⁶. В последней части ключ печатает A₁′A₂′≤ρ, одновременно говоря «должно быть больше». Номер (11) использован дважды; сохранены исходные обозначения, формулы и слова.

Оптико-механическая аналогия: в ключе угол однажды назван углом к горизонту, хотя условие задает угол к вертикали. Ссылка на формулы (4) вместо (3) сохранена. В формулах (14) и промежуточных равенствах (15) обе гравитационные дроби напечатаны с r₀, а заключительная зависимость скорости использует r; эти исходные различия сохранены.

Электрические качели: относительное изменение энергии в (8) использует W₁ в знаменателе, а напряжения – U₀. Ключ округляет 231,4 до 231 и получает примерно 116T₀. Для потерь в указанном сопротивлении катушки ключ использует U²max/(2R) и δ=T₀/(2RC₀); исходная модель и формулы сохранены, а не заменены другим расчетом.

Полупроводник: условие печатает j=Δq/(ΔS·Δt)=ΔI/Δt, хотя последнее выражение размерностно не соответствует плотности тока. Исходная температурная модель содержит exp(−E_g/kT). Красная граница в ключе округлена до 1,0 мкм, хотя приведенные константы дают около 1,11 мкм; дальнейшие формулы и графики используют исходное 1,0 мкм. Слова «регенерации», «соответствую» и неверные ссылки (11)/(12)/(19)/(20) в ключе сохранены. На графике i/i₀ при λ=1,0 мкм линия приходит к нулю, тогда как текст говорит i=i₀; исходный график сохранен.

Каталог указывает 58 частей; оригинал содержит 55 конечных номерных пунктов. Вложенные и составные запросы сохранены в своих исходных пунктах. На исходной иллюстрации потока зарядов в условии полупроводника крайние элементы уже обрезаны границами рисунка в PDF; опубликован полный исходный рисунок.

Обложка

А.И. Слободянюк. В.О. Богомолов. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Теоретический тур. Минск. 2009.

9 класс. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» марта 2009 года.

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
При решении задач вы также можете при необходимости использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях величины $x$ (то есть при $x\ll1$ ):

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x;\quad\exp(x)=e^x\approx1+x;\quad\sin x\approx x;\quad\cos x\approx1-\frac{x^2}2.

Условие

В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть колебания в LC-контуре с переменной емкостью. При непрерывном изменении емкости конденсатора, описание колебаний в контуре – очень большая проблема. Поэтому в данной задаче емкость будет изменяться только в определенные моменты времени и на определенную величину, что существенно облегчит изучение такой системы.

Полная исходнаяиллюстрация к электрическимкачелям.

Колебательный контур состоит из конденсатора, емкость которого можно изменять, увеличивая или уменьшая расстояние между пластинами, и катушки с индуктивностью $L$ , сопротивлением которой можно пренебречь (рис. 1).

Рис1: вся цепьLC,обепластины,d/Delta-X/осьx/0 и подпись.

Часть первая. Толчок.

В начальный момент времени емкость конденсатора равна $C_0$ , а расстояние между пластинами равно $d$ . В контуре возбуждают колебания. В момент времени, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, расстояние между пластинами мгновенно увеличивают на некоторую малую величину $\Delta x$ . Обозначим относительное увеличение расстояния между пластинами $\delta=\Delta x/d$ .

1.1 Покажите, что при таком изменении расстояния емкость конденсатора уменьшается на ту же относительную величину, т.е. что $\Delta C/C=-\delta$ .

1.2 Определите относительное изменение напряжения на пластинах $U$ , полной энергии колебательного контура $W$ и периода колебаний $T$ при таком перемещении.

Если изменения некоторых двух величин ( $\Delta x$ и $\Delta y$ ) и их абсолютные значения ( $x$ и $y$ ) удовлетворяют уравнению $\frac{\Delta y}{\Delta x}=k\frac yx$ , то из этого можно сделать вывод, что $y\sim x^k$ .

1.3 Покажите, что отношение максимального напряжения на конденсаторе к полной энергии контура остается постоянным при увеличении расстояния между пластинами.

1.4 Покажите, что произведение квадрата периода колебаний на полную энергию также не изменяется в таком процессе.

Часть 2. Раскачка.

В этой части задачи расстояние между пластинами будем изменять неоднократно. По-прежнему будем увеличивать расстояние между пластинами на $\Delta x$ ( $\delta=\Delta x/d$ ) в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, но в моменты, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, пластины снова сдвигают так, что расстояние между ними становится прежним.

2.1 Пусть $\delta=0{,}01$ . Определите, сколько времени понадобится для увеличения полной энергии в контуре в 10 раз. Выразите это время в полных периодах колебаний $T_0$ .

2.2 Предположим, что индуктивность обладает небольшим сопротивлением $R$ . Оцените, каким должно быть значение $\delta$ , чтобы колебания в контуре не затухали.

Часть 3. Сбой по согласованию.

3 Предположим, что операция, производимая во второй части задачи, осуществляется с частотой немного меньшей, чем удвоенная частота колебаний контура, т.е. промежуток времени между двумя последовательными увеличениями (или уменьшениями) расстояния между пластинами $\tau=\frac{T_0}2+\Delta t$ . Причем $\Delta t\ll T_0$ . Качественно опишите зависимость максимального напряжения на конденсаторе от времени и определите промежуток времени между двумя последовательными максимумами напряжения. Сопротивление катушки равно нулю.

Решение

Часть первая. Толчок.

Обозначим площадь пластин конденсатора буквой $S$ . Тогда его емкость:

C_0=\frac{\varepsilon_0S}d.\qquad (1)

1.1 При увеличении расстояния между пластинами на величину $\Delta x$ , емкость конденсатора становится равной:

C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d+\Delta x}.\qquad (2)

Относительное изменении емкости:

\frac{\Delta C}{C_0}=\frac{C_1-C_0}{C_0}=\frac{C_1}{C_0}-1=\frac d{d+\Delta x}-1=\frac1{1+\frac{\Delta x}d}-1\approx-\frac{\Delta x}d=-\delta.\qquad (3)

Причем это соотношение будет справедливо при любом $d$ .

1.2 Т.к. перемещение мгновенное, заряд на конденсаторе не изменяется, поэтому:

C_0U_0=C_1U_1,\qquad (4)

т.е.

U_1=U_0\frac{C_0}{C_1}.\qquad (5)

Относительно изменение напряжения:

\frac{\Delta U}U=\frac{U_1-U_0}{U_0}=\frac{C_0}{C_1}-1=\delta.\qquad (6)

Выражения для энергий:

W_0=\frac{Q^2}{2C_0},\quad W_1=\frac{Q^2}{2C_1},\qquad (7)

где $Q$ – заряд конденсатора. Поэтому:

\frac{\Delta W}W=\frac{W_1-W_0}{W_1}=1-\frac{W_0}{W_1}=1-\frac{C_1}{C_0}=\delta.\qquad (8)

Периоды колебаний в контуре до и после перемещения равны соответственно:

T_0=2\pi\sqrt{LC_0},\quad T_1=2\pi\sqrt{LC_1}.\qquad (9)

Относительное изменение:

\frac{\Delta T}T=\frac{T_1-T_0}{T_0}=\sqrt{\frac{C_1}{C_0}}-1=\sqrt{\frac1{1+\delta}}-1\approx-\frac12\delta.\qquad (10)

1.3 Т.к. относительные изменения напряжения и энергии одинаковы (выражения (6) и (8)), то можно записать следующее равенство:

\frac{\Delta W}{\Delta U}=\frac WU,\qquad (11)

из которого следует, что энергия пропорциональна напряжению, а их отношение остается постоянным:

\frac WU=\text{const}.\qquad (12)

1.4 Аналогично, используя выражения (8) и (10), получаем:

\frac{\Delta W}{\Delta T}=-2\frac WT,\qquad (13)

т.е. $W\sim T^{-2}$ , следовательно:

WT^2=\text{const}.\qquad (14)

Часть 2. Раскачка.

2.1 При возвращении пластин на первоначальное расстояние, энергия конденсатора не изменяется, т.к. эта операция проводится при нулевом напряжении на пластинах конденсатора. Поэтому два раза за период колебаний энергия увеличивается в $(1+\delta)$ раз. Количество перемещений находит из условия:

(1+\delta)^n=10.\qquad (15)

Получаем:

n=\log_{1+\delta}10=\frac{\ln10}{\ln(1+\delta)}=231{,}4\approx231.\qquad (16)

Т.к. увеличение энергии происходит дважды за период, то время необходимое для увеличения энергии в 10 раз:

t=\frac n2T_0\approx116T_0.\qquad (17)

2.2 Т.к. сопротивление небольшое, то на протяжении половины периода напряжение изменяется по синусоидальному закону. Тогда средняя мощность, выделяемая на сопротивлении:

\langle P\rangle=\frac12\frac{U_{\max}^2}R.\qquad (18)

Для поддержания колебаний необходимо, чтобы увеличение энергии за половину периода полностью компенсировало тепловые потери:

\frac12\frac{U_{\max}^2}R\frac{T_0}2=\delta W_0=\delta\frac{C_0U_{\max}^2}2.\qquad (19)

Поэтому:

\delta=\frac12\frac{T_0}{RC_0}.\qquad (20)

Часть 3. Сбой по согласованию.

Предположим, что в начальный момент времени все происходит так, как было описано в предыдущих пунктах задачи. Затем, т.к. частоты не совпадают, увеличение расстояния между пластинами будет происходить не в моменты максимального напряжения на конденсаторе. Соответственно и энергия будет увеличиваться не так значительно. С другой стороны, при уменьшении расстояния между пластинами при ненулевом значении напряжения на конденсаторе, энергия будет уменьшаться. В целом, энергия будет увеличиваться до тех пор, пока значение напряжения на конденсаторе при увеличении расстояния между пластинами, будет больше такового при уменьшении расстояния. Затем энергия системы будет постепенно уменьшаться. Максимальная скорость уменьшения будет в том случае, когда увеличение расстояния между пластинами происходит при нулевом напряжении на них. Затем процесс пойдет в обратную сторону. Потери начнут уменьшаться, а прибыль – расти. Полное время таких изменений определим следующим образом. Обозначим за $n$ , количество полупериодов, необходимых для возникновения первоначальной ситуации. Тогда можно записать следующее условие:

n\Delta t=\frac{T_0}2.\qquad (21)

Тогда искомый промежуток времени равен:

t=\frac{T_0}2n=\frac{T_0^2}{4\Delta t}.\qquad (22)

Оригинал в Архива: 2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2009_theoretical_solutions.pdf