Съдържание

Условие 1. Введение – напоминание.2. Терморезистор.3. Фоторезистор.Решение

BelPhO 2009, Заключителен етап, 9,11 — Задача 6. 11-3. Полупроводник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2009

Заключительный этап — теоретический тур, 9 и 11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит шесть целых задач: три для 9 класса и три для 11 класса. В этих оригиналах раздела для 10 класса нет. Включены все 55 напечатанных конечных запросов, инструкции, справочные данные, таблица, подсказки, полные решения и дополнительные способы. Баллы и таблицы оценивания не напечатаны.

В исходных PDF нарушено отображение математического шрифта: часть греческих букв, минусов, штрихов и знаков приближения пропадает или заменяется посторонними символами. Эти обозначения переданы по текстовому слою тех же оригинальных PDF; исходные научные ошибки не исправлены.

Реология: ключ не печатает явную формулу x(t) для последовательного соединения, а описывает ее словами и графиком. При максимальном сжатии ключ ссылается на (7), хотя величина деформации дана в (9); исходная ссылка сохранена.

Глаз: в ключе количество колбочек обозначено N₂, тогда как в условии это N₁; численная подстановка использует 6,0·10⁶. В последней части ключ печатает A₁′A₂′≤ρ, одновременно говоря «должно быть больше». Номер (11) использован дважды; сохранены исходные обозначения, формулы и слова.

Оптико-механическая аналогия: в ключе угол однажды назван углом к горизонту, хотя условие задает угол к вертикали. Ссылка на формулы (4) вместо (3) сохранена. В формулах (14) и промежуточных равенствах (15) обе гравитационные дроби напечатаны с r₀, а заключительная зависимость скорости использует r; эти исходные различия сохранены.

Электрические качели: относительное изменение энергии в (8) использует W₁ в знаменателе, а напряжения – U₀. Ключ округляет 231,4 до 231 и получает примерно 116T₀. Для потерь в указанном сопротивлении катушки ключ использует U²max/(2R) и δ=T₀/(2RC₀); исходная модель и формулы сохранены, а не заменены другим расчетом.

Полупроводник: условие печатает j=Δq/(ΔS·Δt)=ΔI/Δt, хотя последнее выражение размерностно не соответствует плотности тока. Исходная температурная модель содержит exp(−E_g/kT). Красная граница в ключе округлена до 1,0 мкм, хотя приведенные константы дают около 1,11 мкм; дальнейшие формулы и графики используют исходное 1,0 мкм. Слова «регенерации», «соответствую» и неверные ссылки (11)/(12)/(19)/(20) в ключе сохранены. На графике i/i₀ при λ=1,0 мкм линия приходит к нулю, тогда как текст говорит i=i₀; исходный график сохранен.

Каталог указывает 58 частей; оригинал содержит 55 конечных номерных пунктов. Вложенные и составные запросы сохранены в своих исходных пунктах. На исходной иллюстрации потока зарядов в условии полупроводника крайние элементы уже обрезаны границами рисунка в PDF; опубликован полный исходный рисунок.

Обложка

А.И. Слободянюк. В.О. Богомолов. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада 2009 года (заключительный этап). Теоретический тур. Минск. 2009.

9 класс. Инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета Республиканской олимпиады. _________________ К.С. Фарино. «____» марта 2009 года.

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.

11 класс. Инструкция

Республиканская физическая олимпиада (заключительный этап). 2009 год. Теоретический тур. 11 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
Время выполнения заданий – 5 часов.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая – для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
При решении задач вы также можете при необходимости использовать приближенные формулы, справедливые при малых значениях величины $x$ (то есть при $x\ll1$ ):

(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x;\quad\exp(x)=e^x\approx1+x;\quad\sin x\approx x;\quad\cos x\approx1-\frac{x^2}2.

Условие

В данном задании вам предстоит теоретически описать электрическую проводимость чистого (без примесей) полупроводника и ее зависимость от температуры и освещенности. Рассматриваемые ниже явления находят широчайшее применение в современных электронных приборах, в частности терморезисторах и фоторезисторах.

В качестве примера полупроводника используется кристаллический кремний (c-Si), модель его кристаллической решетки показана на рисунке. Для численных расчетов используются характеристики именного этого вещества. В задаче используются традиционные обозначения, принятые в физике полупроводников.

1. Введение – напоминание.

Для описания протекания электрического тока внутри вещества удобно пользоваться такой характеристикой, как плотность электрического тока $\vec j$ . Плотность тока определяется как количество электрического заряда, протекающего через площадку единичной площади, перпендикулярной направлению движения зарядов в единицу времени (или как сила электрического тока, протекающего через площадку единичной площади):

j=\frac{\Delta q}{\Delta S\cdot\Delta t}=\frac{\Delta I}{\Delta t}.\qquad (1)

Плотность тока является векторной величиной, ее направление совпадает с направлением движения положительно заряженных частиц.

Полная площадкаDelta-S,Delta-q,все стрелкичастиц и векторj.

1.1 Пусть электрический ток равномерно протекает вдоль однородного цилиндра. Используя закон Ома для участка цепи, покажите, что плотность электрического тока внутри цилиндра рассчитывается по формуле

\vec j=\sigma\vec E,\qquad (2)

где $\vec E$ – напряженность электрического поля внутри цилиндра, $\sigma$ – удельная проводимость материала цилиндра (величина обратная удельному электрическому сопротивлению $\sigma=1/\rho$ ).

1.2 Пусть одинаковые частицы (заряд каждой равен $q$ ) движутся с одинаковыми скоростями $\vec v$ . Концентрация частиц в потоке равна $n$ . Чему равна плотность электрического тока в данном потоке частиц?

Полный потокзарядовq/n/V,все частицы/стрелки.

1.3 Покажите, что средняя скорость направленного движения электронов в металле при протекании постоянного электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля в металле

\langle v\rangle=\mu E.\qquad (3)

где коэффициент пропорциональности $\mu$ называется подвижностью электронов. Выразите удельную проводимость металла через подвижность электронов и их концентрацию в металле.

2. Терморезистор.

Энергетические состояния электронов в кристалле состоят из нескольких зон. Верхняя заполненная зона называется валентной зоной, а следующая за ней зона возможных состояний – зоной проводимости. Между ними располагается запрещенная зона – электроны в кристалле не могут иметь такие значения энергии! Разность энергий между верхним краем валентной зоны и нижним краем зоны проводимости называется шириной запрещенной зоны и обозначается $E_g$ .

Полная зоннаясхема,E/Eg,электрон/дырка/запрещенная/валентная/проводимости/стрелки.

Электроны, находящиеся в валентной зоне, «привязаны» к своим атомам и не могут перемещаться по кристаллу, следовательно, не могут быть носителями электрического тока. Электроны, находящиеся в зоне проводимости являются свободными, поэтому служат носителями электрического тока.

В рассматриваемом кристаллическом кремнии при температуре абсолютного нуля все электроны находятся в валентной зоне, зона проводимости пуста, поэтому в этом состоянии полупроводник является изолятором. При повышении температуры вследствие теплового движения некоторые электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости. В этом случае в зоне проводимости появляется свободный электрон, а в валентной зоне дырка. Скорость генерации $G_T$ электронно-дырочных пар (число рождающихся в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) в заданном полупроводнике зависит только от температуры.

Таким образом, носителями электрического тока в полупроводниках являются свободные электроны и дырки. Причем дырки можно рассматривать как частицы с положительным зарядом равным элементарному заряду. Концентрация свободных электронов в полупроводнике обозначается $n_i$ , концентрация дырок $p_i$ . Однако в чистом полупроводнике (таком, как рассматривается в данной задаче) концентрации электронов и дырок одинаковы, поэтому используйте единое обозначение для их концентрации $n_i=p_i=n$ . Возможен и процесс, обратный рождению электронно-дырочной пары – электрон может перейти из зоны проводимости в валентную зону, при этом пара электрон-дырка исчезает. Такой процесс называется рекомбинацией. Очевидно, что скорость рекомбинации $R$ (число исчезающих в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок.

При постоянной температуре полупроводника устанавливается динамическое равновесие – среднее число рождающихся электронно-дырочных пар становится равным числу пар, исчезающих вследствие рекомбинации: $G_T=R$ .

Концентрация свободных электронов в этом случае называется равновесной концентрацией, ее обозначим $\bar n$ . Равновесная концентрация свободных электронов зависит только от абсолютной температуры $T$ и определяется формулой

\bar n(T)=AT^{3/2}\exp\left(-\frac{E_g}{kT}\right),\qquad (4)

где $k$ – постоянная Больцмана; $A$ – постоянная для данного вещества величина; $\exp(x)=e^x$ – экспоненциальная функция.

2.1 Используя физические характеристики кристаллического кремния, вычислите его удельную электрическую проводимость при комнатной температуре $\sigma_0$ .

2.2 При малом изменении температуры $\Delta T$ можно считать, что проводимость кремния изменяется по линейному закону

\sigma=\sigma_0(1+\gamma\Delta T).\qquad (5)

Рассчитайте температурный коэффициент проводимости $\gamma$ для кристаллического кремния при комнатной температуре. Изменением подвижностей электронов и дырок при изменении температуры можно пренебречь.

3. Фоторезистор.

Электроны могут переходить в зону проводимости и при поглощении кванта света, в этом случае также образуется пара носителей тока «свободный электрон – дырка». Это явление называется внутренним фотоэффектом. На этом принципе работают полупроводниковые приборы для измерения интенсивности света (в том числе инфракрасного диапазона) – фоторезисторы.

Если энергия фотона превышает энергетическую ширину запрещенной зоны, то он может поглотиться, в некоторых случаях поглощения фотона образуется электронно-дырочная пара. Отношение числа рожденных пар к числу поглощенных фотонов называется квантовым выходом фотоэффекта (обозначим эту величину $\eta$ ).

Поглощение света характеризуется коэффициентом поглощения $\alpha$ . Величина $\alpha\Delta x$ (при $\alpha\Delta x\ll1$ ) равна отношению числа фотонов, поглощенных в тонком слое вещества толщиной $\Delta x$ , к числу фотонов падающих на этот слой.

Полная схемапоглощения света,I0/I0(1−alphaDelta-x),Delta-x/Si и вселучи.

Для кристаллического кремния зависимость коэффициента поглощения от частоты падающего света описывается приближенной формулой

\alpha(\nu)=B(h\nu-E_g)^2,\qquad (6)

где $h\nu$ – энергия фотона (в электрон-вольтах), $B=3{,}9\cdot10^3\,\text{см}^{-1}\cdot\text{эВ}^{-2}$ – эмпирическая постоянная.

Фоторезистор представляет собой тонкий кристаллический кремниевый слой. К краям слоя подведены металлические токопроводящие контакты с внешними выводами. Пластинка полностью освещается светом, падающим на нее нормально сверху. Толщина полупроводникового слоя $h$ достаточно мала, так что в рассматриваемом далее спектральном диапазоне выполняется условие $\alpha h\ll1$ . Температуру пластинки с полупроводниковым слоем можно считать постоянной и равной комнатной.

Полный фоторезистор,контакты/выводы/Si/I0 и падающийсвет.

3.1.1 Вычислите длину волны красной границы фотоэффекта $\lambda_{\text{кр.}}$ .

3.1.2 Для упрощения дальнейших расчетов выразите коэффициент поглощения кремния как функцию от величины $\lambda/\lambda_{\text{кр.}}$ (где $\lambda$ – длина волны падающего света): $\alpha=F(\lambda/\lambda_{\text{кр.}})$ .

3.1.3 Вычислите скорость генерации электронно-дырочных пар посредством фотоэффекта $G_r$ . Выразите данную величину через характеристики падающего света (длину волны $\lambda$ , интенсивность $I_0$ – энергию, падающую в единицу времени на площадку единичной площади) и необходимые вам характеристики кремния, приведенные в справочной таблице.

3.2.1 Запишите уравнение, описывающее скорость изменения концентрации свободных электронов $\Delta n/\Delta t$ в полупроводнике, освещаемом светом. Учтите, что электронно-дырочные пары появляются не только под действием теплового движения, но и вследствие фотоэффекта.

3.2.2 Пусть в результате кратковременного светового импульса концентрация свободных электронов превысила термодинамическую равновесную концентрацию $\bar n$ на малую величину $n_1$ (то есть $n=\bar n+n_1$ , причем $\bar n\gg n_1$ ). Покажите, что изменение этого отклонения $\Delta n_1$ за малый промежуток времени $\Delta t$ подчиняется уравнению

\Delta n_1=-\frac{n_1}\tau\Delta t,\qquad (7)

где $\tau$ – некоторая постоянная, называемая временем жизни электронно-дырочной пары (ее численное значение для кристаллического кремния приведено в Справочной таблице).

3.2.3 Выразите скорость тепловой генерации $G_T$ и скорость рекомбинации $R$ через концентрацию носителей тока и известные параметры кремния, приведенные в Справочной таблице.

3.2.4 Пусть фоторезистор непрерывно освещается светом, в этом случае концентрация носителей достигает некоторого стационарного значения. Найдите отношение этой концентрации к равновесной концентрации $n/\bar n$ , как функцию длины волны (лучше $\lambda/\lambda_{\text{кр.}}$ ) и интенсивности падающего излучения $I_0$ .

3.3.1 3.3 Измерение интенсивности света. Фоторезистор подключают к источнику постоянного напряжения и измеряют силу тока через него. При отсутствии освещения сила тока в цепи равна $i_0$ (темновой ток).

Найдите зависимость силы тока в цепи от характеристик падающего излучения (длины волны и интенсивности).

3.3.2 Постройте примерный график зависимости отношения силы тока в цепи к темновому току $i/i_0$ от интенсивности падающего света (в диапазоне от нуля до $0{,}1\,\text{Вт/см}^2$ ) с длиной волны $\lambda=0{,}90\lambda_{\text{кр.}}$ .

3.3.3 Постройте примерный график зависимости $i/i_0$ от длины волны падающего света в диапазоне от $\lambda_1=0{,}8\,\text{мкм}$ до $\lambda_2=1{,}1\,\text{мкм}$ . Считайте, что интенсивность падающего излучения постоянна и равна $I_0=1{,}0\cdot10^{-2}\,\text{Вт/см}^2$ .

Справочная таблица.

Величина	Значение
Комнатная температура	$T_0=300\,\text{К}$
Заряд электрона	$e=1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$
Скорость света в вакууме	$c=3{,}00\cdot10^8\,\text{м/с}$
Постоянная Больцмана	$k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}$
Постоянная Планка	$h=6{,}63\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}$
Характеристики кристаллического кремния
Ширина запрещенной зоны	$E_g=1{,}12\,\text{эВ}$
Равновесная концентрация свободных электронов при комнатной температуре	$\bar n=1{,}0\cdot10^{10}\,\text{см}^{-3}$
Подвижность свободных электронов	$\mu_n=1{,}4\cdot10^3\,\text{см}^2\cdot\text{В}^{-1}\cdot\text{с}^{-1}$
Подвижность дырок	$\mu_p=0{,}45\cdot10^3\,\text{см}^2\cdot\text{В}^{-1}\cdot\text{с}^{-1}$
Квантовый выход внутреннего фотоэффекта	$\eta=0{,}10$
Время жизни электронно-дырочной пары	$\tau=3{,}0\cdot10^{-3}\,\text{с}$

Решение

1.1 По закону Ома для участка цепи сила тока равна

I=\frac UR.\qquad (1)

Подставляя известные формулы:

сопротивления проводника $R=\rho L/S$ ;
связи напряжения и напряженности $U=EL$ ;
связи силы и плотности тока $I=jS$

в уравнение (1), получим $jS=\frac{EL}{\rho\frac LS}$ , откуда следует, что $j=\frac1\rho E=\sigma E$ . Очевидно, что направление движения заряженных частиц совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля, поэтому

\vec j=\sigma\vec E.\qquad (2)

Полный ключевойцилиндрсI/j/S/L и стрелками.

1.2 За время $\Delta t$ площадку площадью $\Delta S$ , расположенную перпендикулярно векторам скоростей частиц, пересекут частицы, находящиеся от площадки на расстоянии $v\Delta t$ . Объем области, опирающейся на выделенную площадку, частицы в котором пересекут площадку равен $\Delta V=v\Delta t\cdot\Delta S$ , число частиц в нем $N=n\Delta V=nv\Delta t\cdot\Delta S$ , они переносят заряд $\Delta Q=qN=qnv\Delta t\cdot\Delta S$ . По определению плотности тока, получим

j=\frac{\Delta Q}{\Delta t\cdot\Delta S}=qnv.\qquad (3)

Полный потокв объеме,VDelta-t/Delta-S/q/n/V/все частицы и стрелки.

1.3 Приравнивая выражения для плотности тока (2) и (3), получим

env=\sigma E.\qquad (4)

Из этой формулы выразим среднюю скорость движения частиц $v=\frac\sigma{en}E$ . Сравнивая это выражение с определением подвижности $\langle v\rangle=\mu E$ , находим, что проводимость металла находится по формуле

\sigma=en\mu.\qquad (5)

2.1 Для вычисления удельной проводимости полупроводника необходимо учесть, что ток обусловлен движением как свободных электронов, так и дырок. Не смотря на то, что электроны и дырки движутся в противоположных направлениях, электрические токи, обусловленные их движением, направлены в одну сторону (в сторону движения положительно заряженных дырок). С помощью формулы (5) находим

\sigma_0=e(n_i\mu_n+p_i\mu_p)=e\bar n(\mu_n+\mu_p).\qquad (6)

При подстановке численных значений из Таблицы справочных материалов их необходимо перевести в единицы системы СИ:

\begin{aligned}\sigma_0&=e\bar n(\mu_n+\mu_p)\\&=1{,}60\cdot10^{-19}\,\text{Кл}\cdot1{,}0\cdot10^{16}\,\text{м}^{-3}(1{,}4\cdot10^3+0{,}45\cdot10^3)\cdot10^{-4}\frac{\text{м}^2}{\text{В}\cdot\text{с}}\\&\approx3{,}0\cdot10^{-4}\,\text{Ом}^{-1}\cdot\text{м}^{-1}.\end{aligned}\qquad (7)

2.2 Из приведенной в условии формулы

\sigma=\sigma_0(1+\gamma\Delta T)

Следует, что температурный коэффициент равен

\gamma=\frac1{\sigma_0}\frac{\Delta\sigma}{\Delta T},

При малых изменениях температуры отношение приращений следует заменить соответствующей производной¹ $\gamma=\frac1{\sigma_0}\frac{\Delta\sigma}{\Delta T}=\frac{\sigma'}{\sigma_0}$ .

¹ Для тех, кто не знаком с производными: можно также воспользоваться приближенными формулами для расчета изменения функций.

При повышении температуры увеличивается концентрация носителей тока, что и приводит к увеличению проводимости. Так проводимость пропорциональна концентрации носителей, то

\frac1{\sigma_0}\frac{\Delta\sigma}{\Delta T}=\frac{\sigma'}{\sigma_0}=\frac1{\bar n}\frac{\Delta\bar n}{\Delta T}=\frac{\bar n'}{\bar n}.\qquad (8)

Выражение для равновесной концентрации приведено в условии задачи. Указанное отношение проще вычислить с помощью известного математического приема (хотя можно пользоваться и простыми правилами вычисления производных):

\begin{aligned}\bar n&=AT^{3/2}\exp\left(-\frac{E_g}{kT}\right)\quad\Rightarrow\quad\ln\bar n=\ln A+\frac32\ln T-\frac{E_g}{kT}\quad\Rightarrow\\\frac{\bar n'}{\bar n}&=\frac32\frac1T+\frac{E_g}{kT^2}=\frac1T\left(\frac32+\frac{E_g}{kT}\right).\end{aligned}\qquad (9)

При расчетах необходимо правильно перевести электрон-вольты в джоули с помощью соотношения $E_g[\text{Дж}]=eE_g[\text{эВ}]$ :

\gamma=\frac1T\left(\frac32+\frac{E_g}{kT}\right)=\frac1{300\,\text{К}}\left(\frac32+\frac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}12}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}\right)\approx0{,}15\,\text{К}^{-1}.\qquad (10)

3.1.1 Красной границе фотоэффекта соответствую фотоны, энергия которых равна ширине энергетической зоны

h\nu_{\text{кр.}}=E_g.\qquad (11)

Расчет длины волны не представляет труда

\frac{hc}{\lambda_{\text{кр.}}}=E_g\quad\Rightarrow\quad\lambda_{\text{кр.}}=\frac{hc}{E_g}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}\cdot3{,}0\cdot10^8\,\text{м/с}}{1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{Кл}\cdot1{,}12\,\text{эВ}}\approx1{,}0\cdot10^{-6}\,\text{м}=1{,}0\,\text{мкм}.\qquad (12)

3.1.2 Преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду, удобному для дальнейших расчетов:

\alpha=B(h\nu-E_g)^2=BE_g^2\left(\frac{hc}{E_g\lambda}-1\right)^2=b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2,\qquad (13)

Здесь $b=BE_g^2=3{,}9\cdot10^3\frac{\text{см}^{-1}}{\text{эВ}^2}(1{,}12\,\text{эВ})^2=4{,}9\cdot10^5\,\text{м}^{-1}$ – постоянная величина; $\lambda_{\text{кр.}}=1{,}0\,\text{мкм}$ – длина волны красной границы фотоэффекта.

3.1.3 В единицу времени на пластинку падает $\frac{I_0}{h\nu}S$ фотонов ( $S$ – площадь поверхности), из них $\frac{I_0}{h\nu}S\cdot\alpha h$ поглощается, что приводит к появлению $\frac{I_0}{h\nu}S\cdot\alpha h\cdot\eta$ электронно-дырочных пар. Следовательно, в единице объема в единицу времени появляется $G_r=\frac1V\left(\frac{I_0}{h\nu}Sh\alpha\eta\right)=\frac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta$ пар электронов (это есть скорость генерации).

3.2.1 Концентрация электронов в проводнике изменяется в ходе генерации и регенерации, поэтому уравнение изменения концентрации может быть записано в виде

\frac{\Delta n}{\Delta t}=G_T+G_r-R.\qquad (14)

3.2.2 При отсутствии освещения скорость изменения концентрации носителей тока можно представить в форме уравнения

\frac{\Delta n}{\Delta t}=G_T-R,\qquad (15)

Представим концентрации носителей тока в виде $n=\bar n+n_1$ . Скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации свободных электронов, поэтому запишем $R=rn^2=r(\bar n+n_1)^2$ , где $r$ – некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь уравнение (11) принимает вид

\frac{\Delta(\bar n+n_1)}{\Delta t}=G_T-r(\bar n+n_1)^2=G_T-r\bar n^2-2r\bar n\cdot n_1-rn_1^2.\qquad (16)

При $\bar n\gg n_1$ можно пренебречь слагаемым пропорциональным $n_1^2$ . Кроме того, равновесная концентрация носителей удовлетворяет условию $G_T=r\bar n^2$ . Таким образом, уравнение (12) приобретает требуемый вид

\frac{\Delta n_1}{\Delta t}=-2r\bar n\cdot n_1.\qquad (17)

Введенный коэффициент рекомбинации выражается через время жизни электронно-дырочной пары

2r\bar n=\frac1\tau\quad\Rightarrow\quad r=\frac1{2\bar n\tau}.\qquad (18)

Таким образом, скорость тепловой генерации выражается формулой

G_T=r\bar n^2=\frac1{2\tau}\bar n,\qquad (19)

а скорость рекомбинации

R=rn^2=\frac{n^2}{2\bar n\tau}.\qquad (20)

3.2.4 В стационарном режиме концентрация свободных электронов не изменяется, следовательно, в этом случае выполняется соотношение

G_T+G_r-R=0.\qquad (21)

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для скоростей потоков и коэффициента поглощения

\frac1{2\tau}\bar n+\frac{I_0\lambda}{hc}\alpha\eta-\frac{n^2}{2\bar n\tau}=0.

Из этого уравнения получаем

\frac{n^2}{\bar n^2}=1+2\frac{I_0\lambda}{hc\bar n}\alpha\eta\tau=1+2\frac{I_0\lambda}{hc\bar n}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2.

Для упрощения расчетов перепишем данное выражение в виде

\begin{aligned}\frac{n^2}{\bar n^2}&=1+2\frac{I_0\lambda}{hc\bar n}\eta\tau b\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2\\&=1+2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar n}\eta\tau b\frac{I_0\lambda}{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2=1+W\frac{I_0\lambda}{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2,\end{aligned}\qquad (22)

где в одном безразмерном коэффициенте объединились все параметры кремния

\begin{aligned}W&=2\frac{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}{hc\bar n}\eta\tau b\\&=2\frac{10^4\,\text{Вт/м}^2\cdot1{,}0\cdot10^{-6}\,\text{м}}{6{,}63\cdot10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}\cdot3{,}0\cdot10^8\,\text{м/с}\cdot1{,}0\cdot10^{16}\,\text{м}^{-3}}\,0{,}1\cdot3{,}0\cdot10^{-3}\,\text{с}\cdot4{,}9\cdot10^5\,\text{м}^{-1}\\&=1{,}5\cdot10^9,\end{aligned}

(здесь $I_{00}=1\,\text{Вт/см}^2=10^4\,\text{Вт/м}^2$ – единица измерения интенсивности).

Окончательно получаем искомую формулу

\frac n{\bar n}=\sqrt{1+W\frac{I_0\lambda}{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2}.\qquad (23)

3.3.1 Сила тока через фоторезистор при постоянном напряжении на нем пропорциональна проводимости фоторезистора, которая в свою очередь пропорциональна концентрации носителей тока. Следовательно, формула (19) также описывает изменение силы тока

\frac i{i_0}=\sqrt{1+W\frac{I_0\lambda}{I_{00}\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2}.\qquad (24)

3.3.2 Подставляя значение длины волны в выражение (20), вычислим значение коэффициента при интенсивности

W\frac\lambda{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2=1{,}5\cdot10^9\cdot0{,}9\cdot\left(\frac1{0{,}9}-1\right)^2\approx1{,}67\cdot10^7.

Такое большое значение этого коэффициента позволяет пренебречь 1 под корнем, то есть сила тока пропорциональна корню квадратному из интенсивности падающего света. График этой зависимости показан на рисунке.

Полный графиктока отинтенсивности,обеподписи,все шкалы0–0.1/0–1400,сеткa/оси/i/i0.

3.3.3 В данном случае требуется построить график функции

\frac i{i_0}=\sqrt{1+1{,}5\cdot10^7\frac\lambda{\lambda_{\text{кр.}}}\left(\frac{\lambda_{\text{кр.}}}\lambda-1\right)^2}.\qquad (25)

При построении следует учесть, что при $\lambda>\lambda_{\text{кр.}}$ фотоэффект отсутствует, поэтому в этой области $i=i_0$ . При $\lambda<\lambda_{\text{кр.}}$ искомая зависимость практически линейна (см. рисунок).

Полный графиктока отдлиныволны,обеподписи/шкалы0.75–1.1/0–1000,сеткa/оси/lambda/i/i0.

Оригинал в Архива: 2009_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2009_theoretical_solutions.pdf