BelPhO 2010, Областен етап, 9–11 клас — Задача 1. Медленное движение. Часть 1. Металл

Решения задач.

9 класс.

Медленное движение.

В данной задаче изучается закон движения, причем во всех случаях это движение является равномерным. С точки зрения «теоретиков» не разницы строить зависимость координаты от времени $x(t)$, или времени от координаты $t(x)$. Однако «настоящий экспериментатор»$^{1}$ должен строить вторую зависимость $t(x)$, потому, что в ходе измерений предпочтительнее измерять время прохождения заданного пути (так проще и точнее). При таком методе измерения погрешность измерения времени больше погрешности заметно больше, чем погрешность определения координаты, поэтому время должно быть «функцией», а координата – «аргументом». Ниже мы везде будем строить зависимость $t(x)$. Коэффициент наклона прямой в этом случае равен величине обратной скорости.

Ниже приведены результаты измерений и графики полученных зависимостей. Они построены отдельно, чтобы не загромождать рисунки. Для каждого стержня измерения проведены дважды, причем во второй раз установка перевернута, поэтому наклон графика противоположный. В качестве оси координат везде использована шкала линейки (поэтому графики не выходят из нуля). Полностью допустимым является иное начало отсчета, например, совпадающее с положением стержня в момент начала отсчета времени. В названии таблицы приведен диаметр исследуемого стержня. Приведенные здесь измерения проведены в неразбавленном геле для мытья посуды. В нижней строке указаны рассчитанные по графикам скорости движения (в см/с).

Таблица 1. $d = 2{,}0\ \text{мм}$.

$^{1}$ По нашему мнению, высшим баллом за методику измерения следует оценивать именно измерение $t(x)$, так точность в этом случае действительно выше. При измерении зависимости $x(t)$ (то есть попытка фиксировать координату в определенные моменты времени) трудно точно зафиксировать положение тела. При оценивании построения графика следует учесть методику измерения – построение графика должно соответствовать ей. В противном случае следует немного наказать при выставлении оценок.

Таблица 2. $d = 2{,}5\ \text{мм}$.

Таблица 3. $d = 2{,}8\ \text{мм}$.

Таблица 4. $d = 3{,}0\ \text{мм}$.

Таблица 5. $d = 3{,}5\ \text{мм}$.

Таблица 6. $d = 4{,}0\ \text{мм}$.

Заметим, что в соответствии с условием от участников не требуется измерять закон движения для всех стержней. Достаточно провести такие измерения для одного стержня (с меньшим шагом, для стержня максимального диаметра – движение медленное, измерения точнее). Для остальных – можно несколько раз измерить время прохождения фиксированного пути, и рассчитать скорость движения. Мы тоже позволили себе также пропустить некоторые измерения.

Разброс значений времен движения (соответственно и скоростей) может быть весьма заметным, порядка 20%.Это обусловлено тем, на каком расстоянии от оси трубки движется стержень. Поэтому измерения времен следует производить неоднократно, 5-6 раз!

График зависимости скорости стержня от его диаметра показан на рисунке 7. По его внешнему виду трудно определить вид функциональной зависимости. Однако, в теоретическом туре участники должны были получить, что зависимость скорости от толщины зазора кубическая, поэтому следует предпринять попытку такой проверки.

Эту проверку можно провести различными способами, например, построить зависимость скорости от куба разности диаметров трубки $(D = 5{,}1\ \text{мм})$ и стержня. (график 8). Эта зависимость близка к линейной, что частично подтверждает выдвинутую гипотезу.

Наиболее разумным (но не доступным для девятиклассников) методом определения показателя степени является построения графика в двойном логарифмическом масштабе. Такой метод анализа показывает, что показатель степени действительно близок к трем.

Дополнение.

Приведем данные по изучению закона движения в геле, слегка разбавленном водой. В этом случае скорости движения значительно больше, что ускоряет измерения, но увеличивает их погрешность. Кроме того, в этом случае можно провести измерения для более толстого стержня (приведено, для $d = 4{,}0\ \text{мм}$).

Таблица 7.

Приведем также зависимость скорости стержня от разности диаметров трубки и стержня. Эта зависимость гораздо больше похожа на степенную зависимость, причем показатель степени (если отбросить движение самого тонкого стержня) весьма близок к 3.