Съдържание

Условие Часть 0.Часть 1. Приближенное решение.Часть 2. Точное решение.Решение

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9. 11 класс — 3. «Электрический дрейф»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

В этой задаче мы предлагаем Вам описать движение заряженной частицы во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.

Часть 0.

Частица с положительным зарядом $q$ и массой $m$ влетает в однородное магнитное поле с индукцией $B$ (электрического поля нет). Скорость частицы $v_0$ перпендикулярна линиям поля.

0.1 Определите радиус окружности $R$ , по которой движется частица.

0.2 Определите угловую скорость вращения $\omega$ частицы.

0.3 Определите период вращения $T$ частицы по окружности.

Часть 1. Приближенное решение.

Пусть в некоторой области пространства одновременно с магнитным полем $B$ существует перпендикулярное ему электрическое поле $E$ . Частица с положительным зарядом $q$ и массой $m$ влетает в эту область с некоторой скоростью. Вектор скорости лежит в плоскости перпендикулярной вектору магнитной индукции (рис. 1). Наличие электрического поля приведет к тому, что скорость частицы будет возрастать по мере смещения вдоль линий поля, а значит, будет увеличиваться радиус кривизны траектории. Это приведет к тому, что частица начнет медленно смещаться (дрейфовать) вдоль оси $OX$ , и траектория движения будет иметь вид, изображенный на рисунке.

Рис1 целиком: полная дрейфующая траектория,E,B,осиX/Y,все стрелки и подпись.

В этой части предлагаем Вам определить скорость дрейфа, рассмотрев движение с некоторым упрощением. Предположим, что траектория движения частицы состоит из двух полуокружностей (верхней и нижней). Вдоль верхней полуокружности частица движется со скоростью, соответствующей верхней точке траектории, вдоль нижней — со скоростью, соответствующей нижней точке траектории (рис. 2).

Рис2 целиком: обе полуокружности,RВ/RН,VВ/VН,E/B,осиX/Y,все стрелки/пунктир и подпись.

1.1 Используя это приближение, определите среднюю скорость движения частицы $v_{\text{Д}}$ вдоль оси $OX$ . Выразите эту скорость через напряженность электрического поля $E$ и индукцию магнитного поля $B$ .

Часть 2. Точное решение.

2.1 Частица движется во взаимно перпендикулярных полях $E$ и $B$ . Проекция скорости на ось $OX$ равна $v_X$ , на ось $OY$ — $v_Y$ (рис. 3). Запишите выражения для проекций ускорения $a_X$ и $a_Y$ .

Рис3 целиком: E/B,V,VX/VY,осиX/Y,все стрелки и подпись.

2.2 Рассмотрим колесо радиуса $R$ с осью радиуса $r$ , которое катится без проскальзывания вдоль оси $OX$ со скоростью $u$ (рис. 4).

Рис4 целиком: оба вида колеса/оси,радиусыR/r,точкаA,φ,V/u,обе поверхности,все X/Y и подпись.

Запишите выражения для проекций $v_X$ и $v_Y$ скорости точки А, находящейся на колесе под углом $\varphi$ к оси $OX$ .

2.3 Запишите выражения для проекций $a_X$ и $a_Y$ ускорения точки А.

2.4 Используя выражения, полученные в пунктах 2.2 и 2.3, определите связь между проекциями скоростей и ускорений.

2.5 Сравните уравнения пункта 2.1 и 2.4 и запишите точное выражение для скорости дрейфа.

Решение

Часть 0.

0.1 Радиус окружности:

R=\frac{mv_0}{qB}.\qquad (1)

0.2 Угловая скорость вращения:

\omega=\frac{v_0}R=\frac{qB}m.\qquad (2)

0.3 Период вращения:

T=\frac{2\pi m}{qB}.\qquad (3)

Часть 1.

1.1 Радиус верхней и нижней полуокружностей равен:

R_{\text{В}}=\frac{mv_{\text{В}}}{qB}\quad\text{и}\quad R_{\text{Н}}=\frac{mv_{\text{Н}}}{qB}.\qquad (4)

Время движения по двум полуокружностям равно:

T=\frac{2\pi m}{qB}.\qquad (5)

Скорость дрейфа выражается следующим образом:

v_{\text{Д}}=2\frac{R_{\text{В}}-R_{\text{Н}}}T.\qquad (6)

Подставляя значения радиусов (4) и времени (5), получим:

v_{\text{Д}}=\frac1\pi(v_{\text{В}}-v_{\text{Н}}).\qquad (7)

Разность скоростей определим из теоремы о кинетической энергии:

\frac{mv_{\text{В}}^2}2-\frac{mv_{\text{Н}}^2}2=qE(R_{\text{В}}+R_{\text{Н}}).\qquad (8)

Используя выражения (4), получим:

\frac m2(v_{\text{В}}^2-v_{\text{Н}}^2)=\frac{mE}B(v_{\text{В}}+v_{\text{Н}}).\qquad (9)

Следовательно, разность скоростей равна:

v_{\text{В}}-v_{\text{Н}}=2\frac EB.\qquad (10)

Тогда скорость дрейфа:

v_{\text{Д}}=\frac{2E}{\pi B}.\qquad (11)

Часть 2.

2.1 Второй закон Ньютона в проекциях на оси $OX$ и $OY$ имеет вид:

\begin{aligned}OX:\quad qBv_Y&=ma_X,\\OY:\quad qE-qBv_X&=ma_Y.\end{aligned}\qquad (12)

Проекции ускорений равны:

\begin{aligned}a_X&=\frac{qB}mv_Y,\\a_Y&=-\frac{qB}mv_X+\frac{qE}m.\end{aligned}\qquad (13)

2.2 Проекции скорости на оси:

\begin{aligned}v_x&=u+\omega R\sin\varphi,\\v_y&=-\omega R\cos\varphi,\end{aligned}\qquad (14)

где

\omega=\frac ur.\qquad (15)

2.3 Проекции центростремительного ускорения:

\begin{aligned}a_x&=-\omega^2R\cos\varphi,\\a_y&=-\omega^2R\sin\varphi.\end{aligned}\qquad (16)

2.4 Выразим из уравнений (14) синус и косинус угла $\varphi$ :

\sin\varphi=\frac{v_x-u}{\omega R};\qquad\cos\varphi=-\frac{v_y}{\omega R}.\qquad (17)

Подставляя в уравнения (16), получим:

\begin{aligned}a_x&=\omega v_y,\\a_y&=-\omega v_x+\omega u.\end{aligned}\qquad (18)

2.5 При подстановке в систему (13) выражения для угловой скорости (2) получим:

\begin{aligned}a_x&=\omega v_y,\\a_y&=-\omega v_x+\omega\frac EB,\end{aligned}\qquad (19)

что аналогично системе (18).

Величина $E/B$ соответствует скорости $u$ .

Таким образом, скорость дрейфа равна:

v_{\text{Д}}=\frac EB.\qquad (20)

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf