Съдържание

Условие Часть 1. Введение.Часть 2. Колебания полукольца.Решение

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 8. 11 класс — 2. «Полукольцо»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Часть 1. Введение.

В этой части вам предлагается вспомнить некоторые формулы, касающиеся описания движения простых колебательных систем и динамики твердого тела.

Традиционный подход к расчету периодов гармонических колебаний механических систем заключается в приведении уравнения движения к стандартной форме. Пусть состояние системы полностью характеризуется одной координатой $x$ (это может быть, например, декартовая координата материальной точки; угол поворота при вращательном движении). Скорость изменения этой координаты обозначим $v=\Delta x/\Delta t$ , а ее ускорение (скорость изменения скорости) $a=\Delta v/\Delta t$ . Если на основании физических законов и уравнений удается получить уравнение

a=-\omega_0^2x,\qquad (1)

где $\omega_0^2$ — положительная постоянная, то из этого уравнения однозначно следует, что величина $x(t)$ изменяется по гармоническому закону с круговой частотой $\omega_0$ . Заметим, что к уравнению (1) можно привести уравнения, основанные на втором законе Ньютона.

Эквивалентным способом расчета периодов колебаний является приведение физических уравнений к виду (которое часто называют уравнением гармонических колебаний)

v^2+\omega_0^2x=\mathrm{const},\qquad (2)

еще раз подчеркнем, что в этом уравнении обязательно $v=\Delta x/\Delta t$ . Из уравнения (2) также однозначно следует, что величина $x(t)$ изменяется по гармоническому закону с круговой частотой $\omega_0$ . Как правило, к уравнению вида (2) приводятся уравнения, основанные на основе закона сохранения энергии.

1.1 1. Рассмотрите горизонтальные колебания пружинного маятника: представляющего собой груз массы $m$ , прикрепленный с помощью легкой пружины жесткостью $k$ к вертикальной стене. Считайте, что в начальный момент времени груз сместили на некоторое расстояние $x_0$ от его положения равновесия.

Полная схема пружинногомаятника: стена,пружинаk,массаm,силатяжести,начальная позиция и стрелки.

Пренебрегая трением, запишите уравнение закона сохранения механической энергии для груза.

1.2 Приведите полученное уравнение к виду (2). На основании его запишите формулу для периода колебаний груза.

2.1 Во многих случаях уравнение вида (2) не следует автоматически из уравнения закона сохранения энергии. Но при рассмотрении малых колебаний (когда величина $x$ , и скорость ее изменения $v$ малы) из уравнения закона сохранения энергии можно получить уравнение вида (2). Для этого следует упростить выражения для кинетической и потенциальной энергии, пренебрегая малыми величинами порядка выше второго (то есть $x^3,v^3,x^4,v^4,x^2\cdot v^2$ , и т.д.)

Рассмотрите малые колебания математического маятника, представляющего собой груз некоторой массы, подвешенный на легкой нерастяжимой нити длиной $l$ в однородном поле тяжести земли. В качестве координаты используйте $\alpha$ — угол отклонения нити маятника от вертикали.

Полная схема математическогомаятника: опора,нитьl,уголα,все триположения,силатяжести и дуга.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, запишите уравнение закона сохранения механической энергии для груза (в качестве координаты используйте угол отклонения).

2.2 Считая угол отклонения $\alpha$ малым, приведите полученное уравнение к виду (2). На основании его запишите формулу для периода колебаний маятника.

Подсказка: при малых углах $\alpha$ справедлива приближенная формула

\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}2.\qquad (3)

3.1 При описании движения твердого тела, которое не может считаться материальной точкой, выражения для кинетической и потенциальной энергий тела усложняются.

Покажите, что потенциальная энергия твердого тела, находящегося в поле тяжести Земли определяется простой формулой

U=mgh_C,\qquad (3)

где $h_C$ — высота центра масс тела, $g$ — ускорение свободного падения.

Полное тело/центрмассC/высотаhc/земля и размернаястрелка.

Часть 2. Колебания полукольца.

Из тонкостенной трубы радиуса $R$ вырезали полукольцо. Его края соединили легкой проволокой $AB$ . Изгибом проволоки и ее массой следует пренебрегать.

4.1 Покажите, что центр масс $C$ полукольца находится на расстоянии

h_C=\frac2\pi R\qquad (5)

от его центра $O$ .

Полная схема центра масс полукольца: A/B/O/C,R,hc и вся дуга/проволока.

4.2 Полукольцо подвесили на горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ (центр полукольца). Определите период малых колебаний полукольца при таком подвесе.

Полная схема колебания полукольца на осиO: вся дуга,проволока,ось и стрелка вращения.

4.3 Полукольцо подвесили на горизонтальной оси, проходящей через точку $A$ (вершину полукольца), отклонили на малый угол от положения равновесия и отпустили. Определите период колебаний в этом случае.

Полная схема колебания перевернутого полукольца на осиA: вся дуга,проволока,ось и стрелка вращения.

4.4 Полукольцо поставили на шероховатую поверхность и вывели из положения равновесия. Полукольцо начало колебаться, качаясь по поверхности без проскальзывания. Определите период таких колебаний полукольца. Колебания считайте малыми.

Полная схема качения полукольца: A/B/O,дуга,проволока,поверхность и обе стрелки движения.

Подсказка. Получите выражение для кинетической энергии кольца в момент времени, когда ось симметрии кольца вертикальна. При малых колебаниях это выражение будет справедливо и при малых отклонениях от вертикали.

Решение

1.1 Закон сохранения механической энергии при движении груза по горизонтальной поверхности имеет вид

E=\frac{m\upsilon^2}2+\frac{kx^2}2,\qquad (1)

где $\upsilon$ — значение мгновенной скорости движения груза, а $x$ — значение абсолютной деформации пружины (смещение груза от положения равновесия).

1.2 Разделив обе части (1) на массу груза $m$ , получим

\frac{\upsilon^2}2+\frac km\cdot\frac{x^2}2=\frac Em=\mathrm{const}.\qquad (2)

Из (2) следует, что для горизонтального пружинного маятника

\omega^2=\frac km.

Соответственно, период таких колебаний

T=\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac mk}.\qquad (3)

2.1 При рассмотрении математического маятника удобно ввести в качестве координаты угол $\alpha$ его отклонения от вертикали. Тогда кинетическая энергия движения материальной точки может быть представлена в виде

E^{\text{К}}=\frac{m\upsilon^2}2=\frac{m\omega^2R^2}2,

где $\omega$ — угловая скорость вращения математического маятника, а радиус окружности равен длине его подвеса $R=l$ .

При отклонении маятника на угол $\alpha$ от вертикали его потенциальная энергия возрастет на величину

E^{\text{П}}=mgh=mgl(1-\cos\alpha).

2.2 Используя приведенное в условии соотношение для малых колебаний математического маятника, получим

E^{\text{П}}=mgl\frac{\alpha^2}2.

Теперь уравнения закона сохранения энергии принимает вид

E=\frac{mR^2\omega^2}2+\frac{k\alpha^2}2=\mathrm{const},\qquad (4)

где $k=mg/l$ .

Преобразовывая выражение (4) к уравнению гармонических колебаний, получаем

\frac{\omega^2}2+\frac km\cdot\frac{\alpha^2}2=\frac E{mR^2}=\mathrm{const}.

Соответственно, для периода колебаний математического маятника получаем

T=2\pi\sqrt{\frac lg}.\qquad (5)

3.1 Мысленно разобьем тело на тонкие горизонтальные слои толщиной $\Delta z$ . Массу каждого слоя обозначим $\Delta m_i$ , а его высоту $z_i$ . Тогда потенциальная энергия всего тела может быть представлена в виде суммы

U=\sum_i\Delta m_igz_i=g\sum_i\Delta m_iz_i.

Полная схема разбиения тела на слои: все линии/Δzi/Δmi/zi,C,hc и земля.

Сумма стоящая в этом выражении определяет положение центра масс

\sum_i\Delta m_iz_i=mh_c.

Откуда и следует требуемое выражение для потенциальной энергии тела.

4.1 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, видимые из центра кольца под малым углом $\Delta\varphi$ . Рассмотрим на кольце малый участок $AB$ , положение которого задается углом $\varphi$ от вертикали. Длина этого участка кольца равна $\Delta l=|AB|=R\Delta\varphi$ , а масса (учитывая, что вся масса $m$ равномерно распределена в пределах угла $\varphi\in[-\pi/2,+\pi/2]$ ) $\Delta m=(m/\pi)\Delta\varphi$ . Вертикальная координата (отсчитываемая от центра кольца $O$ ) выделенного участка равна $z=R\cos\varphi$ .

Полная схема геометрическоговывода центра масс: C/O/A/B/A′/B′/D,z,φ/Δφ/Δx,вся дуга/земля.

Теперь можно записать выражение для определения координаты $h_C$ центра масс кольца

mh_C=\sum_i\Delta m_iz_i,\qquad (6)

где суммирование ведется по всем элементам кольца. Подставим полученные выше выражения для параметров отдельных элементов кольца

mh_C=\sum_i\Delta m_iz_i=\sum_i\frac m\pi\Delta\varphi_i\cdot R\cos\varphi_i=\frac m\pi\sum_i\Delta\varphi_i\cdot R\cos\varphi_i=\frac m\pi\sum_i\Delta l_i\cos\varphi_i.\qquad (7)

Полученная сумма легко вычисляется, если обратить внимание, что $\Delta l_i\cos\varphi_i=|A'B'|$ , то есть равна длине проекции выделенного отрезка на горизонтальное направление, сумма этих длин проекций равна длине отрезка $CD$ , очевидно, равной диаметру кольца. Таким образом получаем

mh_C=\frac m\pi\sum_i\Delta l_i\cos\varphi_i=\frac m\pi\cdot2R.\qquad (8)

Откуда и следует искомое выражение

h_C=\frac2\pi R.\qquad (9)

Альтернативный вариант 1.

Повернем полукольцо на малый угол $\Delta\alpha$ . При этом его потенциальная энергия увеличится (за счет того, что отрезок $A'B'$ «переместился» в положение $AB$ )

\Delta U=\Delta mg\cdot\Delta h=\frac m\pi\Delta\alpha\cdot R\Delta\alpha.\qquad (1)

Полная схема альтернативноговывода1: A/B/A′/B′/O,hc,Δα,дуга,земля,все стрелки.

С другой стороны это же изменение потенциальной энергии можно выразить через изменение высоты центра масс

\Delta U=mg(h_C-h_C\cos\Delta\alpha)\approx mgh_C\frac{(\Delta\alpha)^2}2,

на последнем шаге использовалась приближенная формула для косинуса малого угла. Приравнивая полученные выражения для изменения потенциальной энергии, получим требуемую формулу для центра масс.

Альтернативный вариант 2.

Подвесим к краю полукольца груз малой массы $m_1$ . Рассмотрим моменты сил, действующих на систему в состоянии равновесия, относительно оси, проходящей через точку касания полукольца и плоскости (точку С). При малом угле¹ $\alpha$ момент веса груза

M_1=mgR\cos\alpha\approx mgR.

Полная схема альтернативноговывода2: обе массы/силы,α/2α,h,точкиO/A/B/C,дуга,поверхность и все стрелки.

Момент силы тяжести полукольца можно записать двумя способами: через смещение центра масс полукольца

M_2=mgh_C\sin\alpha\approx mgh_C\alpha

или как момент веса некомпенсированной части АВ полукольца

M_2\approx\frac{2\alpha}\pi mgh_C.

Приравнивая между собой выражения для $M_2$ , найдем искомое расстояние $r$ от точки О до центра масс полукольца.

Возможны и другие варианты решения.

¹ При малом угле ( $\alpha\to0$ ) с одинаковой точностью справедливы равенства $\sin\alpha\approx\alpha$ ; $\cos\alpha\approx1$ .

4.2 При колебаниях полукольца вокруг его центра $O$ все его точки движутся с одинаковыми скоростями $v=\omega R$ , где $\omega=\Delta\alpha/\Delta t$ — угловая скорость вращения кольца, $\alpha$ — угол отклонения в данный момент времени. Поэтому кинетическая энергия кольца выражается формулой

E^{\text{К}}=\frac{m\omega^2R^2}2.\qquad (10)

Изменение потенциальной энергии кольца при отклонении на малый угол $\alpha$ равно

\Delta U=mgh_C(1-\cos\alpha)\approx mgh_C\frac{\alpha^2}2.\qquad (11)

Используя формулы (10)–(11), запишем уравнения закона сохранения механической энергии

\frac{m\omega^2R^2}2+mgh_C\frac{\alpha^2}2=E=\mathrm{const},\qquad (12)

из которого следует уравнение гармонических колебаний

\omega^2+\frac{gh_C}{R^2}\alpha^2=\mathrm{const},\qquad (13)

Период которых равен

T=2\pi\sqrt{\frac{R^2}{gh_C}}=2\pi\sqrt{\frac{R^2}{g\frac2\pi R}}=2\pi\sqrt{\frac\pi2\frac Rg}.\qquad (14)

Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).

4.3 В этом случае разные части полукольца будут иметь разные линейные скорости, но одинаковую угловую скорость $\omega=\Delta\alpha/\Delta t$ ( $\alpha$ — угол отклонения в данный момент времени). Поэтому для вычисления кинетической энергии необходимо его разбивать на малые участки. Рассмотрим один из таких участков, видимый из центра под малым углом $\Delta\varphi$ , и отстоящий от оси симметрии полукольца на угол $\varphi$ . Модуль его линейной скорости равен $V_i=\omega r_i$ , где $r_i$ — расстояние от выделенного участка кольца до оси вращения $BA$ . Квадрат этого расстояния можно выразить по теореме косинусов для треугольника $OAB$

r_i^2=2R^2(1-\cos\varphi_i).\qquad (15)

Полная схема перевернутогополукольца: A/B/C/O,Δmi,ri/R,ω/Vi,φi/Δφi,вся дуга/проволока.

Подсчитаем кинетическую энергию кольца, как сумму энергий всех его малых частей

E^{\text{К}}=\sum_i\frac{\Delta m_iV_i^2}2=\sum_i\frac12\frac m\pi\Delta\varphi_i\cdot(r_i\omega)^2=\frac{m\omega^2}{2\pi}\sum_i2R^2(1-\cos\varphi_i)\Delta\varphi_i=

=\frac{m\omega^2}\pi\left(R^2\sum_i\Delta\varphi_i-R\sum_iR\cos\varphi_i\Delta\varphi_i\right).

Первая сумма в этом выражении равна $\pi$ , вторую мы вычисляли при расчете положения центра масс, она равна $2R$ . Поэтому выражение для кинетической энергии полукольца имеет вид

E^{\text{К}}=\frac{m\omega^2}\pi\left(R^2\sum_i\Delta\varphi_i+R\sum_iR\cos\varphi_i\Delta\varphi_i\right)=\frac{m\omega^2R^2}\pi(\pi-2)=m\omega^2R^2\left(1-\frac2\pi\right).\qquad (16)

Не сложно получить и выражение для потенциальной энергии кольца при его отклонении на малый угол $\alpha$ . Для этого достаточно в формуле (11) заменить $h_C$ на расстояние от оси вращения до центра масс в этом «перевернутом» случае ( $h_C\to R-h_C$

\Delta U=mg(R-h_C)(1-\cos\alpha)\approx mg(R-h_C)\frac{\alpha^2}2=mgR\left(1-\frac2\pi\right)\frac{\alpha^2}2.\qquad (17)

Теперь мы можем записать уравнение закона сохранения энергии при движении кольца

m\omega^2R^2\left(1-\frac2\pi\right)+mgR\left(1-\frac2\pi\right)\frac{\alpha^2}2=E\qquad (18)

и привести его к виду уравнения гармонических колебаний

\omega^2+\frac g{2R}\alpha^2=\mathrm{const}.\qquad (19)

Из этого уравнения определяем период колебаний

T=2\pi\sqrt{2\frac Rg}.\qquad (20)

4.4 Расчет кинетической энергии в данном случае ничем не отличается от проведенного в предыдущем разделе 4.3, потому, что в указанном в подсказке положении мгновенным центром вращения является вершина полукольца. Поэтому можно воспользоваться формулой (16).

E^{\text{К}}=m\omega^2R^2\left(1-\frac2\pi\right).\qquad (21)

Полная схема мгновенныхскоростей прикачении: O/A/B,ω/Vi,Δmi,ri/R,φi/Δφi,hc,дуга и поверхность.

А для определения изменения потенциальной энергии можно воспользоваться соответствующей формулой (11) из пункта 4.2, потому, что в обоих случаях высота центра полукольца остается неизменной, поэтому

\Delta U=mgh_C\frac{\alpha^2}2=mgR\frac2\pi\frac{\alpha^2}2=mgR\frac{\alpha^2}\pi.\qquad (22)

Полная схема изменения высоты прикачении: O/A,hc,α,дуга,проволока,поверхность и размернаястрелка.

Дальнейший путь решения уже изъезжен нами. Записываем закон сохранения энергии

m\omega^2R^2\left(1-\frac2\pi\right)+mgR\frac{\alpha^2}\pi=E,\qquad (23)

приводим его к виду уравнения гармонических колебаний

\omega^2+\frac g{(\pi-2)R}\alpha^2=\mathrm{const},\qquad (24)

Записываем формулу для периода колебаний

T=2\pi\sqrt{(\pi-2)\frac Rg}.\qquad (25)

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf