Съдържание

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 7. 11 класс — 1. «Источник ЭДС»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

В данной задаче вам предстоит проанализировать различные зависимости и энергетические соотношения в цепях постоянного тока, содержащих источники ЭДС.

1.1 Рассмотрим цепь, содержащую источник ЭДС $\varepsilon$ с внутренним сопротивлением $r$ , подключенный к внешней цепи сопротивлением $R$ . Постройте зависимость силы тока в цепи $I(R)$ от внешнего сопротивления $R$ на приведенном шаблоне графика. Масштаб по оси ординат выберите самостоятельно, исходя из соображений удобства (это касается и следующих пунктов).

Полная исходная цепь одного источника: ЭДСε,внутреннееr,нагрузкаR и проводники.

Полный исходный шаблонI(R): всясетка,осьI,все метки0,r,2r,3r,4r,5r,осьR и стрелки.

1.2 Постройте на аналогичном шаблоне зависимость напряжения $U(R)$ на внешнем сопротивлении цепи от внешнего сопротивления цепи $R$ .

1.3 Постройте на аналогичном шаблоне зависимость мощности $P(R)$ , выделяемой на внешнем сопротивлении цепи (полезной мощности), от внешнего сопротивления цепи $R$ .

1.4 Постройте на аналогичном шаблоне зависимость КПД цепи $\eta(R)$ от внешнего сопротивления цепи $R$ .

2.1 На практике возникает необходимость соединять источники ЭДС различными способами для получения требуемой мощности.

Рассмотрим последовательное соединение $N$ одинаковых источников, ЭДС каждого из которых $\varepsilon$ , а внутреннее сопротивление $r$ . Определите полезную мощность $P(R)$ цепи, выделяемую на внешнем сопротивлении в данном случае.

Полная схемаNисточников последовательно: скобкаN,ε/r,R,все элементы и соединения.

2.2 Рассмотрим параллельное соединение $N$ одинаковых источников, ЭДС каждого из которых $\varepsilon$ , а внутреннее сопротивление $r$ . Определите полезную мощность $P(R)$ цепи в данном случае.

Полная схемаNисточников параллельно: скобкаN,ε/r,R,все элементы и соединения.

3.1 В общем случае источники ЭДС необязательно могут быть одинаковыми, хотя для практического использования лучше приобретать одинаковые батарейки.

Предположим, что Вы не обратили на это внимание и купили две различные батарейки, ЭДС которых $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ , а внутренние сопротивления $r_1$ и $r_2$ . Батарейки соединены параллельно. Найдите полезную мощность $P(R)$ цепи в данном случае.

Полная схема двухразных источников одинаковойполярности: ε1/r1,ε2/r2,R и все проводники.

3.2 Не исключено также (например, если Вы филолог …), что при подключении батареек была «перепутана» полярность, и они включены «навстречу» друг другу. Найдите полезную мощность $P(R)$ цепи в данном случае. При каком соотношении между ЭДС $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ , и внутренними сопротивлениями $r_1$ и $r_2$ полезная мощность в данном случае станет равна нулю $P(R)=0$ ?

Полная схема двухразных источников противоположнойполярности: ε1/r1,ε2/r2,R и все проводники.

Решение

1.1 Согласно закону Ома для полной цепи сила тока в цепи

I=\frac\varepsilon{R+r}.

В качестве максимального значения по оси ординат удобно выбрать ток короткого замыкания $I_0$ (максимальный ток при $R=0$ ) источника, который определяется только его параметрами

I_0=\frac\varepsilon r.

В этом случае при использовании безразмерных координат $(I/I_0)$ и $(R/r)$ зависимость силы тока в цепи $I(R)$ от внешнего сопротивления $R$ примет вид, представленный на графике 1.

График1 целиком: I/I0 отR/r,все точки/кривая,шкалы0–5/0–1,сетка,оси и заголовок.

1.2 Напряжение на внешнем сопротивлении найдем по закону Ома

U(R)=I\cdot R=\frac\varepsilon{R+r}R.

График полученной функции имеет вид, представленный на рисунке 2. Он начинается изначала координат и асимптотически приближается к значению, равному единице.

График2 целиком: U/ε отR/r,все точки/кривая,шкалы,сетка,оси и заголовок.

1.3 Мощность, выделяемую на внешнем сопротивлении, называемую также полезной мощностью, найдем согласно закону Джоуля-Ленца

P(R)=I^2\cdot R=\left(\frac\varepsilon{R+r}\right)^2R.

Для построения графика соответствующей зависимости удобно в качестве «единицы» измерения мощности выбрать величину

P_0=\frac{\varepsilon^2}r.

Полученный график приведен на рисунке 3.

График3 целиком: P/P0 отR/r,все точки/кривая,шкалы,сетка,оси и заголовок.

1.4 Согласно определению, коэффициент полезного действия цепи постоянного тока равен отношению полезной мощности (выделяемой на внешнем сопротивлении) к полной (выделяемой как на внешнем, так и на внутреннем сопротивлении)

\eta=\frac{I^2\cdot R}{I^2\cdot R+I^2\cdot r}=\frac R{R+r}.

При больших внешних сопротивлениях график 4 подобно графику 2 асимптотически стремится к единице.

График4 целиком: η отR/r,все точки/кривая,шкалы,сетка,оси и заголовок.

Интересно, что при достижении максимального значения КПД цепи полезная мощность стремится к нулю.

Соответственно, как следует из графика 3, максимум полезной мощности, достигаемый при выполнении условия $R=r$ , соответствует значению КПД $\eta=50\%$ .

2.1 При последовательном соединении источников их ЭДС и внутренние сопротивления суммируются, следовательно в этом случае

P(R)=I^2\cdot R=\left(\frac{N\varepsilon}{R+Nr}\right)^2R.

Подобное включение выгодно для повышения напряжения питания и увеличения полезной мощности устройства.

2.2 При параллельном соединении одинаковых источников ЭДС батареи не увеличивается, и по-прежнему равно ЭДС одного источника. Внутреннее сопротивление батареи рассчитывается по законам параллельного соединения

r'=\frac rN.

Таким образом, в этом случае

P(R)=I^2\cdot R=\left(\frac\varepsilon{R+r/N}\right)^2R.

Как видим, подобное соединение не приводит к увеличению напряжения питания, правда несколько уменьшает внутреннее сопротивление источника.

3.1 При параллельном соединении различных источников ЭДС следует записать закон Ома для каждого из контуров, образованного двумя источниками, через каждый из которых течет свой ток.

Далее несложно показать, что ЭДС эквивалентно источника в этом случае рассчитывается по формуле

\varepsilon=\frac{\varepsilon_1r_2+\varepsilon_2r_1}{r_1+r_2}.\qquad (1)

Внутреннее сопротивление источника в данном случае рассчитывается по законам параллельного сопротивления

r=\frac{r_1r_2}{r_1+r_2}.

Далее по стандартной схеме

P(R)=I^2\cdot R=\left(\frac\varepsilon{R+r}\right)^2R.

3.2 При перепутывании полярности следует взять знак «минус» в формуле (1) для вычисления ЭДС эквивалентного источника тока

\varepsilon=\frac{\varepsilon_1r_2-\varepsilon_2r_1}{r_1+r_2}.\qquad (2)

Соответственно, полезная мощность станет равной нулю при условии, что ЭДС эквивалентного источника станет равна нулю. В этом случае не будет тока во внешней цепи — он будет циркулировать только в контуре, образованном источниками.

Правила подсчета внутреннего сопротивления и полезной мощности аналогичны правилам предыдущего пункта

P(R)=I^2\cdot R=\left(\frac\varepsilon{R+r}\right)^2R.

Приравнивая (2) к нулю, получаем требуемое условие

\varepsilon=\frac{\varepsilon_1r_2-\varepsilon_2r_1}{r_1+r_2}=0\Rightarrow\frac{\varepsilon_1}{r_1}=\frac{\varepsilon_2}{r_2}.

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf