Съдържание

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 6. 10 класс — 3. «Вода и пар»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Напомним некоторые физические свойства воды:

молярная масса $M=18\cdot10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}$ ;
плотность $\rho=1{,}0\cdot10^3\,\text{кг}/\text{м}^3$ ; изменением плотности воды при изменении ее температуры можно пренебречь;
удельная теплоемкость в жидком состоянии можно считать постоянной и равной $c_0=4{,}2\cdot10^3\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ ;
удельная теплота испарения, строго говоря, зависит от температуры, но в данной задачей этой зависимостью также можно пренебречь и считать ее равной $L=2{,}3\cdot10^6\,\text{Дж}/\text{кг}$ ;
молярная теплоемкость водяного пара при постоянном объеме равна $c_{1m}=3R$ , где — универсальная газовая постоянная $R=8{,}31\,\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ ;
атмосферное давление считать постоянным и равным $P_0=1{,}0\cdot10^5\,\text{Па}$ ;
абсолютный нуль температуры $t_0=-273{,}15^\circ\text{C}$ ;
зависимость давления насыщенного водяного пара от температуры приведена в Таблице и представлена на графике (на отдельном листе).

Этим графиком вы можете пользоваться при решении задачи — проводить дополнительные построения. Не забудьте этот лист с вашими построениями вложить в рабочую тетрадь и сдать его в жюри!

1.1 Определите температуру кипения воды при внешнем давлении равном $p=1{,}27\cdot10^5\,\text{Па}$ .

1.2 В сосуде объемом $V=10\,\text{м}^3$ находится насыщенный водяной пар при температуре $t=70^\circ\text{C}$ . Чему равна масса этого пара?

1.3 В вертикальной трубе закрытой сверху и открытой снизу находится в равновесии столб воды, который доходит до верхнего края трубы. Какова может быть максимальная высота этого столба, если температура воды $t=80^\circ\text{C}$ ?

1.4 Найдите отношение удельных теплоемкостей водяного пара (при постоянном объеме) и воды в жидком состоянии.

1.5 Воду, находящуюся при температуре $t_0=20^\circ\text{C}$ необходимо превратить в пар при атмосферном давлении. Какая доля требуемой для этого теплоты пойдет на нагревание воды до температуры кипения?

1.6 В герметичном теплоизолированном сосуде объемом $V=1{,}0\,\text{м}^3$ находится насыщенный водяной пар при температуре $t_0=140^\circ\text{C}$ . В сосуд впрыскивают $m_1=10\,\text{г}$ холодной воды при температуре $t_1=10^\circ\text{C}$ . Какая температура установится в сосуде при достижении теплового равновесия?

Решение

1.1 Зависимость давления насыщенного пара от температуры является также зависимостью температуры кипения от внешнего давления. Поэтому для решения данного пункта задачи можно воспользоваться приведенной таблицей. Из таблицы следует, что искомая температура лежит в интервале от 100 до 110 градусов. Считая, что в этом интервале представленная зависимость линейна, находим

t_x=100^\circ+\frac{10^\circ}{P_{110}-P_{100}}(P_x-P_{100})\approx106{,}8^\circ\text{C}\approx107^\circ\text{C}.\qquad (1)

1.2 Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона

PV=\frac mMRT,

из которого найдем (давление пара определим по таблице)

m=\frac{MPV}{RT}=\frac{18\cdot10^{-3}\cdot31{,}16\cdot10^3\cdot10}{8{,}31\cdot(273{,}15+70)}\approx2{,}0\,\text{кг}.\qquad (2)

1.3 Столб воды разорвется, если давление в его верхней части станет равным давлению насыщенных паров при заданной температуре (при этом вода закипит). Отсюда следует

P_0-\rho gh=P_{\text{нас}}\Rightarrow h=\frac{P_0-P_{\text{нас}}}{\rho g}=\frac{1{,}0\cdot10^5-0{,}47\cdot10^5}{1{,}0\cdot10^3\cdot9{,}8}\approx5{,}4\,\text{м}.\qquad (3)

Заметим, что максимальная высота подъема холодной воды с помощью поршневого насоса примерно равна 10 м. Поэтому для подъема воды на большую высоту используют много ступенчатые насосные системы.

1.4 Отношение теплоемкостей равно

\frac{c_1}{c_0}=\frac{3R}{Mc_0}=\frac{3\cdot8{,}31}{18\cdot10^{-3}\cdot4{,}2\cdot10^3}\approx0{,}33.\qquad (4)

Теплоемкость пара всего в три раза меньше теплоемкости жидкой воды!

1.5 Искомая доля рассчитывается по хорошо известным формулам

\eta=\frac{c_0m\Delta t}{c_0m\Delta t+Lm}=\frac1{1+\frac L{c_0\Delta t}}\approx0{,}13.\qquad (5)

Столь малая доля объясняется чрезвычайно высокой удельной теплотой испарения воды.

1.6 В сосуде начнется конденсация пара, выделяющаяся при этом теплота пойдет на нагревание холодной воды. Главная проблема данной задачи заключается в том, что неизвестны ни конечная температура, ни масса сконденсировавшегося пара. Кроме того, зависимость давления насыщенного пара от температуры задана графически, что и заставляет искать графический способ решения задачи.

Запишем уравнение теплового баланса

L\Delta m+c_0\Delta m(t_0-t)=c_0m_1(t-t_1),\qquad (6)

здесь $\Delta m$ — масса сконденсировавшегося пара, $t$ — искомая конечная температура. Запишем также уравнение состояния для пара в начальном и конечном состоянии

P_0V=\frac mMRT_0;\qquad PV=\frac{m-\Delta m}MRT.\qquad (7)

Наконец, третьим уравнением является заданная графически зависимость давления (насыщенного пара) от температуры $P(T)$ .

Из уравнений (7) получим

P_0V=\frac mMRT_0\Rightarrow m=\frac{MP_0V}{RT_0};

\frac P{P_0}=\frac{m-\Delta m}m\frac T{T_0}=\frac T{T_0}-\frac{\Delta m}m\frac T{T_0}=\frac T{T_0}-\frac{\Delta mRT}{MP_0V}\Rightarrow P=P_0\frac T{T_0}-\frac{RT}{MV}\Delta m.

Массу сконденсировавшегося пара выразим из уравнения (6), в котором можно пренебречь теплотой, выделившейся при остывании сконденсировавшейся воды

\Delta m=\frac{c_0m_1(T-T_1)}L.

Подставляя это выражение в формулу для конечного давления, получим

P=P_0\frac T{T_0}-\frac{RT}{MV}\frac{c_0m_1(T-T_1)}L=\frac{P_0}{T_0}T-\frac{c_0m_1R}{MVL}T(T-T_1).\qquad (8)

Это уравнение допускает графическое решение — слева стоит функция, заданная графиком, справа — квадратичная функция от искомой температуры (правда в абсолютной шкале). График функции, стоящей справа следует построить на графике зависимости давления насыщенных паров от температуры.

Подставляя численные значения (давление измеряем в кПа), получаем довольно простую функцию, график которой построить не сложно.

P=0{,}875\cdot T-8{,}43\cdot10^{-3}\cdot T\cdot(T-T_1).\qquad (9)

Результат построения показан на рисунке. Точка пересечения (конечная температура) $t=90^\circ\text{C}$ .

Полный исходный график финального тепловогоравновесия: обе кривые,все точки/шкалы40–160и0–500,сетка и рамки.

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf