Съдържание

Условие Часть 1. Удар.Часть 2. Движение гвоздя в доске.Решение

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 5. 10 класс — 2. «Гвоздь»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть и проанализировать физические процессы, происходящие при забивании гвоздя. В первой части задачи Вам предстоит описать взаимодействие гвоздя с молотком, а во второй — движение гвоздя в доске после удара.

Часть 1. Удар.

Молоток массой $M$ , движущийся со скоростью $v_0$ ударяет по гвоздю с массой $m$ . Время взаимодействия молотка и гвоздя очень мало. Удар абсолютно упругий.

1.1 Определите скорость гвоздя $u$ сразу после удара. Выразите эту скорость через $v_0$ и отношение масс гвоздя и молотка $\gamma=m/M$ .

1.2 Какой будет скорость гвоздя если его масса очень мала по сравнению с массой молотка ( $m\ll M$ ).

1.3 Определите коэффициент передачи энергии $\eta$ , равный отношению кинетической энергии гвоздя после удара к кинетической энергии молотка до удара. Выразите этот коэффициент через $\gamma=m/M$ .

Часть 2. Движение гвоздя в доске.

При движении гвоздя в доске на него действует значительная сила трения, поэтому силой тяжести, ввиду ее относительной малости, можно пренебречь. Очевидно, что сила трения действует на всю поверхность гвоздя, находящуюся внутри доски. Однако существует определенное различие в природе силы трения, действующей на боковую поверхность гвоздя и на его острие.

Сила, действующая на боковую поверхность, пропорциональна площади поверхности, погруженной в доску, а значит, и длине вбитой части гвоздя (см. рис. 1). Другими словами, $F_{\text{БОК}}=kx$ , где $k$ — некоторая постоянная величина (далее считайте ее известной), а $x$ — длина вбитой части.

Полная схема гвоздя в доске: силыFБОК=kx,FОСТР=f,глубинаx,все стрелки,поверхность и острие.

С другой стороны, если доска однородная, то сила, действующая на острие, не должна изменяться. Т.е. можно принять, что $F_{\text{ОСТР}}=f$ — известная далее величина.

Пусть перед ударом гвоздь был вбит на глубину $x$ (размерами острия можно пренебречь). После удара гвоздь получил кинетическую энергию $E$ и «вошел» в доску на величину $\Delta x$ .

2.1 Выразите $\Delta x$ через начальные параметры $E$ и $x$ , а также через $k$ и $f$ .

2.2 Пусть длина гвоздя равна $l$ . Определите, какую энергию $E_1$ нужно передать гвоздю, чтобы вбить его с одного удара.

2.3 Рассмотрите крайние случаи, когда одна из сил трения значительно меньше другой. Пусть $F_{\text{БОК}}\ll F_{\text{ОСТР}}$ . Определите количество ударов $N_1$ , за которое гвоздь полностью «войдет» в доску, если при каждом ударе он получает кинетическую энергию $E$ .

2.4 Пусть $F_{\text{БОК}}\gg F_{\text{ОСТР}}$ и по-прежнему при каждом ударе гвоздь получает кинетическую энергию $E$ . Покажите, что квадраты величин вбитой части до удара и после него связаны следующим соотношением: $x_{n+1}^2=x_n^2+\varepsilon$ . Выразите $\varepsilon$ через $E$ и $k$ . Определите также, за какое количество ударов $N_2$ можно вбить гвоздь в этом случае.

Решение

Часть 1.

1.1 Запишем закон сохранения энергии и импульса:

\begin{cases}Mv_0=Mv+mu,\\\frac{Mv_0^2}2=\frac{Mv^2}2+\frac{mu^2}2.\end{cases}\qquad (1)

Решая систему, получим:

u=\frac{2v_0}{\frac mM+1}=\frac{2v_0}{\gamma+1}.\qquad (2)

1.2 При $m\ll M$ , $\gamma\to0$ , поэтому:

u=2v_0.\qquad (3)

1.3 Коэффициент передачи энергии:

\eta=\frac{mu^2/2}{Mv_0^2/2}=\gamma\frac{u^2}{v_0^2}.\qquad (4)

Подставляя значение скорости (2), получим:

\eta=4\frac\gamma{(\gamma+1)^2}.\qquad (5)

Часть 2.

2.1 Вся полученная гвоздем кинетическая энергия расходуется на совершение работы против сил трения (изменением потенциальной энергии можно пренебречь). Работа силы трения, действующей на острие гвоздя, равна:

A_{\text{ОСТР}}=f\Delta x.\qquad (6)

Работа силы трения, действующей на боковую поверхность, равна:

A_{\text{БОК}}=k\frac{(x+\Delta x)^2}2-k\frac{x^2}2.\qquad (7)

Следовательно:

E=f\Delta x+k\frac{(x+\Delta x)^2}2-k\frac{x^2}2.\qquad (8)

Решая это уравнение относительно $\Delta x$ , получим:

\Delta x=-\left(x+\frac fk\right)+\sqrt{\left(x+\frac fk\right)^2+\frac{2E}k}.\qquad (9)

Отрицательный корень физического смысла не имеет.

2.2 Для определения энергии $E_1$ подставим в выражение (9) $x=0$ и $\Delta x=l$ .

l=-\frac fk+\sqrt{\left(\frac fk\right)^2+\frac{2E_1}k}.\qquad (10)

Решением уравнения является:

E_1=\frac{kl^2}2+fl.\qquad (11)

2.3 Ели $F_{\text{БОК}}\ll F_{\text{ОСТР}}$ , то глубина погружения после удара будет определяться силами, действующими на острие:

\Delta x=\frac Ef.\qquad (12)

Число ударов, очевидно, равно:

N_1=\frac{lf}E.\qquad (13)

2.4 Если, $F_{\text{БОК}}\gg F_{\text{ОСТР}}$ , то отношением $f/k$ в выражении (9) можно пренебречь, и тогда:

\Delta x=-x+\sqrt{x^2+\frac{2E}k}.\qquad (14)

Величина погружения после $(n+1)$ -го удара равна:

x_{n+1}=x_n+\Delta x=x_n+\left(-x_n+\sqrt{x_n^2+\frac{2E}k}\right)=\sqrt{x_n^2+\frac{2E}k}.\qquad (15)

Или

x_{n+1}^2=x_n^2+\frac{2E}k.\qquad (16)

Таким образом:

\varepsilon=\frac{2E}k.\qquad (17)

Квадраты глубин погружения гвоздя образуют арифметическую прогрессию:

x_0^2=0,\quad x_1^2=\frac{2E}k,\quad x_2^2=\frac{4E}k,\quad x_3^2=\frac{6E}k,\ldots,\quad x_n^2=n\frac{2E}k.

Для вбивания гвоздя нужно совершить число $N$ ударов, которое находится из условия:

l^2=N_2\frac{2E}k,\qquad (18)

откуда

N_2=\frac{kl^2}{2E}.\qquad (19)

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf