Съдържание

BelPhO 2010, Областен етап, 9–11 клас — Задача 8. Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера? Часть 2. Изогнутая линейка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (III этап). Экспериментальный тур

Экспериментальный тур

УТВЕРЖДЕНО

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь

_________________ К.С. Фарино

«___» декабря 2009 года

Полный комплект состоит из одного большого заданий, на выполнение которого отводится пять часов.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика.
Все графики рекомендуем строить на отдельных кусках миллиметровой бумаги, которые прикрепите к тетради с помощью стиплера.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Часть 2. Изогнутая линейка.

В данной части задания вам необходимо исследовать колебания изогнутой пластмассовой линейки. Линейку согните и закрепите с помощью полоски скотча (или нитки, как вам удобнее).

Изогнутая дугой линейка (подпись «линейка»), концы которой стянуты полоской (подпись «скотч, или нитка»); стрелкой показано расстояние L между краями.

Расстояние между краями линейки $L$ не должно быть меньше 30 см, иначе линейка может сломаться, а новой могут и не дать!

Настоятельно рекомендуем сделать нужный изгиб линейки и провести все необходимые измерения при сделанном изгибе, а затем изменять изгиб. Возможно, что второй раз линейка изогнется чуть по другому!

Ненужное теоретическое введение (для любопытных).

Кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета и при переходе от одной к другой инерциальной системе отсчета изменяется.

Твердое тело произвольной формы с центром масс C, вектором скорости центра масс V_C и круговой стрелкой угловой скорости ω.

В системе отсчета, в которой центр масс твердого тела покоится, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг фиксированной оси может быть представлена в виде

E_C = \frac{J_0\omega^2}{2},

где $\omega = \dfrac{\Delta\alpha}{\Delta t}$ - угловая скорость вращения тела, $J_0$ - постоянный коэффициент, зависящий от массы, размеров и формы тела. Эта характеристика тела называется его моментом инерции, часто его представляют в виде $J_0 = mb^2$ , где $b$ - некоторая постоянная, имеющая размерность длины, часто ее называют радиус инерции.

При плоскопараллельном движении твердого тела (когда ось вращения не изменяет своего направления в пространстве). кинетическая энергия такого движения может быть представлена в виде

E = E_C + \frac{mV_c^2}{2},

где $E_C$ - кинетическая энергия в системе отсчета, связанной с центром масс тела (энергия вращательного движения); $V_C$ - скорость центра масс тела (второе слагаемое – кинетическая энергия поступательного движения). Эти идеи используются при выводе приведенных ниже формул (вам их выводить не надо).

Изогнутая линейка с обозначениями: L — расстояние между краями; O — середина скотча; C — центр масс; A — середина линейки; h — расстояние от O до C; a — расстояние от C до A.

В своей работе используйте следующие обозначения:

$C$ - центр масс линейки;

$A$ - середина линейки (вершина);

$O$ - середина скотча (центр);

$h$ - расстояние от центра скотча до центра масс;

$a$ - расстояние от центра масс до середины линейки;

$L$ - расстояние между краями изогнутой линейки.

Вам будет необходимо исследовать три типа колебаний:

Колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр скотча $O$ (в прямом подвесе).

Тип 1: изогнутая линейка в прямом подвесе на упоре в точке O (подпись «упор»), двойная стрелка показывает колебания.

Период этих колебаний определяется формулой

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{b^2 + h^2}{gh}} \qquad (4)

Колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр линейки $A$ (в перевернутом подвесе).

Тип 2: изогнутая линейка в перевернутом подвесе на упоре в точке A (подпись «упор»), двойная стрелка показывает колебания.

Период этих колебаний определяется формулой

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{b^2 + a^2}{ga}} \qquad (5)

Качания на столе.

Следите, чтобы не было проскальзывания, на скользкий стол можете положить, что-нибудь шероховатое (например лист бумаги)!

Тип 3: изогнутая линейка качается на столе (подпись «стол»), касаясь его точкой A; двойная стрелка показывает качание.

Период этих колебаний определяется формулой

T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{b^2 + h^2}{g(R - a)}} \qquad (6)

Здесь $R$ - радиус кривизны нижней части линейки.

В формулах (4)-(6) параметр $b$ один и тот же, но он может изменяться при изменении изгиба линейки.

Наконец задания:

Старайтесь проводить все измерения тщательно и аккуратно, для получения хороших результатов (и баллов) нужна достаточно высокая точность!

2.1 Измерьте зависимость положения центра масс линейки $h$ и $a$ от величины $L$ . Методику измерения положения центра масс предложите самостоятельно, кратко опишите ее. Постройте график зависимости $h(L)$ .

2.2 Измерьте зависимости периодов трех типов колебаний от расстояния между концами линейки $L$ . Постройте графики полученных зависимостей.

2.3 На основании измеренных данных, проверьте, согласуются ли формулы для периодов колебаний (4)-(5). Свой ответ обоснуйте расчетами, графиками.

2.4 Предположим, что параметр $b$ не изменяется при изменении изгиба линейки. Используя результаты эксперимента проверьте данное предположение. Укажите диапазон изменения величины $L$ , в котором ваши экспериментальные данные позволяют считать $b$ постоянным. Определите ее значение с максимально возможной точностью.

2.5 Считая величину $b$ постоянной и известной (равной рассчитанной вами), проверьте еще раз согласование формул (4)-(5). Предложите такую линеаризацию зависимости периодов, чтобы их графики совпадали. Постройте эти графики.

2.6 Постройте график зависимости радиуса кривизны нижней части линейки от величины $L$ , используя свои экспериментальные данные.

Считая, что форма изогнутой линейки является дугой окружности, рассчитайте зависимость радиуса этой дуги от величины $L$ . Сравните эту зависимость с полученной вами экспериментально. Укажите диапазон изменения $L$ , в котором форму изогнутой линейки можно считать дугой окружности.

2.7 Для одного значения $L$ (выберите его самостоятельно) постройте на миллиметровой бумаге профиль изогнутой линейки и с помощью геометрических построений определите его радиус кривизны в нижней точке. Сравните полученный результат с результатом, найденным из измерений периодов различных колебаний.

Последнее. Для облегчения задания во второй части работы рассчитайте погрешности измерения периода колебаний и определения параметров $h$ и $a$ только для одного изгиба и одного типа колебания. Полученные оценки погрешностей используйте при необходимости для всех остальных измерений.

Решение

Часть 2.

2.1 – 2.2 Для измерения положения центра масс можно подвесить линейку (со скотчем) за один из ее концов и рядом отвес. На самой линейке засечь точку пересечения $x$ . После этого на листе бумаги зарисовать линейку, провести линию отвеса (через конец линейки и точку пересечения отвесом) и ось симметрии изогнутой линейки. Точка пересечения этих прямых и будет центром масс. Затем необходимо измерить требуемые геометрические величины $a$ , $h$ .

Периоды всех типов колебаний измеряются стандартно.

Изогнутая линейка, подвешенная за один конец, и отвес из той же точки подвеса (подписи «отвес», «линейка»); отмечены расстояния h и a до центра масс.

Результаты измерений (среднее значения периодов рассчитаны по 3 измерениям) представлены в Таблице 4 и на Графике 1.

Таблица 4. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

L, см	a, см	h, см	$\langle T2\rangle$ , с	$\langle T1\rangle$ , с	$\langle T3\rangle$ , с	$(b^2)_1$ , см $^2$	$(b^2)_2$ , см $^2$
39	3,6	1,5	1,747	1,176	0,425	111,5	108,6
38	4,7	2,1	1,536	1,087	0,493	116,7	116,8
37	5,0	2,7	1,402	1,031	0,540	107,9	123,1
36	5,7	2,9	1,333	1,008	0,587	112,2	118,5
35	6,3	3,2	1,270	0,984	0,624	112,8	117,1
34	6,7	3,4	1,208	0,961	0,676	109,8	111,1
33	6,7	4,0	1,171	0,946	0,706	104,9	119,9
32	7,0	4,3	1,124	0,928	0,745	101,7	116,3
31	7,5	4,4	1,097	0,912	0,802	99,5	111,9
30	7,5	4,8	1,065	0,904	0,871	97,0	112,2

Зависимости периодов T, с (0–2,0) от L, см (29–40) для трех типов колебаний: кривые T₂ (верхняя, растет до 1,75 с), T₁ (средняя) и T₃ (нижняя, убывает). — График 1. Зависимости периодов колебаний от изгиба линейки.

2.3 Для проверки согласования формул (4) – (5) выразим из них значения параметра $b^2$ :

(b^2)_1 = \frac{gh}{4\pi^2}T_1^2 - h^2

(b^2)_2 = \frac{ga}{4\pi^2}T_1^2 - a^2. \qquad (4)

Результаты расчетов этих параметров для различных значений изгибов линейки представлены в последних столбцах Таблицы 4 и на Графике 2.

Значения (b²)₁ и (b²)₂, см² (0–140) в зависимости от L, см (29–40): две ломаные около 100–120 см². — График 2. Зависимости параметров $(b^2)_1, (b^2)_2$ от изгиба линейки.

Погрешность измерения периода составляет величину порядка $2\%$ , погрешность измерения положения центра масс - порядка $10\%$ , поэтому погрешность определения данных параметров составляет не менее $10\%$ . Следовательно, можно говорить о том, что рассчитанные значения данных параметров соответствуют друг другу в пределах погрешности измерений.

Если считать параметр $b^2$ постоянным, то его значение следует взять равным среднему арифметическому из всех рассчитанных значений с погрешностью равной примерно $10\%$ .

Расчет этой величины приводит к значениям

\langle b^2\rangle = (110 \pm 10)\ \text{см}^2

\langle b\rangle = (10{,}5 \pm 0{,}5)\ \text{см}.

Таким образом, можно считать, что значения параметра $b^2$ могут лежать в интервале $[100, 120]\ \text{см}^2$ и при этом в пределах погрешности его можно считать постоянным $^{6}$ .

Линеаризация зависимостей может быть проведена различными способами. С нашей точки зрения наиболее эстетично выглядит «симметричная»:

T_1^2 = \frac{4\pi^2 b}{g}\left(\frac{b}{h} + \frac{h}{b}\right)

T_2^2 = \frac{4\pi^2 a}{g}\left(\frac{a}{h} + \frac{h}{a}\right) \qquad (5)

$^{6}$ В качестве допустимого разброса значений этого параметра также можно взять стандартное отклонение, рассчитанное по всем значениям данного параметра. По приведенным данным оно равно $\sigma_b \approx 6\ \text{см}$ , что примерно совпадает с полученной выше оценкой разброса.

Таблица 5. Линеаризация зависимостей периодов от деформации.

$z_1 = \left(\frac{b}{h} + \frac{h}{b}\right)$	$T_1^2$ , $c^2$	$z_2 = \left(\frac{a}{h} + \frac{h}{a}\right)$	$T_2^2$ , $c^2$
3,260	1,383	7,379	3,053
2,682	1,182	5,317	2,360
2,576	1,063	4,215	1,965
2,385	1,015	3,956	1,777
2,267	0,968	3,633	1,613
2,205	0,924	3,453	1,460
2,205	0,894	3,034	1,372
2,167	0,861	2,875	1,264
2,114	0,831	2,828	1,203
2,114	0,817	2,663	1,135

Построим графики зависимостей квадратов периодов $T_1^2, T_2^2$ от соответствующего аргумента $z_1, z_2$ (График 3)

Зависимости T₁², T₂², с² (0–2,6) от z₁, z₂ (2,0–5,6): точки двух серий (ромбы — 1, кружки — 2) ложатся на общую штрихпунктирную прямую. — График 3. Линеаризация зависимостей.

Из графиков линеаризованных зависимостей хорошо видно, полученные зависимости, во-первых, линейны; во-вторых, описываются одной функцией (в пределах погрешности):

T^2 = a\,z + c,

где

для первого типа колебаний

a = (0{,}49 \pm 0{,}06)c^2;\quad b = (-0{,}17 \pm 0{,}14)c^2

для второго типа колебаний

a = (0{,}47 \pm 0{,}03)c^2;\quad b = (-0{,}09 \pm 0{,}12)c^2

Таким образом, можно считать, что в пределах погрешностей измерений приведенные формулы правильно описывают экспериментальные данные по зависимостям периодов колебаний первого и второго типа от деформации линейки.

2.6 Из формул (4), (6) следует, что отношение квадратов периодов соответствующих колебаний равно

\frac{T_1^2}{T_3^2} = \frac{R - a}{h}, \qquad (6)

что позволяет рассчитать радиус кривизны изгиба линейки по формуле

R = a + h\frac{T_1^2}{T_3^2}. \qquad (7)

Геометрия дуги окружности радиуса R с центром O: хорда AB длиной L/2 до середины, дуга l/2 от A до нижней точки C, угол φ при O.

Результаты расчетов приведены в Таблице 6.

Получим уравнение для расчета радиуса кривизны по измерению расстояния между концами линейки. Из рисунка следует, что угол дуги линейки (в предположении, что это дуга окружности) может быть представлен в виде:

из длины дуги $AC$ : $\varphi = \dfrac{l}{2R}$ ; (где $l = 41{,}7\ \text{см}$ - длина линейки);

из треугольника $OAB$ : $\sin\varphi = \dfrac{L}{2R}$ ,

Разделив эти уравнения друг на друга, получим уравнение для определения угла $\varphi$ :

\varphi = \frac{l}{L}\sin\varphi.

Решить это уравнение можно численно (причем это решение требует достаточно громоздких расчетов). Найдя угол $\varphi$ , можно рассчитать искомое значение радиуса кривизны $R = \dfrac{l}{2\varphi}$ .

В Таблице 6 и на графике 4 показаны результаты расчетов радиуса кривизны по измеренным периодам колебаний ( $R'$ ) и по измерению расстояния между концами изогнутой линейки ( $R''$ )

Таблица 6.

Зависимости радиуса кривизны R, см (10–34) от L, см (29–40): кривые R′ (по периодам) и R″ (по расстоянию между концами), обе растут с L. — График 4. Зависимость радиуса кривизны линейки от величины изгиба.

$L$ , см	$R'$ , см	$R''$ , см
39	28,15	33,1
38	24,58	28,2
37	22,83	24,9
36	20,40	22,5
35	19,35	20,7
34	17,40	19,2
33	17,57	18,0
32	16,68	17,0
31	15,64	16,1
30	14,60	15,3

Полученные результаты свидетельствуют, что данные, полученные двумя способами близки друг к другу, причем результаты ближе друг другу при больших изгибах (т.е. при меньших $L$ ). В нашем случае изогнутую линейку можно считать дугой окружности при $L < 34\ \text{см}$ .

Радиус кривизны можно также приближенно найти геометрическими построениями. Для этого к профилю линейки необходимо построить две касательных в точках $C$ и $C'$ (близкие к середине линейки) - $AB$ и $A'B'$ , восстановить к ним перпендикуляры. Точка их пересечения будет являться центром кривизны. Такие построения для $L = 35\ \text{см}$ дали результат $R \approx 20\ \text{см}$ , что хорошо согласуется с рассчитанными данными.

Геометрическое построение центра кривизны O: профиль изогнутой линейки, касательные AB и A′B′ в точках C и C′ и перпендикуляры к ним, пересекающиеся в точке O.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_experimental_solutions.pdf