Съдържание

BelPhO 2010, Областен етап, 9–11 клас — Задача 7. Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера? Часть 1. Полукольцо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (III этап). Экспериментальный тур

Экспериментальный тур

УТВЕРЖДЕНО

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь

_________________ К.С. Фарино

«___» декабря 2009 года

Полный комплект состоит из одного большого заданий, на выполнение которого отводится пять часов.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика.
Все графики рекомендуем строить на отдельных кусках миллиметровой бумаги, которые прикрепите к тетради с помощью стиплера.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

11 класс.

Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера?

Теория предсказывает как должно быть, а эксперимент показывает как оно есть на самом деле.

Во время теоретического тура вы должны были решить задачу о расчете периодов колебаний полукольца. Сегодня вам предстоит проверить экспериментально полученные формулы. А затем исследовать более сложную колебательную систему, форма которой не известно как описывается теоретически.

Приборы и оборудование.

Пластиковое полукольцо.
Линейка гибкая пластмассовая (40 см)
Скотч узкий.
Штатив с лапкой и зажимом
Секундомер
Лезвие для бритья
Нитка с грузиком для изготовления отвеса
Нитки.
Лист миллиметровой бумаги формата А3.

Лезвие используйте в качестве упора при изучении колебаний, закрепив его в лапке штатива. Будьте осторожны!

Лист миллиметровой бумаги можете использовать для измерения длин (если у вас нет своей линейки), кроме того, рекомендуем на нем проводить необходимые построения, если вы считаете необходимым то этот лист с подписанными построениями следует сдать в жюри, возможно, что ваш труд будет оценен!

Часть 1. Полукольцо.

Края полукольца скрепите полоской скотча.

1.1 Определите экспериментально положение центра масс кольца. Не забудьте кратко описать методику проведения эксперимента.

1.2 Подвесьте полукольцо за середину скотча (центр полукольца). Измерьте с максимальной точностью период колебаний.

Полукольцо, подвешенное за середину скотча — точку O (центр полукольца); через O проведена вертикаль, изогнутая стрелка показывает колебания.

Сравните полученные результат с теоретической формулой.

Напоминаем, формула для периода таких колебаний имеет вид

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{\pi}{2}\frac{R}{g}}. \qquad (1)

1.2 Подвесьте кольцо за вершину полукольца. Измерьте с максимальной точностью период колебаний.

Сравните полученные результат с теоретической формулой.

Полукольцо, подвешенное за вершину A (выпуклостью вверх); изогнутая стрелка показывает колебания.

Напоминаем, формула для периода таких колебаний имеет вид

T_2 = 2\pi\sqrt{2\frac{R}{g}} \qquad (2)

1.3 Поставьте полукольцо на горизонтальную поверхность. Измерьте с максимальной точностью период «качательных» колебаний. Проследите, чтобы во время движения не было проскальзывания по столу.

Полукольцо, качающееся на горизонтальной поверхности: концы A и B, центр O, изогнутые стрелки у концов показывают направление качания.

Сравните полученные результат с теоретической формулой.

Напоминаем, формула для периода таких колебаний имеет вид

T_3 = 2\pi\sqrt{(\pi - 2)\frac{R}{g}}. \qquad (3)

1.4 Сделайте вид, что вам неизвестны ни радиус полукольца, ни ускорение свободного падения (число $\pi$ считайте известным). В этом случае для проверки формул, можно найти отношение периодов различных типов колебаний.

Используя результаты измерений рассчитайте отношения периодов трех типов колебаний. Сравните полученные значения с теоретическими предсказаниями.

Решение

11 класс.

Как измерить радиус кривизны с помощью секундомера?

1.1-1.3 Для расчета периода колебаний необходимо измерить диаметр полукольца. Так как полукольцо имеет некоторую толщину, то измерим как внешний $D_1$ , так и его внутренний $D_2$ диаметры:

D_1 = (109 \pm 1)\ \text{мм}

D_2 = (101 \pm 1)\ \text{мм}.

В данном случае основная погрешность есть приборная, в качестве которой взята цена деления линейки.

Рассчитаем значения периодов колебаний по приведенным формулам (заменив в них радиус на диаметр):

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{\pi}{4}\frac{D_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\pi}{4}\frac{109\cdot 10^{-3}}{9{,}81}} \approx 0{,}587\,c;\quad \Delta T_1 = \frac{1}{2}T_1\frac{\Delta D_1}{D_1} = \frac{1}{2}0{,}587\frac{1}{109} \approx 0{,}003c

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{D_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{109\cdot 10^{-3}}{9{,}81}} \approx 0{,}662\,c;\quad \Delta T_2 = \frac{1}{2}T_2\frac{\Delta D_1}{D_1} = \frac{1}{2}0{,}662\frac{1}{109} \approx 0{,}003c

T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{\pi - 2}{2}\frac{D_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\pi - 2}{2}\frac{109\cdot 10^{-3}}{9{,}81}} \approx 0{,}500\,c;\quad \Delta T_3 = \frac{1}{2}T_3\frac{\Delta D_1}{D_1} = \frac{1}{2}0{,}500\frac{1}{109} \approx 0{,}003c

Для повышения точности измерения и оценки случайных погрешностей проведем несколько (у нас 5) измерений времен 15 колебаний. Предварительный эксперимент показывает, что большее число колебаний измерить сложно из-за их затухания. Результаты измерений и их обработки приведены в Таблице 1. Случайная погрешность измерения времени рассчитывалась по формуле $^{4}$

\Delta t = 3\sqrt{\frac{\sum_i (t_1 - \langle t\rangle)^2}{N(N-1)}}. \qquad (1)

где $N$ - число измерений.

Погрешность измерения периода равна $\Delta T = \dfrac{\Delta t}{n}$ , где $n = 15$ - число колебаний в одном измерении.

Таблица 1. Результаты измерений и их обработки.

	Колебания 1	Колебания 2	Колебания 3
Время 15 колебаний	8,83	10,24	7,72
	8,94	10,25	7,74
	8,91	10,20	7,67
	8,85	10,28	7,72
	8,96	10,28	7,75
Среднее время 15 колебаний	8,883	10,243	7,713
Среднее значение периода	0,593	0,683	0,515
Погрешность измерения времени	0,076	0,044	0,041
Погрешность измерения периода	0,0050	0,0030	0,0028

Для наглядного сравнения результатов расчетов и измерений сведем их в одну таблицу 2.

$^{4}$ Не следует строго следовать приведенному расчету погрешностей. Допустим и упрощенный вариант, по среднему модулю отклонения.

Таблица 2. Результаты расчетов и измерений.

	Колебания 1	Колебания 2	Колебания 3
Расчет	$(0{,}583 \pm 0{,}03)c$	$(0{,}662 \pm 0{,}03)c$	$(0{,}500 \pm 0{,}03)c$
Измерения	$(0{,}593 \pm 0{,}05)c$	$(0{,}683 \pm 0{,}03)c$	$(0{,}515 \pm 0{,}03)c$

Как видно из Таблицы 2 наблюдается неплохое соответствие между теоретическими и экспериментальными значениями. Небольшие расхождения в случае колебаний 1 и 3 типов, скорее всего, обусловлены неучтенной в расчетах толщиной полукольца.

Это предположение подтверждает заметное расхождение (явно выходящее за пределы погрешности) для колебаний 2 типа. В этом случае можно уточнить теоретическую формулу. В формулах для периода колебаний (ссылаемся на решение задачи теоретического тура) в знаменателе стоит величина равная расстоянию от оси вращения до центра масс, поэтому формула (2) из условия задачи может быть уточнена:

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{D_1}{g}\cdot\frac{D_1}{D_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{109\cdot 10^{-3}}{9{,}81}\cdot\frac{109}{101}} \approx 0{,}688\,c. \qquad (2)

При таком уточнении мы получаем лучшее соответствие с экспериментальными данными.

1.4 Рассчитаем отношения периодов колебаний. Погрешность измерения отношения периодов рассчитывается по формуле $^{5}$

\Delta\left(\frac{T_1}{T_2}\right) = \frac{T_1}{T_2}\sqrt{\left(\frac{\Delta T_1}{T_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta T_2}{T_2}\right)^2} \qquad (3)

Теоретическое отношение периодов может быть рассчитано «без погрешностей». Результаты расчетов также представим в Таблице 3.

Таблица 3. Отношение периодов.

	$\dfrac{T_1}{T_2}$	$\dfrac{T_1}{T_3}$	$\dfrac{T_2}{T_3}$
Теоретическое	$\dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{\dfrac{\pi}{4}} = 0{,}8862$	$\dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{\dfrac{\pi}{2(\pi - 2)}} = 1{,}173$	$\dfrac{T_1}{T_2} = \sqrt{\dfrac{2}{(\pi - 2)}} = 1{,}324$
Экспериментальное	$0{,}868 \pm 0{,}011$	$1{,}151 \pm 0{,}011$	$1{,}326 \pm 0{,}010$

Со всеми ранее сделанными оговорками можно говорить о соответствии результатов расчетов и измерений.

$^{5}$ Допустим и упрощенный метод расчета $\Delta\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right) = \dfrac{T_1}{T_2}\left(\left|\dfrac{\Delta T_1}{T_1}\right| + \left|\dfrac{\Delta T_2}{T_2}\right|\right)$

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_experimental_solutions.pdf