Съдържание

BelPhO 2010, Областен етап, 9–11 клас — Задача 6. Трение и сопротивление. Часть 4. Спица в поролоне

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (III этап). Экспериментальный тур

Экспериментальный тур

УТВЕРЖДЕНО

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь

_________________ К.С. Фарино

«___» декабря 2009 года

Полный комплект состоит из одного большого заданий, на выполнение которого отводится пять часов.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика.
Все графики рекомендуем строить на отдельных кусках миллиметровой бумаги, которые прикрепите к тетради с помощью стиплера.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Часть 4. Спица в поролоне.

Кусок поролона (подпись «поролон») с воткнутыми сверху гвоздями (подпись «гвозди»); снизу из поролона выходит длинная спица (подпись «спица»); стрелка вниз с подписью «на пол».

1. Исследуйте зависимость движения спицы в поролоне, когда она не протыкает кусок, а полностью находится внутри. Для этого рекомендуем воткнуть спицу в поролон (вдоль длинной стороны) утяжелить кусок поролона несколькими гвоздиками. Затем следует бросать спицу вертикально, так чтобы кусок поролона был сверху и в момент удара о пол натыкался на спицу.

Измерьте зависимость глубины погружения спицы от числа ударов (бросайте с одной и той же высоты!) Постройте график полученной зависимости.

2. Постройте теоретическую модель движения палочки в поролоне. Докажите ее применимость в рассматриваемом случае.

Решение

Часть 4. Спица в поролоне.

Результаты измерения зависимости глубины проникновения спицы в поролон $x$ от числа ударов (об пол) $n$ приведены в Таблице 4 и на графике 6.

Таблица 4.

$n$	$x$ , мм	$x^2$ , см $^2$	$\xi$	$Z$
0	40	16,00
5	48	23,04	2,20	25,00
10	56	31,36	2,40	25,00
15	61	37,21	2,53	28,57
20	68	46,24	2,70	28,57
25	74	54,76	2,85	29,41
30	80	64,00	3,00	30,00
35	86	73,96	3,15	30,43

Зависимость глубины x, мм (30–90) от числа ударов n (0–40): точки и плавная возрастающая кривая от 40 до 86 мм. — График 6.

Зависимость не линейна, что опять свидетельствует о заметном влиянии силы трения на боковой поверхности на движение спицы.

В ходе проникновения спицы в поролон она должна разрывать материал, поэтому также должна сказываться сила, действующая на острие. Последнюю разумно считать постоянной (вспомните теоретическую задачу!).

При наличии двух сил, постоянной $f$ (на острие) и пропорциональной глубине проникновения $F_{\text{тр.}} = kx$ , работа по преодолению этих сил равна

A = \frac{k(x^2 - x_0^2)}{2} + f(x - x_0).

Эта работа равна суммарной энергии, полученной спицей за все удары. Поэтому уравнение для определения зависимости глубины погружения от числа ударов имеет вид

\frac{k(x^2 - x_0^2)}{2} + f(x - x_0) = En. \qquad (8)

Проверить данное соотношение достаточно сложно при малом числе экспериментальных данных.

Очень интересным является следующее преобразование $^{3}$ . Разделим уравнение (8) на $(x - x_0)$ и преобразуем его к виду

\frac{x_0}{(x - x_0)}n = \frac{kx_0^2}{2E}\left(\frac{(x + x_0)}{x_0} + 2\frac{f}{kx_0}\right) \qquad (9)

Построим зависимость между безразмерными величинами $Z = \dfrac{x_0}{(x - x_0)}n$ и $\xi = \dfrac{(x + x_0)}{x_0}$ .

Если исходные предположения модели о характере действующих сил верны, то указанная зависимость линейна

Z = A\xi + B.

Причем параметры этой зависимости имеют явный физический смысл:

параметр $A = \dfrac{kx_0^2}{2E}$ - равен отношению энергии, необходимой чтобы совершить работу против сил бокового трения при погружении на начальную глубину $x_0$ ;
значение $\xi^* = -\dfrac{B}{A} = 2\dfrac{f}{kx_0}$ (при котором $Z$ обращается в нуль) равно отношению силы лобового сопротивления к величине силы бокового трения при погружении на половину начальной глубины.

Зависимость Z (24–32) от ξ (2,0–3,2): точки и аппроксимирующая прямая; две выпадающие точки отмечены иначе. — График 7.

В таблице 4 приведены результаты расчетов величин $(\xi, Z)$ , а на графике 7 построена зависимость между ними.

Конечно, трудно назвать ее идеально линейной, но нужная тенденция наблюдается. Если отбросить явно выпадающие точки и найти параметры линейной зависимости, то получим следующие значения

A = 5{,}9 \pm 1{,}6

B = 12 \pm 6 \qquad \xi^* \approx 2.

Полученные значения вполне разумны: если бы не было лобового сопротивления, то для того чтобы забить спицу на 40 мм необходимо примерно 6 ударов; сила лобового сопротивления приметно равна силе бокового сопротивления на 20 мм длины спицы (по меньшей мере она сравнима с силой бокового трения).

Еще раз подчеркнем, анализировать экспериментальные данные этой части задачи сложно так как, и данных мало, и точность не высока.

Если построить зависимости $x(n)$ и $x^2(n)$ (Графики 8 – 9), то каждую из них с некоторой погрешностью можно принять за линейную.

Зависимость x, мм (30–90) от числа ударов n (0–40): точки и аппроксимирующая прямая. — График 8.

Зависимость x², см² (0–90) от числа ударов n (0–45): точки и аппроксимирующая прямая; первые точки лежат выше прямой. — График 9.

В первом случае следует признать, что преобладает сила лобового сопротивления, во втором – сила бокового трения.

$^{3}$ Трудно ожидать, что участники олимпиады предложат такой путь анализа, поэтому эта часть выделена курсивом. При оценивании данного пункта задачи предлагается оценивать саму модель (8) и попытки ее любой разумной линеаризации и обоснования вывода о применимости данной модели. Ниже изложены альтернативные варианты, которые, по нашему мнению должны оцениваться не более чем в половину баллов за последний пункт задания.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_experimental_solutions.pdf