Съдържание

Условие 1. Неподвижный цилиндр.2. «Тонем и всплываем!»Решение

BelPhO 2010, Областен етап, 9,10,11 — Задача 2. 9 класс — 2. «Просачивание»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сборник содержит девять целых задач: по три для9,10,11класса. Все66основных номерных групп переданы вместе с внутренними запросами. Каталог указывает70частей: разминка10 вместо8,гвоздь8 вместо7,источникЭДС9 вместо8. Дополнительные задания по каталожному числу не придуманы. Время выполнения,баллы и таблицы оценивания в полученных оригиналах не напечатаны.

Исходные PDF неправильно отображают математический шрифт: многие греческие буквы, минусы, штрихи и знаки приближения исчезают либо заменяются посторонними символами. Обозначения декодированы по текстовому слою тех же оригиналов. Научные ошибки источника сохранены.

«Вода и пар»: упомянутые отдельные таблица и график насыщенного пара отсутствуют в полученных оригиналах и соответствующих строках каталога. В ключе сохранен собственный график конечного равновесия, но он не выдается за недостающий лист условия. Формула(9) ключа печатает коэффициент8,43·10⁻³, а конечная температура дана90°C; исходные значения не исправлены.

«Источник ЭДС»: для следующих пунктов требуются аналогичные шаблоны графиков, но в полученных оригиналах имеется один пустой шаблон. Новые формы не изготовлены.

Разминка: в пункте2.2 ключ ссылается на(12), хотя массы выражаются в(8). Исходная ссылка сохранена.

Просачивание: условие печатает «цилиндр закреплен внутри цилиндра», «расположили вертикали»; в ключе промежуточная дробь(13) имеет плюсρ₀gl, при следующем результатеρ₁−ρ₀. Номер(17) использован дважды; заключение всплывания называет скорость «опускания». В последнем ненумерованном равенстве перед вторым(17) нетγ на левой стороне. Все исходные записи сохранены.

Узорные цепи: в первой формуле ключа используетсяI₀ при исходномI₁, в решетке ключ пишетR при исходномR₀. Пункт1.3 ключа печатает напряжение и альтернативный метод без отдельной формулы сопротивления; новая формула не добавлена. Исходное название задачи «Гвоздь» сохранено, хотя каталог использует «Гвозди».

Полукольцо: уравнение(2) условия имеетx без квадрата; номер(3) повторяется. Ключ в угловой энергии(4) определяетk=mg/l. Альтернативный вариант1 не содержитg в последнем произведении; вариант2 пишетm вместоm₁ для подвешенного груза иM₂≈(2α/π)mghC. В первом выражении(16) ключа стоит плюс после предыдущего минуса. Все исходные формулы, обозначения и результаты сохранены.

Обложка, поздравление и инструкция

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2009 г.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год. (III этап). Теоретический тур.

Оргкомитет и Жюри III этапа Республиканской олимпиады школьников 2010 года Поздравляют Вас с наступившим Новым Годом и желают успешного выступления на олимпиаде.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Внутри цилиндрической трубки с внутренним радиусом $R$ находится сплошной цилиндр длиной $l$ , радиус которого незначительно отличается от $R$ . Между стенками трубки и боковой поверхностью цилиндра существует тонкий зазор толщиной $h$ . Во всех пунктах данной задачи будем полагать, что толщина этого зазора постоянна и $h\ll R$ . Из этого условия следует, что средняя скорость течения жидкости в зазоре значительно превышает скорость движения цилиндра. Поэтому при расчете сил вязкого трения движением цилиндра можно пренебречь и считать, что сила, действующая на движущийся цилиндр, равна силе, действующей на цилиндр неподвижный.

Полная схема зазора: цилиндр,трубка,оба давленияP0/P1,h,l,векторыскорости и все размерные стрелки.

При протекании жидкости через зазор на стенки трубки и боковую поверхность цилиндра действует со стороны жидкости сила трения (вязкого). Величина этой силы, действующей на единицу площади поверхности (как внутренней поверхности трубки, так и боковой поверхности цилиндра), определяется по формуле

f=\gamma\frac{v_{\text{ср.}}}h,\qquad (1)

где $v_{\text{ср.}}$ — средняя скорость течения жидкости в зазоре¹, $\gamma$ — постоянный коэффициент, зависящий только от свойств жидкости, который считайте известным. Такая же по модулю сила действует и на движущуюся жидкость. Понятно, что для того, чтобы жидкость протекала через зазор, необходимо создать некоторую разность давлений $\Delta P=P_0-P_1$ с разных сторон цилиндра.

¹ Строго говоря, скорость течения жидкости в зазоре зависит от расстояния до стенки, однако для решения данной задачи нет необходимости рассматривать точное распределение скоростей жидкости, вполне достаточно определить именно среднюю скорость течения в зазоре.

1. Неподвижный цилиндр.

Пусть цилиндр закреплен внутри цилиндра с помощью нити. С разных сторон цилиндра создана разность давлений $P_0-P_1=\Delta P$ .

Полная схема закрепленного цилиндра: нитьT,оба давленияP0/P1,h,l,обе скорости,все границы и стрелки.

1.1 Определите среднюю скорость течения жидкости в зазоре $v_{\text{ср.}}$ .

1.2 Определите расход жидкости (объем, протекающий за единицу времени) в зазоре.

1.3 Определите силу натяжения нити. Почему, и на сколько эта сила отличается от разности сил давления?

2. «Тонем и всплываем!»

Трубку с цилиндром расположили вертикали и закрыли ее нижний торец. Верхний торец открыт, жидкость полностью заполняет трубку. Плотность жидкости обозначим $\rho_0$ , а плотность материала цилиндра $\rho_1$ , причем $\rho_1>\rho_0$ .

Полная схема тонущего цилиндра: оба давленияP0/P1,векторu,дно,верхняя поверхность и все границы.

2.1 Пусть цилиндр опускается с постоянной скоростью $u$ . Чему равна средняя скорость движения жидкости в зазоре?

2.2 Определите разность давлений жидкости между нижним и верхним основаниями цилиндра $\Delta P=P_0-P_1$ . Почему, и на сколько отличается эта разность давлений от гидростатического давления столба жидкости в зазоре?

2.3 Найдите скорость $u$ , с которой будет опускаться цилиндр.

2.4 Рассмотрим всплытие цилиндра. Пусть плотность материала цилиндра меньше плотности жидкости $\rho_1<\rho_0$ . Определите разность давлений жидкости между нижним и верхним основаниями цилиндра $\Delta P=P_0-P_1$ в этом случае.

2.5 Определите скорость $u$ , с которой будет всплывать цилиндр.

Решение

Неподвижный цилиндр.

Полная схема сил закрепленного цилиндра: F0/F1/Fсопр/T,P0/P1,все стрелки/стенки.

Сумма сил, действующих на цилиндр равна нулю, так как он покоится, поэтому

\Delta P\cdot\pi R^2+F_{\text{сопр.}}=T,\qquad (1)

здесь $\Delta P\cdot\pi R^2=F_0-F_1$ — разность сил давления жидкости на торцы цилиндра;

F_{\text{сопр.}}=\gamma\frac vh\cdot2\pi Rl\qquad (2)

— сила вязкого трения, действующая со стороны движущейся жидкости на боковую поверхность цилиндра.

Жидкость в зазоре движется с постоянной скоростью, поэтому сумма сил, действующих на нее также равна нулю, поэтому можно записать

\Delta P\cdot2\pi Rh=2F_{\text{сопр.}}.\qquad (3)

Здесь и далее, мы учитываем малость толщины зазора, поэтому его площадь поперечного сечения может быть записана в виде (если пренебречь малой величиной $h^2$ )

s=\pi(R+h)^2-\pi R^2\approx2\pi Rh.\qquad (4)

При записи уравнения (3) также следует учесть, что на жидкость действуют силы вязкого трения, как со стороны боковой поверхности цилиндра, так и со стороны внутренней поверхности трубки, причем различием в их площадях можно пренебречь.

Из уравнений (1), (3) находим

F_{\text{сопр.}}=\pi Rh\cdot\Delta P;\qquad T=\pi R^2\Delta P\left(1+\frac hR\right).\qquad (5)

Как следует из последней формулы, сила натяжения нити превышает разность сил давления на величину силы вязкого трения, действующей на боковую поверхность цилиндра.

Приравнивая силу трения к ее выражению через среднюю скорость течения воды в зазоре

\pi Rh\cdot\Delta P=\gamma\frac vh\cdot2\pi Rl,\qquad (6)

находим

v=\frac{h^2}{2\gamma l}\Delta P.\qquad (7)

Расход жидкости равен средней скорости, умноженной на площадь поперечного сечения потока

q=2\pi Rh\cdot v=\frac{\pi Rh^3}{\gamma l}\Delta P.\qquad (8)

Обратите внимание на сильную зависимость расхода жидкости от толщины зазора, например, при уменьшении толщины зазора в 2 раза расход уменьшается в 8 раз!

«Тонем и всплываем!»

Полная схема сил тонущего цилиндра: F0/F1/Fсопр/mg/u,P0/P1,все стрелки/стенки.

Данная часть задачи отличается от предыдущей, тем, что необходимо учитывать действие силы тяжести, как на цилиндр, так и на движущуюся жидкость. Так как на жидкость в зазоре и на цилиндр действуют тормозящие силы, зависящие от скоростей движения. По-прежнему, векторная сумма сил, действующих на цилиндр, равна нулю, поэтому

mg-\pi R^2\Delta P-F_{\text{сопр.}}=0.\qquad (9)

Запишем также выражение для массы цилиндра

m=\pi R^2l\rho_1.\qquad (10)

Второе уравнение выражает условие постоянства скорости жидкости в зазоре (то есть сумма сил, действующих на нее равна нулю):

2\pi Rh\Delta P-2\pi Rhl\rho_0g-2F_{\text{сопр.}}=0,\qquad (11)

где второе слагаемое есть сила тяжести, действующая на жидкость.

Из уравнения (9) выразим силу сопротивления (с учетом выражения для массы цилиндра (10)) и подставим ее в уравнение (11)

2\pi Rh\Delta P-2\pi Rhl\rho_0g-2(\pi R^2l\rho_1g-\pi R^2\Delta P)=0.

Из этого уравнения выражаем значения разности давлений

\Delta P=\frac{\rho_1gl+\frac hR\rho_0gl}{1+\frac hR}.\qquad (12)

Полученное выражение принципиально отличается от формулы для гидростатического давления столба жидкости в зазоре $(\Delta P)_{\text{статическое}}=\rho_0gl$ . Разность сил давлений (см. (9)) равна силе тяжести цилиндра уменьшенной на силу вязкого трения. Иными словами, формулы гидростатики не применимы при движении жидкости. Основные условия гидростатики — условия равновесия, а в данном случае главное — условия установившегося движения жидкости (и цилиндра). При движении тела в жидкости происходит такое перераспределение давлений, которое и обеспечивает условия стационарности потоков.

Эту идею можно развить и далее — формула для гидростатической силы Архимеда также «не работает» в данном случае. Сумма сил давлений жидкости на цилиндр равна весу цилиндра (минус сила сопротивления), а не весу жидкости вытесненной цилиндром!

Формально, разность между полученным выражением (12) и гидростатическим давлением выражается формулой

\frac{\rho_1gl+\frac hR\rho_0gl}{1+\frac hR}-\rho_0gl=\frac{\rho_1gl+\rho_0gl}{1+\frac hR}\approx(\rho_1-\rho_0)gl.\qquad (13)

Найдем из уравнения (9) силу сопротивления, действующую на поверхность диска

F_{\text{сопр.}}=\pi R^2l\rho_1g-\pi R^2\Delta P=\pi R^2\frac{\frac hR\rho_1gl-\frac hR\rho_0gl}{1+\frac hR}\approx\pi R^2\frac hR(\rho_1-\rho_0)gl.\qquad (14)

С другой стороны эта же сила выражается через среднюю скорость жидкости

F_{\text{сопр.}}=2\pi Rl\gamma\frac vh.\qquad (15)

Скорость течения жидкости в зазоре связана со скоростью движения цилиндра условием постоянства объема жидкости (объем жидкости вытесненной цилиндром равен объему жидкости, протекающей в зазоре):

2\pi Rhv=\pi R^2u.\qquad (16)

Из этого уравнения легко найти среднюю скорость движения жидкости в зазоре

v=\frac R{2h}u.\qquad (17)

Отметим, что скорость течения жидкости значительно превышает скорость движения цилиндра (из $R\gg h\Rightarrow v\gg u$ ), что оправдывает сделанное в условие о практической независимости силы сопротивления от скорости движения цилиндра).

Теперь решим систему уравнений (14)–(16). Находим

2\pi Rhv=\pi R^2u\Rightarrow2\pi Rv=\frac{\pi R^2}hu;

F_{\text{сопр.}}=2\pi Rl\gamma\frac vh=\frac{\pi R^2l}{h^2}\gamma u.

Наконец из равенства

\frac{\pi R^2l}{h^2}u=\pi R^2\frac hR(\rho_1-\rho_0)gl

определяем

u=\frac{h^3}{\gamma R}(\rho_1-\rho_0)g.\qquad (17)

Решение задачи при всплывании цилиндра аналогично.

Полная схема сил всплывающего цилиндра: F0/F1/Fсопр/mg/u,P0/P1,все стрелки/стенки.

Суммарная сила, действующая на цилиндр, равна нулю:

mg-\pi R^2\Delta P+F_{\text{сопр.}}=0;\qquad\pi R^2l\rho_1g-\pi R^2\Delta P+F_{\text{сопр.}}=0.\qquad (18)

Суммарная сила, действующая на жидкость в зазоре, равна нулю

2\pi Rh\Delta P-2\pi Rhl\rho_0g+2F_{\text{сопр.}}=0.\qquad (19)

Исключая из этих уравнений силу сопротивления, находим разность давлений

\Delta P=\frac{\rho_1gl+\frac hR\rho_0gl}{1+\frac hR}.\qquad (20)

Скорость опускания цилиндра находим, выражая силу сопротивления через среднюю скорость жидкости в зазоре и уравнение неразрывности. Опуская промежуточные выкладки, получаем

u=\frac{h^3}{\gamma R}(\rho_0-\rho_1)g.\qquad (21)

Решения. Авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап).2010 год.Теоретический тур.Решения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2010_theoretical_solutions.pdf