Съдържание

Условие Часть 1. Закон Гука.Часть 2. Коэффициент пропорциональности.Отговори Решение

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9 класс. Задание 2. «Кручение»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Экспериментальный тур

Экспериментальный тур

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Ознакомьтесь с условиями обеих задач, чтобы разумно спланировать свою работу.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика.
Все графики рекомендуем строить на отдельных кусках миллиметровой бумаги, которые прикрепите к тетради с помощью стиплера.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Приборы и оборудование: Штатив с зажимом, пластиковая трубка (гелевый стержень), металлическая спица, набор грузов (гвозди), линейка деревянная, линейка пластиковая для измерений, пластилин.

Точное значение массы одного гвоздя вам будет указано.

В ходе измерений смещать спицу относительно стержня не следует!

Кручение – один из распространенных видов деформаций.
В качестве меры деформации используется угол кручения $\varphi$ , а характеристикой упругих сил – момент силы упругости $M$ , который в состоянии равновесия равен моменту внешних сил, приложенных к телу. В состоянии равновесия при малых деформациях угол кручения пропорционален приложенному моменту сил (закон Гука)

\varphi = KM, \qquad (1)

где $K$ некоторый коэффициент пропорциональности.

Цилиндр, закручиваемый моментом сил: изогнутые стрелки на обоих торцах, у правого торца обозначены момент M и угол кручения φ.

В данной работе вам необходимо проверить выполнимость закона Гука для деформации кручения пластиковой трубки и исследовать зависимость коэффициента пропорциональности $K$ от длины деформируемой части трубки $L$ .

Схема установки: трубка с линейкой-подставкой зажата в зажиме; длина свободной части трубки L; конец трубки проткнут спицей, отклоненной на угол φ; на одном конце спицы подвешен стакан с грузами, другой конец движется у вертикальной измерительной линейки. Подписи: «зажим», «линейка-подставка», «трубка», «L», «спица», «φ», «линейка измерительная», «стакан с грузами».

Для проведения исследований вам предлагается использовать следующую установку. Исследуемая трубка вместе с линейкой-подставкой (для уменьшения прогиба) зажата в лапке штатива. Конец трубки проткнут длинной спицей, на один конец которой подвешен пластиковый стаканчик, в который можно помещать грузы – одинаковые гвозди. Второй конец спицы движется вблизи вертикальной измерительной линейки. Передвигать спицу относительно трубки стержня не следует. В качестве подставки для линейки используется кусок пластилина. При необходимости линейку можно передвигать.

Измерения следует проводить, начиная с больших длин свободной части трубки $L$ .

Часть 1. Закон Гука.

Измерения проводите при максимальной длине трубки. Углы деформации следует измерять в радианах. При малых углах тангенс угла приблизительно равен самому углу, измеренному в радианах.

1.1 Измерьте зависимость угла кручения $\varphi$ от числа гвоздей, помещенных в стакан. Измерения проведите в двух направлениях: при нагрузке (постепенно увеличивая массу груза) и при разгрузке (уменьшая массу груза в стакане).

1.2 Постройте график полученной зависимости. Сделайте обоснованный вывод о применимости закона Гука в этом случае.

1.3 Объясните, почему зависимости угла кручения от приложенного момента сил полученные при нагрузке и разгрузке не совпадают.

1.4 Рассчитайте значение коэффициента пропорциональности $K$ в формуле (1) с максимально возможной точностью. Используйте для этого данные полученные только при «нагрузке» стержня. Укажите физический смысл этого коэффициента.

Часть 2. Коэффициент пропорциональности.

В данной части работы измерения угла кручения проводите только в одном направлении – при последовательном увеличении нагрузки на стержень. Считайте, что закон Гука выполняется!

2.1 Проведите измерения зависимости угла кручения от числа гвоздей, помещенных в стакан для разных длин $L$ деформируемой части стержня.

2.2 На одном бланке постройте графики полученных зависимостей.

2.3 Рассчитайте значения коэффициента $K$ для всех длин $L$ деформируемой части стержня.

2.4 Из теории упругости следует, что коэффициент зависит от длины деформируемой части трубки по закону

K = CL^{\alpha}, \qquad (2)

где $C$ и $\alpha$ - некоторые постоянные величины.
Проверьте выполнимость данной формулы в данной задаче. Определите численные значение параметра $\alpha$ . Ответ обоснуйте графически.

Отговори

Решение

Во всех экспериментах использовались следующие значения параметров: расстояние от оси стержня до точки подвеса грузов $d = 50\text{мм}$ , расстояние от оси стержня до измерительной линейки $L = 280\text{мм}$ . Угол кручения рассчитывался по формуле

\varphi = \frac{\Delta h}{L}, \qquad (1)

где $\Delta h$ - изменение высоты подъема стрелки при нагрузке.

Часть 1. Закон Гука.

В Таблице 1 приведены измеренные значения $\Delta h$ при максимальной длине деформируемой части стержня $l = 78\text{мм}$ .

Таблица 1. Зависимость угла кручения от нагрузки ( $N$ - числа гвоздей в стакане)

$N$ (гвоздь)	при нагрузке: $\Delta h, \text{мм}$	при нагрузке: $\varphi$	при разгрузке: $\Delta h, \text{мм}$	при разгрузке: $\varphi$
0	0	0,000	12	0,043
1	9	0,032	23	0,082
2	19	0,068	33	0,118
3	29	0,104	43	0,154
4	39	0,139	54	0,193
5	50	0,179	62	0,221
6	60	0,214	71	0,254
7	70	0,250	80	0,286
8	80	0,286	88	0,314
9	90	0,321	95	0,339
10	100	0,357	100	0,357

На рисунке представлен график полученной зависимости.

Как видно, при нагрузке (при последовательном увеличении нагрузки) угол кручения прямо пропорционален приложенной нагрузке, то есть закон Гука выполняется.

При последовательном уменьшении нагрузки (при разгрузке) наблюдается некоторое «отставание» угла кручения от уменьшающейся нагрузки, что, очевидно связано с наличием остаточных деформаций в стержне.

Для определения коэффициента пропорциональности предпочтительнее воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК), либо провести обработку линейной зависимости графически.

В данном случае коэффициенты линейной зависимости

\varphi = aN + b, \qquad (1)

рассчитанные по МНК, оказались равными

a = (3{,}60 \pm 0{,}04)\cdot 10^{-2}\ \frac{\text{радиан}}{\text{гвоздь}}.

b = (3 \pm 2)\text{рад}

Так как коэффициент $b$ оказался близким к нулю, а погрешность коэффициента $a$ около 1%, то можно считать, что зависимость прямо пропорциональная, что еще раз подтверждает применимость закона Гука в данном случае.

Для расчета коэффициента пропорциональности $K$ в формуле закона Гука, необходимо произвести пересчет (масса одного гвоздя $m = 10\text{г}$ )

\begin{cases}\varphi = aN\\ \varphi = KNmgd\end{cases} \Rightarrow\quad K = \frac{a}{mg} = \frac{3{,}60\cdot 10^{-2}}{10^{-2}\cdot 10^{-3}\cdot 9{,}81\cdot 5{,}0\cdot 10^{-2}} \approx 7{,}34\cdot 10^3(\text{Н}\cdot\text{м})^{-1};

\Delta K = K\frac{\Delta a}{a} = 8\cdot 10^1(\text{Н}\cdot\text{м})^{-1}

Окончательно, получаем значения коэффициента

K = (7{,}34 \pm 0{,}08)\cdot 10^3(\text{Н}\cdot\text{м})^{-1} \qquad (2)

Смысл коэффициента – угол кручения, при единичном приложенном моменте сил.

График угла кручения φ, рад (от 0,00 до 0,40) от числа гвоздей N (от 0 до 11) при l = 78 мм: сплошная прямая через начало координат (нагрузка) и штриховая линия выше нее (разгрузка), сходящиеся при N = 10. — График 1. Зависимость угла кручения от нагрузки

Часть 2. Коэффициент пропорциональности.

В Таблице 2 приведены измеренные значения углов кручения стержня в зависимости от приложенной нагрузки (в гвоздях) и для различных длин деформируемой части стержня $l$ (в мм). В предпоследней строке приведены значения коэффициента $a$ ( $a' = a\cdot 10^2$ - для экономии места), которые нами рассчитаны по МНК, хотя их значения можно снять по графику, который приведен ниже.

Таблица 2. Зависимости угла кручения от нагрузки при разных длинах деформируемой части стержня.

$l\to$	78		68		58		48		38		28		18
$N$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$	$\Delta h$	$\varphi$
0	0	0,000	0	0,000	0	0,000	0	0,000	0	0,000	0	0,000	0	0,000
1	9	0,032	9	0,032	5	0,018	6	0,021	4	0,014	3	0,011	4	0,014
2	19	0,068	17	0,061	13	0,046	11	0,039	10	0,036	6	0,021	7	0,025
3	29	0,104	26	0,093	21	0,075	19	0,068	16	0,057	11	0,039	11	0,039
4	39	0,139	36	0,129	30	0,107	26	0,093	22	0,079	16	0,057	14	0,050
5	50	0,179	47	0,168	38	0,136	34	0,121	28	0,100	19	0,068	17	0,061
6	60	0,214	57	0,204	46	0,164	41	0,146	34	0,121	23	0,082	20	0,071
7	70	0,250	66	0,236	55	0,196	49	0,175	41	0,146	28	0,100	23	0,082
8	80	0,286	76	0,271	64	0,229	57	0,204	48	0,171	33	0,118	26	0,093
9	90	0,321	85	0,304	73	0,261	66	0,236	54	0,193	38	0,136	30	0,107
10	100	0,357	94	0,336	82	0,293	77	0,275	61	0,218	42	0,150	33	0,118
$a'\to$	3,60		3,42		2,98		2,72		2,21		1,53		1,15
$K'\to$	7,34		6,97		6,08		5,55		4,51		3,12		2,34

Из графика видно, что при всех длинах деформируемой части стержня приближенно наблюдается прямо пропорциональная зависимость. В последней строке приведены результаты расчетов коэффициента пропорциональности $K$ ( $K' = K\cdot 10^{-3}$ )

Наконец, строим график зависимости коэффициента пропорциональности в формуле закона Гука от длины деформируемой части стержня. Из этого графика видно, что при небольших длинах этот коэффициент пропорционален длине свободной части стержня, отсюда можно сделать вывод, что показатель степени в формуле $K = CL^{\alpha}$ равен единице:

\alpha = 1,

что также следует из теории упругости.

Возможно, что последние точки отклонились от прямой, из-за того, что угол кручения перестал быть малым, и следовало бы рассчитывать угол с помощью арктангенса – но только этого еще не хватало!

Семь прямых зависимостей угла кручения φ, рад (от 0,00 до 0,40) от числа гвоздей N (от 0 до 11), выходящих из начала координат, подписанных 78 мм, 68 мм, 58 мм, 48 мм, 38 мм, 28 мм, 18 мм (по убыванию наклона), с цветными точками измерений. — График 2. Зависимости угла кручения от нагрузки (для разных длин стержня)

Точечный график K, (10³ Н⁻¹·м⁻¹) (от 0,0 до 8,0) от l, мм (от 0 до 80) с прямой из начала координат через точки при 18–48 мм; точки при 58, 68 и 78 мм лежат ниже прямой. — График 3. Зависимость коэффициента K от длины деформируемой части стержня

Оригинал в Архива: 2010_experimental_problems.pdf · официални решения: 2010_experimental_solutions.pdf