Съдържание

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-2. 9 класс — 2. Тепловая разминка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

1 В калориметре при общей температуре, равной температуре плавления льда $t_0=0,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ находится смесь воды и льда общей массой $m=0,60\text{ кг}$ . Теплоемкости воды и льда в сосуде одинаковы. Найдите количество теплоты $Q_1$ , необходимое для повышения температуры системы на $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Определите количество теплоты $Q_2$ , необходимое для понижения температуры системы на $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Вычислите отношение $\eta$ средних теплоемкостей системы в первом и втором случаях. Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Удельная теплоемкость льда – $c_1=2,1\text{ кДж/(кг}\cdot{}^{\circ}\mathrm C)$ , воды – $c_2=4,2\text{ кДж/(кг}\cdot{}^{\circ}\mathrm C)$ , удельная теплота плавления льда – $\lambda=0,33\text{ МДж/кг}$ .

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

2 При определенных условиях лед и вода (переохлажденная вода) в калориметре могут находиться в тепловом равновесии и при отрицательной температуре $t_1=-2,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Если подобную систему нагревать с некоторой постоянной мощностью, то ее температура изменяется со временем так, как показано на рисунке. Масса смеси воды и льда $m=0,60\text{ кг}$ . Теплоемкости воды и льда в сосуде одинаковы. Определите мощность $P$ нагревателя. Найдите время $\tau_1$ плавления льда в калориметре и время $\tau_2$ дальнейшего разогрева системы до температуры $t_2=20\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

3 При образовании насыщенного раствора солей (например, алюминиевых квасцов) концентрация $\eta$ , % раствора (отношение массы $m_1$ растворенного вещества к массе $m_2$ жидкости $\eta=m_1/m_2$ ) изменяется в зависимости от температуры так, как показано на рисунке. Удельная теплоемкость соли в растворенном состоянии в $c_1=2,40\text{ кДж/(кг}\cdot{}^{\circ}\mathrm C)$ , в кристаллическом состоянии $c_3=1,20\text{ кДж/(кг}\cdot{}^{\circ}\mathrm C)$ , удельная теплоемкость жидкости (растворителя) – $c_2=3,60\text{ кДж/(кг}\cdot{}^{\circ}\mathrm C)$ . В начальном состоянии в сосуд, содержащий $m_2=1,00\text{ кг}$ растворителя, опустили $m=0,600\text{ кг}$ соли и тщательно перемешали. Постройте график зависимости теплоемкости системы $C(t)$ от температуры. Найдите количество теплоты $Q$ , необходимое для нагрева насыщенного раствора от температуры $t_1=50,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ до температуры $t_2=100\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Кипение в системе отсутствует. Удельной теплотой растворения пренебречь.

Решение

Задача 9.2. Тепловая разминка

Определим массу льда $m_1$ и массу воды $m_2$ , находящейся в сосуде, из системы уравнений, следующих из условия

\begin{cases}m=m_1+m_2,\\c_1m_1=c_2m_2.\end{cases}\qquad (1)

Решение системы имеет вид

m_1=\frac{c_2}{c_1+c_2}m=0,40\text{ кг},\qquad m_2=\frac{c_1}{c_1+c_2}m=0,20\text{ кг}.\qquad (2)

Количество теплоты $Q_1$ , необходимое для повышения температуры системы на $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ , складывается из количества теплоты $Q_{11}$ , идущей на плавление льда

Q_{11}=\lambda\cdot m_1=132\text{ кДж}\qquad (3)

и количества теплоты $Q_{12}$ , идущего на последующее нагревание воды массой $m=m_1+m_2$ на $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Расчет в данном случае дает

Q_{12}=c_2(m_1+m_2)\Delta t_1=2,52\text{ кДж}.\qquad (4)

Суммарное количество теплоты при данной процедуре

Q_1=Q_{11}+Q_{12}=135\text{ кДж}.\qquad (5)

Соответственно, количество теплоты $Q_2$ , необходимое для понижения температуры системы на тот же градус $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ складывается из количества теплоты $Q_{21}$ , идущей на замораживание воды

Q_{21}=\lambda\cdot m_2=66,0\text{ кДж}

и количества теплоты $Q_{22}$ , необходимого для последующего охлаждения льда массой $m=m_1+m_2$ на $\Delta t_1=1,0\,{}^{\circ}\mathrm C$

Q_{22}=c_1(m_1+m_2)\Delta t_1=1,26\text{ кДж}.

Суммарное количество теплоты, необходимое для этого

Q_2=Q_{21}+Q_{22}=67,3\text{ кДж}.

Таким образом, отношение средних теплоемкостей системы при данных тепловых процессах

\eta=\frac{C_1}{C_2}=\frac{Q_1}{Q_2}=2,0.\qquad (6)

Результат (6) вполне понятен, поскольку массы и теплоемкости фаз (льда и воды) в калориметре различны, что приводит к различию теплот $Q_1$ и $Q_2$ в тепловых процессах различных направлений.

Рассмотрим начальный (наклонный) участок АВ графика (см. рис.). За время $\Delta\tau$ в системе выделится количество теплоты $P\Delta\tau$ , где $P$ — искомая мощность нагревателя. Пусть за это время температура системы увеличилась на $\Delta t$ , тогда согласно уравнению теплового баланса можем записать

P\Delta\tau=(c_1m_1+c_2m_2)\Delta t.\qquad (7)

Из последнего равенства следует, что мощность нагревателя

P=(c_1m_1+c_2m_2)\frac{\Delta t}{\Delta\tau}.\qquad (8)

Величина $\Delta t/\Delta\tau$ представляет собой угловой коэффициент наклона начального участка графика, который несложно определить по рисунку

\frac{\Delta t}{\Delta\tau}=\frac{2,0\,{}^{\circ}\mathrm C}{20\text{ с}}=0,10\,{}^{\circ}\mathrm C/\text{с}.\qquad (9)

Как видно из (9), угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой в данном случае имеет «экзотическую» размерность, определяемую размерностями величин, приведенных вдоль соответствующих осей координат.

Расчет по формуле (8) с учетом выражения (9) дает

P=(c_1m_1+c_2m_2)\frac{\Delta t}{\Delta\tau}=168\text{ Вт}=0,17\text{ кВт}.\qquad (10)

С такой мощностью нагревателя лед расплавится за время

\tau_1=\frac{m_1\cdot\lambda}P=786\text{ с}=13\text{ мин}.\qquad (11)

Соответственно, время разогрева системы до температуры $t_2=20\,{}^{\circ}\mathrm C$ найдем как

\tau_2=\frac{c_2(m_1+m_2)t_2}P=300\text{ с}=5,0\text{ мин}.\qquad (12)

Пусть в сосуде находится масса $m_2$ растворителя, тогда масса растворенной соли будет

m_1=\eta\cdot m_2.\qquad (13)

Соответственно, масса нерастворенной соли в сосуде

m_3=m-m_1=m-\eta\cdot m_2.\qquad (14)

Для полной теплоемкости системы в данном случае можем записать

C=c_1m_1+c_2m_2+c_3m_3=c_1\eta m_2+c_2m_2+c_3(m-\eta\cdot m_2).\qquad (15)

Перепишем последнее равенство в виде

C=c_2m_2+c_3m+\eta m_2(c_1-c_3).

Как следует из условия задачи, в данном пункте следует проводить численные расчеты, используя три значащие цифры. Подставляя в (15) численные значения, получим

C(t)=(4,32+1,20\cdot\eta(t))\text{ кДж}/{}^{\circ}\mathrm C.\qquad (16)

График полученной зависимости представлен на рисунке.

При нагревании системы от температуры $t_1=50,0\,{}^{\circ}\mathrm C$ до температуры $t_2=100\,{}^{\circ}\mathrm C$ необходимо подсчитать площадь под приведенным графиком (площадь трапеции).

Расчет с точностью до трех значащих цифр дает

Q=240\text{ кДж}=0,240\text{ МДж}.\qquad (17)

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf