Съдържание

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Скольжение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

1 Шайба массы $m$ лежит на горизонтальном сухом столе. Коэффициент трения шайбы о стол постоянен и равен $\mu$ . Шайбе толчком сообщают горизонтальную скорость $v_0$ . Какой путь пройдет шайба по столу до полной остановки?

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

2 Шайба массы $m$ лежит на горизонтальном смазанном маслом столе. При движении шайбы со стороны стола действует сила вязкого трения пропорциональная скорости шайбы $\vec F=-b\vec v$ , $b$ - постоянный известный коэффициент. Шайбе толчком сообщают горизонтальную скорость $v_0$ . Какой путь пройдет шайба по столу до полной остановки?

3 На длинной горизонтальной доске, размещенной на горизонтальной поверхности, расположена цепочка из $N$ небольших одинаковых шайб. Шайбы находятся на расстоянии $l$ друг от друга, первая шайба находится на краю доски. Доску вместе с шайбами разогнали до скорости $v_0$ , (шайбы движутся вместе с доской), а затем отпустили. Определите, сколько шайб соскользнет с доски (до полной остановки всех движущихся тел), если коэффициент трения шайб о доску равен $\mu$ , а доски о поверхность $2\mu$ , Массы шайб значительно меньше массы доски. Шайбы можно считать материальными точками.

4 На длинной горизонтальной доске, размещенной на горизонтальной поверхности, расположена цепочка из $N$ небольших одинаковых шайб. Шайбы находятся на расстоянии $l$ друг от друга. Доску вместе с шайбами разогнали до скорости $v_0$ , (шайбы движутся вместе с доской), а затем отпустили. Определите, сколько шайб соскользнет с доски (до полной остановки всех движущихся тел), если коэффициент трения доски о поверхность равен $\mu$ , а на шайбу со стороны доски действует сила вязкого трения, пропорциональная относительной скорости шайбы $\vec F=-b\vec v$ , $b$ - постоянный известный коэффициент. Массы шайб значительно меньше массы доски.

5 (Опыт Толмена и Стьюарта) Катушка из медного провода содержит $N$ витков, намотанных в один слой. Радиус обмотки равен $R$ , диаметр поперечного сечения проволоки равен $d$ . Выводы катушки через скользящие контакты подключены к гальванометру (прибору для измерения электрического заряда). Катушку раскрутили до угловой скорости $\omega$ вокруг ее оси, а затем затормозили, при этом через катушку и гальванометр пошел электрический ток. Какой электрический заряд пройдет через гальванометр, за все время существования электрического тока?

Заряд электрона - $e$ , его масса - $m$ , концентрация электронов (число электронов в единице объема) в меди равна $n$ . При движении электрона в проводнике на него действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости электрона $\vec F=-\beta\vec v$ , $\beta$ - постоянный известный коэффициент.

Решение

Задача 9-3. Скольжение.

Со стороны стола на шайбу действует сила трения равная

F=\mu mg.\qquad (1)

Работа этой силы «съест» кинетическую энергию шайбы, поэтому

\frac{mv_0^2}2=\mu mgS\quad\Rightarrow\quad S=\frac{v_0^2}{2\mu g}.\qquad (2)

Примечание. Эту задачу также можно решать на основании 2 закона Ньютона.

Запишем уравнение 2 закона Ньютона для шайбы

ma=-bv\qquad (3)

И воспользуемся определениями ускорения и скорости

m\frac{\Delta v}{\Delta t}=-b\frac{\Delta x}{\Delta t}\quad\Rightarrow\quad m\Delta v=-b\Delta x.\qquad (4)

Это соотношение справедливо для малых промежутков времени, но если просуммировать по всем промежуткам за все время движения, то его можно рассматривать для полных изменений скорости и координаты, поэтому

m\Delta v=-b\Delta v\quad\Rightarrow\quad m(0-v_0)=-b(S-0)\quad\Rightarrow\quad S=\frac{mv_0}b.\qquad (5)

Так как массы шайб значительно меньше массы доски, то движение доски можно рассматривать независимо от движения шайб. На лоску действует сила трения со стороны стола $F_0=2\mu mg$ (силой трения со стороны шайб следует пренебречь ввиду малости их масс). Следовательно, до полной остановки доска пройдет путь равный

S_0=\frac{v_0^2}{4\mu g}.\qquad (6)

Очевидно, что все шайбы начнут двигаться относительно доски, обгоняя ее.

На каждую шайбу действует сила трения $F_1=\mu mg$ (независимой от скоростей доски и самой шайбы). Поэтому в той же системе отсчета, связанной с неподвижной поверхностью, каждая шайба может пройти (если не соскользнет с доски) до остановки путь равный

S_1=\frac{v_0^2}{2\mu g}.\qquad (7)

С доски соскользнут все шайбы, которые находились изначально на расстояниях меньших $\Delta S=S_1-S_0=\frac{v_0^2}{4\mu g}$ от переднего края доски. Число таких шайб

n=\left[\frac{v_0^2}{4\mu gl}\right]+1.\qquad (8)

Здесь квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Запишем уравнение 2 закона Ньютона для шайбы в инерциальной системе отсчета, связанной с неподвижной поверхностью

ma=-b(v-v_0)\quad\Rightarrow\quad m\frac{\Delta v}{\Delta t}=-b\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}-\frac{\Delta x_0}{\Delta t}\right),\qquad (9)

где $x,x_0$ и $v,v_0$ координаты и скорости шайбы и доски. Применяя операцию суммирования, описанную в пункте 2, получим

m\Delta v=-b(\Delta x-\Delta x_0)\quad\Rightarrow\quad m(0-v_0)=-b(S-S_0)\quad\Rightarrow\quad S-S_0=\frac{mv_0}b.\qquad (10)

Следует заметить, что путь $S-S_0$ , пройденный шайбой по доске, не зависит от закона торможения самой доски!

Число шайб, которые соскользнут с доски в этом случае равно

n=\left[\frac{mv_0}{bl}\right]+1.\qquad (11)

Используя результат (10), полученный в предыдущем пункте, находим, что каждый электрон пройдет по проводу путь равный

L=\frac{mR\omega}\beta.\qquad (12)

Те электроны, которые находятся на меньших расстояниях от гальванометра пробегут через него. Их число равно

N=nsL=n\frac{\pi d^2}4\frac{mR\omega}\beta.\qquad (13)

Они несут заряд

q=eN=ne\frac{\pi d^2}4\frac{mR\omega}\beta.\qquad (14)

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf