Съдържание

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. До какой же степени..?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

Простейшей моделью заряженного тела является точечный заряд. Помимо этой модели в прикладной электростатике широко используются и другие модели заряженных тел (диполи, квадруполи и т.д.), получившие название мультиполей.

Диполи электрически нейтральны, поскольку их суммарный заряд равен нулю. Но, несмотря на это, между ними возникают силы притяжения, рассмотрению которых и посвящена эта задача.

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

Электрический диполь, представляет собой совокупность двух равных по величине разноименных точечных зарядов $+q$ и $-q$ , находящихся на некотором расстоянии $l$ друг от друга.

Дипольным моментом $p$ системы называется произведение заряда $+q$ на расстояние $l$ между зарядами

p=ql.

Вектор $\vec p$ дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному.

1 Найдите напряженность электростатического поля $E_1$ , создаваемого диполем на больших расстояниях $r$ ( $r\gg l$ ) вдоль линии, соединяющей заряды (см. рис.). Выразите $E_1$ через дипольный момент системы $p$ и расстояние $r$ до центра диполя.

Примечание: при малых $x$ ( $x\to0$ ) справедливо приближенное равенство

(1+x)^\alpha\approx1+\alpha\cdot x.

2 Пробный заряд $q_0$ находится в вакууме на расстоянии $r$ от точечного заряда $-q_1$ . Найдите силу притяжения между зарядами. Запишите полученную формулу в виде $F_1\sim1/r^n$ и найдите значение $n$ в данном пункте задачи.

3 Пробный заряд $q_0$ находится в вакууме на расстоянии $r$ ( $r\gg l$ ) от центра диполя с моментом $p$ (см. рис.). Найдите силу $\vec F_2$ взаимодействия пробного заряда с диполем. Запишите полученную формулу в виде $F_2\sim1/r^n$ и найдите значение $n$ в данном пункте задачи.

4 Найдите силу взаимодействия $\vec F_3$ двух одинаковых диполей с дипольным моментом $p$ каждый, расположенных на расстоянии $r$ ( $r\gg l$ ) друг от друга вдоль прямой, соединяющей заряды, так как показано на рисунке (см. рис.). Запишите полученную формулу в виде $F_3\sim1/r^n$ и найдите значение $n$ в данном пункте задачи.

5 Эксперименты показывают, что под действием внешнего электрического поля напряженностью $\vec E$ диэлектрики (отдельные молекулы) поляризуются и приобретают наведенный (индуцированный) дипольный момент

p=\alpha\varepsilon_0E,

ориентированный по полю (см. рис.). Коэффициент $\alpha$ , имеющий в данном случае размерность объема, называется поляризуемостью молекулы диэлектрика.

Точечный заряд $q_0$ находится на расстоянии $r$ от молекулы диэлектрика с поляризуемостью $\alpha$ . Найдите силу $\vec F_4$ взаимодействия заряда с молекулой. Запишите полученную формулу в виде $F_4\sim1/r^n$ и найдите значение $n$ в данном пункте задачи.

6 Диполь с моментом $p$ находится на расстоянии $r$ от молекулы с поляризуемостью $\alpha$ (см. рис.). Найдите силу $\vec F_5$ взаимодействия заряда с молекулой. Запишите полученную формулу в виде $F_5\sim1/r^n$ и найдите значение $n$ в данном пункте задачи.

Решение

Задача 10.2. До какой же степени..?

Напряженность электростатического поля $E_1$ , создаваемого диполем на больших расстояниях $r$ ( $r\gg l$ ) вдоль линии, соединяющей заряды, найдем по принципу суперпозиции полей. Для этого следует построить векторную сумму напряженностей, создаваемых в точке наблюдения положительным $\vec E_+$ и отрицательным $\vec E_-$ зарядами диполя

\vec E=\vec E_++\vec E_-.

Поскольку векторы $\vec E_+$ и $\vec E_-$ на этой прямой противоположны друг другу, то модуль их суммы

E_1=E_+-E_-=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{(r-\frac l2)^2}-\frac1{(r+\frac l2)^2}\right).\qquad (1)

Используя формулы приближенных вычислений $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha\cdot x$ при малых $x$ , получим

\frac1{(r\mp\frac l2)^2}=\frac1{r^2}\cdot\frac1{(1\mp\frac l{2r})^2}=\left\{\begin{array}{l}\alpha=-2\\x=\frac l{2r}\end{array}\right\}=\frac1{r^2}\left(1\pm\frac lr\right).\qquad (2)

С учетом (2) выражение (1) примет вид

E_1=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r^2}(1+\frac lr)-\frac1{r^2}(1-\frac lr)\right)=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2l}{r^3}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2p}{r^3}.\qquad (3)

Подставляя в (3) выражение для дипольного момента $p=ql$ системы, окончательно получаем

E_1(r)=\frac1{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac p{r^3}.\qquad (4)

С учетом направления вектора дипольного момента $\vec p$ системы (4) можно переписать в векторном виде (в решении не требуется)

\vec E_1=\frac1{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{\vec p}{r^3}.

Таким образом, как следует из (4), модуль напряженности поля $E_1$ , создаваемого диполем вдоль его оси на больших расстояниях ( $r\gg l$ ) убывает обратно пропорционально кубу расстояния $r$ до диполя

E_1\sim\frac1{r^3}.\qquad (5)

Заметим, что выражение (4) можно получить и традиционным способом, без использования приведенного в условии приближенного равенства. Действительно, приняв обозначения

r_1=r-\frac l2,\qquad r_2=r+\frac l2,

перепишем (1) в виде

E_1=E_+-E_-=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_1^2}-\frac1{r_2^2}\right)=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\frac{r_2^2-r_1^2}{r_2^2r_1^2}.

С учетом того, что $r_2^2-r_1^2=2rl$ , и в рамках принятых приближений можно считать, что $r_2^2\cdot r_1^2\approx r^4$ , получим

E_1=\frac q{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2rl}{r^4}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2p}{r^3}.

Интересно, что зависимость, подобная (5), сохраняется и при нахождении напряженности поля $E_2$ «перпендикулярно» диполю, т.е. на прямой, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его центр. В этом случае изменяется только безразмерный коэффициент

E_2=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac p{r^3}.

Общая картина силовых линий диполя на большом расстоянии от него дана на рисунке справа. Расположение положительного и отрицательного зарядов диполя соответствует расположению, приведенному в условии задачи.

Согласно закону Кулона пробный заряд $q_0$ (он является положительным точечным зарядом) будет притягиваться к точечному заряду $-q_1$ в вакууме с силой

F_1=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_0q_1}{r^2}.\qquad (6)

Согласно третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой $F_1$ заряд $-q_1$ будет притягиваться к заряду $q_0$ .

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

F_1\sim\frac1{r^2}.

Таким образом, в данном пункте задачи

n=2.\qquad (7)

При взаимном расположении диполя $\vec p$ и пробного заряда $q_0$ как на рисунке взаимодействие будет носить характер отталкивания, поскольку одноименный (положительный) заряд диполя находится ближе к пробному (положительному) заряду, чем разноименный (отрицательный). В таком случае силы отталкивания преобладают над силами притяжения, что приводит к возникновению результирующей силы $\vec F_2$ , направленной вправо (см. рис).

Следовательно, в данном случае диполь будет отталкивать пробный заряд вдоль своей оси с силой

F_2=q_0E_1(r)=\{(4)\}=\frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac p{r^3}.\qquad (8)

Заметим, что при изменении ориентации диполя ( $-\vec p$ ), характер взаимодействия диполя с пробным зарядом изменится с отталкивания на притяжение.

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

F_2\sim\frac1{r^3}.

Таким образом, в данном пункте задачи

n=3.\qquad (9)

Для определенности будем считать, что левый диполь $\vec p$ создает напряженность поля в пространстве, которое действует на правый диполь $-\vec p$ .

Поскольку одноименные заряды диполей находятся на меньших расстояниях, чем разноименные, то согласно закону Кулона сила отталкивания в системе будет больше силы притяжения.

Это приведет к возникновению результирующей силы $\vec F_3$ отталкивания между диполями, направленной вправо (см. рис.).

Используя (4), для рассматриваемой системы можем записать

F_3=q\left(E_1(r-\frac l2)-E_1(r+\frac l2)\right)=\frac{qp}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{(r-\frac l2)^3}-\frac1{(r+\frac l2)^3}\right).\qquad (10)

С помощью формулы приближенного вычисления $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha\cdot x$ (при $x\to0$ ) в данном случае находим

\frac1{(r\mp\frac l2)^3}=\frac1{r^3}\cdot\frac1{(1\mp\frac l{2r})^3}=\left\{\begin{array}{l}\alpha=-3\\x=\frac l{2r}\end{array}\right\}=\frac1{r^3}\left(1\pm\frac{3l}{2r}\right).

Соответственно, разность в выражении (10) примет вид

\frac1{(r-\frac l2)^3}-\frac1{(r+\frac l2)^3}\approx\frac{3l}{r^4}.

С учетом того, что $p=ql$ , окончательно получим

F_3=\frac{3p^2}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{r^4}.\qquad (11)

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

F_3\sim\frac1{r^4}.

Таким образом, в данном пункте задачи

n=4.\qquad (12)

Заметим, что выражение (11) проще получить, используя производную от (4) по расстоянию $r$ , поскольку искомая сила $F_3$ вычисляется как

F_3=-p\frac{\partial E}{\partial r},

однако подобный подход выходит за рамки действующей школьной программы.

Будем считать, что напряженность $E(r)$ электростатического поля, создаваемого точечным зарядом $q_0$ в области нахождения молекулы, меняется незначительно (в силу малости размеров молекулы) и равна

E(r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_0}{r^2}.

Тогда индуцированный дипольный момент молекулы примет значение

p_i=\alpha\varepsilon_0E(r)=\alpha\varepsilon_0\cdot\frac1{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_0}{r^2}=\frac\alpha{4\pi}\cdot\frac{q_0}{r^2}.

В пункте 3 задачи мы вычислили силу взаимодействия диполя и точечного заряда, правда в рассматриваемом случае индуцированный (наведенный) дипольный момент $\vec p_i$ имеет противоположное направление («от заряда»), что приведет к возникновению в данной системе силы притяжения.

Используя (8) и третий закон Ньютона, найдем силу притяжения вынужденно поляризованной молекулы к точечному заряду

F_4=\frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{p_i}{r^3}=\frac{q_0}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{r^3}\cdot\frac\alpha{4\pi}\frac{q_0}{r^2}=\frac{\alpha q_0^2}{8\pi^2\varepsilon_0}\cdot\frac1{r^5}.\qquad (13)

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

F_4\sim\frac1{r^5}.

Таким образом, в данном пункте задачи

n=5.\qquad (14)

Будем считать, что напряженность электростатического поля, создаваемого диполем $\vec p$ в области нахождения молекулы, меняется незначительно. Тогда согласно (4) можем записать

E(r)=\frac1{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac p{r^3}.

Соответственно, индуцированный дипольный момент молекулы в этом случае примет значение

p_i=\alpha\varepsilon_0\cdot\frac1{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac p{r^3}=\frac\alpha{2\pi}\cdot\frac p{r^3}.\qquad (15)

В пункте 4 задачи мы вычислили силу отталкивания между диполями, ориентированными «навстречу» друг другу. В данном случае диполи ориентированы в одном направлении, поскольку наведенный дипольный момент всегда ориентирован «по полю». Это обстоятельство приведет к возникновению силы притяжения между диполями в рассматриваемой системе.

Считая взаимодействие диполей по формуле (11), получим величину силы притяжения между ними для рассматриваемого случая

F_5=\frac{3p\cdot p_i}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac1{r^4}=\frac{3p}{2\pi\varepsilon_0}\frac\alpha{2\pi}\cdot\frac p{r^3}\frac1{r^4}=\frac{3\alpha p^2}{4\pi^2\varepsilon_0}\cdot\frac1{r^7}.\qquad (16)

Следовательно, в данном случае справедливо утверждение

F_5\sim\frac1{r^7}.

Таким образом, в данном пункте задачи

n=7.\qquad (17)

Интересно, что в пунктах 3 и 4 задачи имеет место сила отталкивания между объектами, а в пунктах 5 и 6, связанных с индуцированным дипольным моментом, всегда имеет место сила притяжения.

Это связано с тем, что направление напряженности внешнего электрического поля однозначно определяет направление возникающего дипольного момента $\vec p$ поляризуемого объекта — он всегда ориентирован «по силовой линии» внешнего (индуцирующего) поля.

В завершение задачи на рисунке справа приведена достаточно забавная (но верная!) зависимость показателя степени $n$ в выражении для силы взаимодействия $F_i$ от номера $N$ пункта задачи.

Как говорится, комментарии излишни, но так и не понятно, почему последняя точка не ложится «на прямую». Было бы так красиво…

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf