Съдържание

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 10-3. 10 класс — 3. Пароатмосферная машина Ньюкомена

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

Еще не родился изобретатель парового двигателя Джеймс Уатт, а на шахтах Англии уже широко использовались для откачки воды паровые машины Ньюкомена. В данной задаче вам предстоит рассмотреть принцип действия этой машины, рассчитать ее характеристики.

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

Основными деталями машины являются:

Рабочий цилиндр $B$ с подвижным поршнем $D$ ; котел $A$ с кипящей водой, пар из которого подается в цилиндр через патрубок с краном $C$ ; подвижное качающееся коромысло $FH$ , соединенное цепями с поршнем рабочего цилиндра, с одной стороны, и поршнем водооткачивающего насоса $I$ с другой. Для уравновешивания коромысла используется дополнительный груз $K$ .

Цикл машины состоит из следующих этапов:

1. Кран котла $K_1$ открыт ( $K_2$ - закрыт), кран насоса $K_3$ закрыт, открыт кран $K_4$ . Поршень цилиндра находится внизу, пар поступает в рабочий цилиндр, поршень начинает подниматься; вода из цилиндра насоса выливается.

1. После того, как поршень поднялся в верхнее положение в цилиндр впрыскивают холодную воду через кран $K_2$ , пар в цилиндре конденсируется (кран $K_1$ закрыт);

1. Под действием атмосферного давления поршень опускается (краны $K_1$ , $K_2$ - закрыты), при этом поднимается поршень водяного насоса, поднимая воду из шахты (кран $K_3$ - открыт, кран $K_4$ - закрыт);

1. Сконденсировавшуюся в рабочем цилиндре воду сливают, после чего цикл повторяется.

Параметры машины:

высота рабочего цилиндра $h_1=1,0\text{ м}$ , диаметр цилиндра $d_1=60\text{ см}$ ;
высота цилиндра насоса $h_2=1,0\text{ м}$ , его диаметр $d_2=20\text{ см}$ ;
глубина, с которой откачивают воду, равна $H=6,0\text{ м}$ ;
масса противовеса подобрана таким образом, что в нерабочем состоянии (при открытом котле и пустом цилиндре насоса) коромысло уравновешено;
атмосферное давление $P_0=1,0\cdot10^5\text{ Па}$ ;
ускорение свободного падения $g=10\text{ м/с}^2$ ;
удельная теплоемкость воды $c=4,2\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\mathrm K)$ , удельная теплота испарения воды $L=2,3\cdot10^6\text{ Дж/кг}$ (считайте ее независящей от температуры);
удельная теплоемкость железа $c_1=0,46\cdot10^3\text{ Дж/(кг}\cdot\mathrm K)$ .

Температура кипения воды при атмосферном давлении $P_0=1,0\cdot10^5\text{ Па}$ равна $100\,{}^{\circ}\mathrm C$ , при увеличении давления до $P_0=1,4\cdot10^5\text{ Па}$ температура кипения возрастает до $110\,{}^{\circ}\mathrm C$ , В данном диапазоне зависимость температуры кипения от давления можно считать линейной.

Считайте, что все процессы протекают достаточно медленно, так что их можно считать квазистатическими. Считайте также, все движения поршней являются равномерными. Потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь.

1 Постройте график цикла машины Ньюкомена.

Рекомендуем построить зависимость $P_1/P_0$ от $x/h$ , где $P_1$ - давление пара под поршнем, $x$ - высота, на которой находится поршень рабочего цилиндра.

2 Определите минимальную и максимальную температуру пара под поршнем.

3 Рассчитайте полезную работу, совершенную машиной за один цикл.

4 Рассчитайте коэффициент полезного действия машины в двух случаях:

пренебрегая теплоемкостью рабочего цилиндра и поршня;
учитывая теплоемкость цилиндра, если он изготовлен из железа и его масса равна $m=200\text{ кг}$ .

5 Сравните полученные значения кпд, с максимально возможным кпд тепловой машины, работающей в найденном диапазоне температур.

Решение

Задача 10-3 «Пароатмосферная машина Ньюкомена»

Обозначим давление пара в рабочем цилиндре $P_1$ , а давление воды на поршень цилиндра насоса $P_2$ . Так как поршни движутся равномерно, то сумма сил, действующих на них равна нулю. Кроме того, так как коромысло уравновешено, силы натяжений тросов, прикрепленных к поршням равны. Если поршень рабочего цилиндра находится на высоте $x$ , то поршень насоса находится на высоте $h-x$ . Выразим эти условия в уравнениях

\begin{cases}F=(P_0-P_2)S_2,\\F=(P_0-P_1)S_1\end{cases}\quad\Rightarrow\quad P_1=P_0-(P_0-P_2)\frac{S_2}{S_1}.\qquad (1)

Очевидно, что

P_0-P_2=\rho g(h-x)\qquad (2)

При опускании поршня насоса, и

P_0-P_2=\rho g(H+h-x)\qquad (3)

При его подъеме.

Таким образом, зависимости давления от положения поршня рабочего насоса имеют вид:

при подъеме поршня рабочего цилиндра

P_1=P_0-\rho g(h-x)\frac{S_2}{S_1}\quad\Rightarrow\quad\frac{P_1}{P_0}=1-\frac{\rho gh}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1-\frac xh\right);\qquad (4)

при его опускании

P_1=P_0-\rho g(H+h-x)\frac{S_2}{S_1}\quad\Rightarrow\quad\frac{P_1}{P_0}=1-\frac{\rho gh}{P_0}\frac{S_2}{S_1}\left(1+\frac Hh-\frac xh\right).\qquad (5)

Обозначим параметр системы (и вычислим его численное значение):

b=\frac{\rho gh}{P_0}\frac{S_2}{S_1}=\frac{1,0\cdot10^3\cdot10\cdot1}{1,0\cdot10^5}\left(\frac{20}{60}\right)^2=1,11\cdot10^{-2}.\qquad (6)

Таким образом, в «безразмерных параметрах» зависимости давления пара от высоты подъема имеют вид:

\begin{cases}\frac{P_1}{P_0}=(1-b)+b\frac xh,\\\frac{P_1}{P_0}=\left(1-b\left(1+\frac Hh\right)\right)+b\frac xh.\end{cases}\qquad (7)

Теперь не представляет труда построить диаграмму циклического процесса.

Из рассмотрения процесса следует, что максимальная температура пара в цикле равна $t_{\max}=100\,{}^{\circ}\mathrm C$ . Минимальная температура равна температуре кипения при минимальном давлении в цикле, т.е. при

P_{\min}=P_0\left(1-b\left(1+\frac Hh\right)\right)=0,92\cdot10^5\text{ Па}.\qquad (7)

Для определения соответствующей температуры необходимо воспользоваться предлагаемой в условии линеаризацией зависимости температуры кипения от давления. Так изменение температуры при единичном изменении давления равен

\frac{\Delta t}{\Delta P}=\frac{110-100}{(1,4-1,0)\cdot10^5}=25\cdot10^{-5}\text{ К/Па}.\qquad (8)

Следовательно, искомая температура будет равна

t_{\min}=t_0-\left(\frac{\Delta t}{\Delta P}\right)(P_0-P_{\min})=100\,{}^{\circ}\mathrm C-25\cdot10^{-5}\cdot0,08\cdot10^5=98\,{}^{\circ}\mathrm C.\qquad (9)

Полезную работу, фактически, совершает атмосферное давление! Работа, совершенная за цикл, отмечена на диаграмме заливкой. Численное значение этой работы

A=P_0\cdot(1-0,93)\cdot\pi\frac{d_1^2}4h=2,0\cdot10^3\text{ Дж}.\qquad (10)

Теплота от нагревателя поступает на испарение воды (практически при атмосферном давлении), для заполнения котла. Максимальная масса пара в рабочем цилиндре находится из уравнения состояния

PV=\frac mMRT\quad\Rightarrow\quad m=\frac{MPV}{RT}=\frac{18\cdot10^{-3}\cdot10^5\cdot\pi\cdot0,3^2\cdot1}{8,31\cdot373}\approx1,6\cdot10^{-1}\text{ кг}.\qquad (11)

Количество теплоты, требуемое на испарение,

Q=Lm=3,7\cdot10^5\text{ Дж}.\qquad (12)

Теперь можно рассчитать КПД машины

\eta=\frac AQ=5,4\cdot10^{-3}.\qquad (13)

На нагревание котла требуется количество теплоты

Q_1=c_1m_1\Delta t=0,46\cdot10^3\cdot200\cdot2=1,8\cdot10^5\text{ Дж}.\qquad (14)

Следовательно, с учетом теплоемкости котла, КПД понижается до

\eta'=\frac A{Q+Q'}=3,6\cdot10^{-3}.\qquad (15)

Наконец, КПД машины, работающей по циклу Карно в том же диапазоне температур, равен

\eta_0=\frac{\Delta T}{T_0}=\frac2{373}\approx5,4\cdot10^{-3}.\qquad (16)

что, как это не удивительно, совпадает с ранее полученным результатом.

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf