Съдържание

Условие Часть 1. Идеальный фотоэлемент Часть 2. Потери энергии в фотоэлементе.Решение

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-2. 11 класс — 2. Фотоэлемент

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

Фотоэлемент – устройство, преобразующее энергию электромагнитного излучения в электрическую энергию. Простейший фотоэлемент представляет собой полупроводниковый прибор с p-n-переходом. При поглощении оптического излучения в результате внутреннего фотоэффекта увеличивается число свободных носителей заряда, которые разделяются полем перехода. В результате этого по обе стороны от перехода создается разность потенциалов – фото-ЭДС.

Часть 1. Идеальный фотоэлемент

Идеальный фотоэлемент можно представить в виде источника тока и диода, соединенных параллельно (рис.1). Величина фототока $I_\text{Ф}$ , генерируемого источником, определяется только интенсивностью и спектральным составом света и не зависит от сопротивления нагрузки. Диод $D$ является нелинейным элементом. Ток диода $I_D$ и напряжение $U_D$ на нем связаны соотношением:

I_D=CU_D^2,

где $C$ – некоторая известная постоянная величина.

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

1.1 К фотоэлементу подключен резистор с сопротивлением $R_\text{Н}$ . Считая известной величину фототока $I_\text{Ф}$ , определите показания амперметра и вольтметра.

1.2 Сопротивление нагрузки $R_\text{Н}$ изменяют от нуля до очень большого значения. Как при этом зависит ток в нагрузке от напряжения $I_\text{Н}(U_\text{Н})$ ?

1.3 Чему равен ток короткого замыкания $I_\text{КЗ}$ ( $R_\text{Н}=0$ ) и напряжение холостого хода $U_\text{ХХ}$ ( $R_\text{Н}\to\infty$ )?

1.4 Изобразите график зависимости $I_\text{Н}(U_\text{Н})$ .

1.5 Определите, при каком значении сопротивления нагрузки $R_{P\max}$ в ней выделяется максимальная мощность и чему она равна ( $P_{\max}$ ). Чему при этом равны ток и напряжение на резисторе $I_{P\max}$ и $U_{P\max}$ ?

1.6 Пусть $I_\text{Ф}=1,0\text{ мА}$ , $C=4,0\cdot10^{-3}\text{ А/В}^2$ . Приведите численные значения $I_\text{КЗ}$ , $U_\text{ХХ}$ , $I_{P\max}$ , $U_{P\max}$ , $R_{P\max}$ и $P_{\max}$ .

Часть 2. Потери энергии в фотоэлементе.

Более приближенная к реальности модель фотоэлемента должна учитывать омические потери внутри него (сопротивление пластины полупроводника, контактов и т.д.). При этом эквивалентная схема усложняется. В ней появляются сопротивление, подключенное параллельно источнику тока $R_{\text{ПАР}}$ , и последовательное сопротивление $R_{\text{ПОС}}$ (рис.2.), значения которых считайте известными.

2.1 К фотоэлементу подключен резистор с сопротивлением $R_\text{Н}$ . Считая известными величину фототока $I_\text{Ф}$ , а также значения сопротивлений $R_{\text{ПОС}}$ и $R_{\text{ПАР}}$ , определите показания амперметра и вольтметра.

2.2 Сопротивление нагрузки $R_\text{Н}$ изменяют от нуля до очень большого значения. Составьте уравнение, связывающее ток и напряжение на нагрузке.

2.3 Выразите величины тока короткого замыкания и напряжения холостого хода.

Пусть (как и в первой части задачи) $I_\text{Ф}=1,0\text{ мА}$ , $C=4,0\cdot10^{-3}\text{ А/В}^2$ , а сопротивления равны: $R_{\text{ПОС}}=1,0\cdot10^2\text{ Ом}$ , $R_{\text{ПАР}}=1,0\cdot10^3$ .

2.4 Определите численные значения $I_\text{КЗ}$ , $U_\text{ХХ}$ .

2.5 Используя численные значения, изобразите график зависимости $I_\text{Н}(U_\text{Н})$ .

2.6 Определите, при каком напряжении на нагрузке в ней выделяется максимальная мощность. Чему она равна?

Решение

Задача 11-2 Фотоэлемент.

Часть 1. Идеальный фотоэлемент

1.1 Ток в нагрузке равен разности фототока и тока текущего через диод:

I_{\text{Н}}=I_{\text{Ф}}-I_D.\qquad (1)

Напряжение на нагрузке такое же, как и на диоде. Подставляя $I_{\text{Н}}=U_{\text{Н}}/R$ и $I_D=CU_{\text{Н}}^2$ , получим квадратное уравнение:

CU_{\text{Н}}^2+\frac1R U_{\text{Н}}-I_{\text{Ф}}=0.\qquad (2)

Решение имеет вид:

U_{\text{Н}}=\frac{-1+\sqrt{1+4CR^2I_{\text{Ф}}}}{2RC}.\qquad (3)

Ток в нагрузке:

I_{\text{Н}}=\frac{-1+\sqrt{1+4CR^2I_{\text{Ф}}}}{2CR^2}.\qquad (4)

1.2 Подставляя в (1) $I_D=CU_{\text{Н}}^2$ , получим связь между током и напряжением:

I_{\text{Н}}=I_{\text{Ф}}-CU_{\text{Н}}^2.\qquad (5)

1.3 При нулевом сопротивлении, напряжение на нагрузке равно нулю. А при большом сопротивлении нагрузки – ток равен нулю. Исходя из (5):

I_{\text{КЗ}}=I_{\text{Ф}},\qquad (6)

U_{\text{ХХ}}=\sqrt{\frac{I_{\text{Ф}}}C}.\qquad (7)

1.4 График зависимости $I_{\text{Н}}(U_{\text{Н}})$ – ветвь параболы. Вершина имеет координаты $(0,I_{\text{КЗ}})$ , точка пересечения с осью абсцисс – $U_{\text{ХХ}}$ .

1.5 Умножим обе части равенства (5) на $U_{\text{Н}}$ :

I_{\text{Н}}U_{\text{Н}}=P_{\text{Н}}=I_{\text{Ф}}U_{\text{Н}}-CU_{\text{Н}}^3.\qquad (8)

Приравняв к нулю производную по напряжению, получим:

U_{P\max}=\sqrt{\frac{I_{\text{Ф}}}{3C}}.\qquad (9)

Соответственно:

P_{\max}=\frac23\sqrt{\frac{I_{\text{Ф}}^3}{3C}},\qquad (10)

I_{P\max}=I_{\text{Ф}}-CU_{P\max}^2=\frac23I_{\text{Ф}},\qquad (11)

R_{P\max}=\frac{U_{P\max}}{I_{P\max}}=\frac32\frac1{\sqrt{3CI_{\text{Ф}}}}.\qquad (12)

1.6 Используя численные значения, получим:

I_{\text{КЗ}}=1,0\text{ мА},\qquad (13)

U_{\text{ХХ}}=0,50\text{ В},\qquad (14)

I_{P\max}=0,67\text{ мА},\qquad (15)

U_{P\max}=0,29\text{ В},\qquad (16)

R_{P\max}=433\text{ Ом},\qquad (17)

P_{\max}=0,19\text{ мВт}.\qquad (18)

Часть 2. Потери энергии в фотоэлементе

2.1 Фототок $I_{\text{Ф}}$ разделяется на три части: ток диода $I_D$ , ток через параллельное соединение $I_{\text{ПАР}}$ и ток через последовательное сопротивление и нагрузку $I_{\text{Н}}$ :

I_{\text{Ф}}=I_D+I_{\text{ПАР}}+I_{\text{Н}}.\qquad (19)

Напряжение на диоде и параллельном сопротивлении, можно выразить через ток в нагрузке:

U_D=U_{\text{ПАР}}=I_{\text{Н}}(R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}}).\qquad (20)

Тогда:

I_D=CI_{\text{Н}}^2(R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}})^2,\qquad (21)

I_{\text{ПАР}}=I_{\text{Н}}\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}}}{R_{\text{ПАР}}}.\qquad (22)

Подставляя эти выражения в (19) получим квадратное уравнение относительно $I_{\text{Н}}$ :

C(R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}})^2I_{\text{Н}}^2+\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}I_{\text{Н}}-I_{\text{Ф}}=0.\qquad (23)

Решение уравнения:

I_{\text{Н}}=\frac{-\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}+\sqrt{\left(\frac{R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}\right)^2+4I_{\text{Ф}}C(R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}})^2}}{2C(R_{\text{Н}}+R_{\text{ПОС}})^2}.\qquad (24)

Напряжение на нагрузке $U_{\text{Н}}=I_{\text{Н}}R_{\text{Н}}$ .

2.2 Вместо уравнения (20) запишем:

U_D=U_{\text{ПАР}}=U_{\text{Н}}+I_{\text{Н}}R_{\text{ПОС}}.\qquad (25)

Подставив в (19) получим искомую связь:

C(U_{\text{Н}}+I_{\text{Н}}R_{\text{ПОС}})^2+\frac{U_{\text{Н}}+I_{\text{Н}}(R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}})}{R_{\text{ПАР}}}-I_{\text{Ф}}=0.\qquad (26)

2.3 Подставив в выражение (24) значение $R_{\text{Н}}=0$ , получим ток короткого замыкания:

I_{\text{КЗ}}=\frac{-\frac{R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}+\sqrt{\left(\frac{R_{\text{ПОС}}+R_{\text{ПАР}}}{R_{\text{ПАР}}}\right)^2+4I_{\text{Ф}}CR_{\text{ПОС}}^2}}{2CR_{\text{ПОС}}^2}.\qquad (27)

Аналогичное решение можно получить, полагая в уравнении (26) $U_{\text{Н}}=0$ .

Напряжение холостого хода найдем, приняв в (26) $I_{\text{Н}}=0$ .

U_{\text{ХХ}}=\frac{-1+\sqrt{1+4I_{\text{Ф}}CR_{\text{ПАР}}^2}}{2CR_{\text{ПАР}}}.\qquad (28)

2.4 Численные значения тока короткого замыкания и напряжения холостого хода:

I_{\text{КЗ}}=0,88\text{ мА},\qquad (29)

U_{\text{ХХ}}=0,39\text{ В}.\qquad (30)

2.5 Подставим численные значения в (26) и умножим обе части на $10^3$ :

4(U_{\text{Н}}+100I_{\text{Н}})^2+U_{\text{Н}}+1100I_{\text{Н}}=1.\qquad (31)

Раскрыв скобки, получим:

4U_{\text{Н}}^2+10^4I_{\text{Н}}^2+800U_{\text{Н}}I_{\text{Н}}+U_{\text{Н}}+1100I_{\text{Н}}=1,\qquad (32)

Т.к. ток всегда меньше $10^{-3}\text{ А}$ , то слагаемым $10^4I_{\text{Н}}^2$ можно пренебречь.

Запишем уравнение в следующем виде:

I_{\text{Н}}(1100+800U_{\text{Н}})=1-4U_{\text{Н}}^2-U_{\text{Н}}.\qquad (33)

Величина $800U_{\text{Н}}$ изменяется незначительно – от 0 до 312. Положи ее равной 150.

Окончательно получим:

I_{\text{Н}}=\frac{1-4U_{\text{Н}}^2-U_{\text{Н}}}{1250}.\qquad (34)

На рисунке изображены графики зависимости $I_{\text{Н}}(U_{\text{Н}})$ .

Заметим, что отличия от точного построения невелики и проявляются при малых напряжениях.

2.6 Используя удачное приближение из предыдущего пункта, можем записать:

P=I_{\text{Н}}U_{\text{Н}}=\frac{U_{\text{Н}}-4U_{\text{Н}}^3-U_{\text{Н}}^2}{1250}.\qquad (35)

Приравняв к нулю производную, получим:

U_{P\max}=0,22\text{ В};\qquad (36)

P_{\max}=0,10\text{ мВт}.\qquad (37)

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf