Съдържание

Условие Часть 1. Круглый генератор.Часть 2. Прямоугольный генератор.Решение

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-3. 11 класс — 3. Два генератора

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

Часть 1. Круглый генератор.

Плоская сетка, показанная на рисунке, состоящая из $N=10$ концентрических колец (с разрезами), изготовлена из проволоки, удельное электрическое сопротивление которой равно $\rho$ . Диаметр поперечного сечения проволоки равен $d$ . Концы колец подсоединены к выводящим шинам, сопротивлением которых можно пренебречь. К шинам подключен амперметр переменного тока, показывающий действующее значение силы тока.

Радиусы колец сетки пропорциональны их номеру (и значительно больше диаметра поперечного сечения проволоки)

a_k=ka_0\quad(k=1,2,\ldots10).

Сетка помещена между полюсами электромагнита, создающего в плоскости сетки пространственно однородное магнитное поле, индукция которого изменяется во времени по закону

B(t)=B_0\cos\omega t.\qquad (1)

$B_0$ , $\omega$ - известные постоянные величины. Плоскость сетки перпендикулярна вектору индукции магнитного поля.

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

1 Найдите ЭДС индукции, возникающей в каждом кольце сетки как функцию времени $\varepsilon(t)$ .

2 Найдите показание амперметра, если его сопротивление пренебрежимо мало.

3 Чему будет равно показание амперметра, если его сопротивление равно $R$ ?

Часть 2. Прямоугольный генератор.

Длинная проводящая лента движется между полюсами постоянных магнитов, которые создают в ленте постоянное и однородное электрическое поле индукции $B$ . Ширина этого поля равна ширине ленты $a$ , длина второй стороны прямоугольника, в пределах которого создается поле, равна $b$ . Толщина ленты равна $h$ , удельное электрическое сопротивление материала ленты равно $\rho$ . Боковые торцы ленты скользят по проводящим контактам, к которым подключен резистор сопротивлением $R$ . При движении ленты через резистор протекает электрический ток.

1 Определите силу электрического тока через резистор.

2 Найдите, с какой силой $F$ надо тянуть ленту, чтобы она двигалась с постоянной скоростью $V$ .

3 Определите мощность, выделяющуюся на резисторе.

4 Определите кпд генератора, т.е. отношение мощности, выделяющейся на резисторе к мощности, развиваемой силой, тянущей ленту. Силами трения можно пренебречь.

Решение

Задача 11-3. «Два генератора»

Часть 1. Круглый генератор.

Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. В данном случае силовыми линиями электрического поля будут концентрические окружности, плоскость которых перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Рассмотрим кольцо радиуса $a_k$ . Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, переменной магнитное поле порождает в нем ЭДС индукции равную

\varepsilon_k=-\frac{\Delta\Phi_k}{\Delta t},\qquad (1)

где $\Phi_k=\pi a_k^2B_0\cos\omega t$ - магнитный поток через это кольцо. Следовательно, ЭДС индукции этого кольца равна

\varepsilon_k=-\frac{\Delta\Phi_k}{\Delta t}=\pi a_k^2B_0\omega\sin\omega t.\qquad (2)

Электрическое сопротивление кольца равно

r_k=\rho\frac{2\pi a_k}{(\pi d^2)/4}=8\rho\frac{a_k}{d^2}.\qquad (3)

Если пренебречь сопротивлением амперметра, то сила тока через него будет равна

i_0=\sum_k i_k=\sum_k\frac{\varepsilon_k}{r_k}=\sum_k\frac{\pi a_k^2B_0\omega\sin\omega t}{8\rho\frac{a_k}{d^2}}=\frac{\pi d^2a_0}{8\rho}B_0\omega\sin\omega t\sum_{k=1}^{10}k=\frac{55}8\frac{\pi d^2a_0}\rho B_0\omega\sin\omega t.

Действующее значение силы тока, соответственно, в этом случае равно

I_0=\frac{55}{8\sqrt2}\frac{\pi d^2a_0}\rho B_0\omega.\qquad (4)

Если учесть сопротивление амперметра, то для каждого кольца можно записать

\varepsilon_k=i_kr_k+i_0R.\qquad (5)

Разделим эти уравнения на $r_k$ и просуммируем по всем кольцам, в итоге получим

i_0=\sum_k i_k=\sum_k\frac{\varepsilon_k}{r_k}-i_0R\sum_k\frac1{r_k}\quad\Rightarrow\quad i_0=\frac{\sum_k\frac{\varepsilon_k}{r_k}}{1+R\sum_k\frac1{r_k}}.\qquad (6)

Сумма в числителе подсчитана. Вычислим сумму проводимостей

\sum_k\frac1{r_k}=\frac{d^2}{8\rho a_0}\sum_{k=1}^{10}\frac1k\approx\frac{d^2}{8\rho a_0}\cdot2,930\approx0,366\frac{d^2}{\rho a_0}.\qquad (7)

Теперь можно записать окончательное выражение для действующего значения силы тока в этом случае

I=\frac{\frac{55}{8\sqrt2}\frac{\pi d^2a_0}\rho B_0\omega}{1+0,366R\frac{d^2}{\rho a_0}}=\frac{15,27\cdot d^2a_0^2B_0\omega}{\rho a_0+0,366Rd^2}.\qquad (8)

Часть 2. Прямоугольный генератор.

На каждый электрон в движущемся проводнике в области магнитного поля действует сила Лоренца

F=eBv.\qquad (1)

Эта сила совершает работу по перемещению электрона поперек движущейся ленты, то есть создает ЭДС, равную

\varepsilon=Bva.\qquad (2)

Электрическое сопротивление участка ленты, находящейся в электрическом поле, равно

r=\rho\frac a{bh}.\qquad (3)

По закону Ома сила тока в контуре определяется выражением

I=\frac{\varepsilon}{r+R}=\frac{Bva}{R+\rho\frac a{bh}}.\qquad (4)

Со стороны магнитного поля на этот ток действует сила Ампера, направленная в сторону противоположную вектору скорости ленты и равная

F=IBa=\frac{B^2a^2}{R+\rho\frac a{bh}}v.\qquad (5)

Чтобы лента двигалась равномерно, необходимо ее тянуть с такой же по модулю силой. Эта сила развивает мощность

P_0=Fv=\frac{B^2a^2}{R+\rho\frac a{bh}}v^2.\qquad (6)

Мощность, выделяющаяся на резисторе может быть рассчитана по закону Джоуля-Ленца

P=I^2R=\frac{B^2v^2a^2}{(R+\rho\frac a{bh})^2}R.\qquad (7)

Наконец, КПД генератора равно

\eta=\frac P{P_0}=\frac R{R+\rho\frac a{bh}},\qquad (8)

что равно традиционному отношению сопротивления нагрузки к полному сопротивлению цепи.

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf