Съдържание

Условие Часть 1. Изучение тепловых потерь в окружающую среду.Часть 2. Теплоемкость тела.Отговори Решение

BelPhO 2011, Областен етап, 9–11 клас — Задача 5. 11 класс. Задание 1. Измерение малой теплоемкости.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

Республиканская физическая олимпиада 2011 год (III этап). Экспериментальный тур

Указания к экспериментальному туру

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Приборы и оборудование: Стакан с крышкой, термометр, сосуд с холодной водой, вода горячая, секундомер, мензурка, металлическое тело на нитке.

Измерение малых теплоемкостей является сложной задачей. При погружении тела с небольшой теплоемкостью $C_0$ в сосуд с водой температура воды изменяется незначительно, кроме того, оказываются существенными потери в окружающую среду.

В данной работе вам предлагается необычная методика измерения теплоемкости небольшого тела, внимательно разберитесь с теоретическим описанием этой методики (мы вам поможем!).

Часть 1. Изучение тепловых потерь в окружающую среду.

1.1 Измерьте температуру воздуха в комнате $t_0$ .

1.2 В центре крышки стакана проделайте небольшое отверстие для термометра, так чтобы он устойчиво стоял в стакане. Проделайте также в крышке отверстие для опускания исследуемого тела (для второй части работы). Залейте в стакан 200 г горячей воды (ее температура должна быть около $50^{\circ}C$ ), закройте крышку, вставьте термометр. Измерьте зависимость температуры воды в стакане от времени.

Теоретические подсказки.

Мощность тепловых потерь в окружающую среду пропорциональна разности температур воды $t$ и окружающего воздуха $t_0$ . Поэтому уравнение теплового баланса за малый промежуток времени $^1$ $\Delta\tau$ имеет вид

c_1 m_1 \Delta t = -\gamma(t - t_0)\Delta\tau, \qquad (1)

где $\Delta t$ - изменение температуры воды за этот промежуток времени, $c_1 = 4{,}2 \cdot 10^3\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ - удельная теплоемкость воды, $m_1$ - ее масса, $\gamma$ - постоянный коэффициент теплоотдачи.

Решением уравнения (1) является функция

(t - t_0) = (t_{\text{н}} - t_0)\exp\left(-\frac{\gamma}{c_1 m_1}\tau\right), \qquad (2)

где $t_{\text{н}}$ - начальная температура воды в стакане, $\exp(x) = e^x$ - функция экспонента.

$^1$ Чтобы не путать с температурами, время обозначаем символом $\tau$

1.3 Используя полученные экспериментальные данные, докажите применимость формулы (2) в данном случае. Рассчитайте значение коэффициента теплоотдачи $\gamma$ (не забудьте о погрешности!)

Часть 2. Теплоемкость тела.

Основная идея метода заключается в том, что тело опускают в горячую воду неоднократно, каждый раз охлаждая его до комнатной температуры, поэтому вода в стакане остывает быстрее.

Теоретические подсказки.

Пусть тело, имеющее теплоемкость $C_0$ и находящееся при температуре $t_0$ опускают в сосуд с водой, находящейся при температуре $t$ . Пренебрегая теплоемкостью сосуда и тепловыми потерями в окружающую среду, покажите, что количество теплоты, отданное водой пропорционально разности начальных температур воды и тела

Q = \beta(t - t_0) \qquad (3)

Выразите коэффициент пропорциональности $\beta$ через теплоемкость тела, удельную теплоемкость и массу воды в стакане.

Пусть охлажденное каждый раз тело опускают в сосуд через относительно небольшой промежуток времени $\delta\tau$ . В этом случае можно считать, что средняя мощность теплоты, предаваемого телу равна

P = \frac{Q}{\delta\tau} = \frac{\beta(t - t_0)}{\delta\tau}. \qquad (4)

Тогда уравнение теплового баланса (1) приобретет вид

c_1 m_1 \Delta t = -\gamma(t - t_0)\Delta\tau - \frac{\beta(t - t_0)}{\delta\tau}\Delta\tau, \qquad (5)

Иными словами, мы считаем, что теплота переходит от воды к телу непрерывно и постоянно. По аналогии с формулой (2) запишите решение уравнения (5).

2.1 Проведите измерения зависимости температуры воды в стакане, при неоднократном опускании охлажденного тела в стакан.

Рекомендуем следующую методику измерений: Залейте в стакан с крышкой и термометром горячую воду. Опустите в стакан охлажденное до комнатной температуры исследуемое тело, через 30 секунд извлеките его и поместите на следующих 30 секунд в холодную воду, находящуюся при комнатной температуре. После этого опять опустите охлажденное тело в сосуд горячей водой на 30 секунд, затем на 30 секунд в холодную воду и так далее… При этом фиксируйте времена при которых температура воды уменьшается на 1 градус. Будьте внимательны: вам необходимо следить за временами перемещения тела из сосуда в сосуд и за временем остывания воды. При таких измерениях промежуток времени $\delta\tau$ , фигурирующий в формуле (4), оказывается равным $\delta\tau = 60c$ .

2.2 Используя полученные экспериментальные данные, проверьте применимость решения уравнения (5) в описанном эксперименте.

2.3 Рассчитайте значение теплоемкости исследуемого тела.

Отговори

Решение

Часть 1. Изучение тепловых потерь в окружающую среду.

1.1 Температура воздуха в комнате равна $t_0 = (16{,}0 \pm 0{,}5)^{\circ}C$ .

1.2 Результаты измерения зависимости температуры воды в стакане приведены в Таблице 1. График зависимости показан на рис.1 (хотя по условию задачи его построение не требуется)

Таблица 1.

$t$ , °C	$\tau$ , с	$\ln(t - t_0)$
48	0	3,47
47	78	3,43
46	176	3,40
45	289	3,37
44	405	3,33
43	536	3,30
42	620	3,26
41	823	3,22
40	981	3,18

Для определения коэффициента теплоотдачи следует построить зависимость логарифма разности температур воды и окружающего воздуха от времени. Из формулы (2) условия задачи следует, что эта зависимость имеет вид

\ln(t - t_0) = \ln(t_{\text{н}} - t_0) - \frac{\gamma}{c_1 m_1}\tau. \qquad (1)

поэтому является линейной.

На рис. 2 показан график этой зависимости, построенный по экспериментальным данным. Экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость. По МНК можно найти коэффициент наклона графика, который оказался равным $a = -(2{,}90 \pm 0{,}13) \cdot 10^{-4}\ \text{с}^{-1}$ . Теоретическое значение этого коэффициента равно $a = -\frac{\gamma}{c_1 m_1}$ . Что дает возможность вычисления коэффициента теплоотдачи

\gamma = -ac_1 m_1 = 2{,}9 \cdot 10^{-4}\ \text{с}^{-1} \cdot 4{,}2 \cdot 10^3\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0{,}20\ \text{кг} = 0{,}24\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}},

С погрешностью $\Delta\gamma = \gamma\frac{\Delta a}{a} = 0{,}01\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}$ .

График температуры воды t (°C, 38–50) от времени τ (с, 0–1000): плавно убывающая кривая от 48 °C при 0 с до 40 °C при 981 с. — Рис.1 Зависимость температуры от времени (свободное остывание)

График ln(t − t0) (2,8–3,6) от времени τ (с, 0–1000): точки лежат на убывающей прямой от 3,47 до 3,18. — Рис. 2 Логарифмический масштаб

Часть 2. Теплоемкость тела.

Из уравнения теплового баланса для передачи теплоты от воды к телу

C_0(t_x - t_0) = c_1 m_1(t - t_x)

следует, что после установления теплового равновесия в сосуде установится температура равная

t_x = \frac{C_0 t_0 + c_1 m_1 t}{C_0 + c_1 m_1}.

Следовательно, тело получит (а вода отдаст) количество теплоты равное

Q = C_0(t_x - t_0) = C_0\left(\frac{C_0 t_0 + c_1 m_1 t}{C_0 + c_1 m_1} - t_0\right) = \frac{C_0 \cdot c_1 m_1}{C_0 + c_1 m_1}(t - t_0) \approx C_0(t - t_0).

Здесь учтено, что теплоемкость воды в сосуде значительно больше теплоемкости тела.

Таким образом, параметр $\beta$ в уравнении (3) условия просто равен искомой теплоемкости тела $C_0$ .

Уравнение (5) в условии совпадает с уравнением (1), если в нем положить $\gamma_1 = \gamma + \frac{C_0}{\delta\tau}$ .

Поэтому его решение имеет вид (2). Следовательно, для определения параметра $\gamma_1$ можно воспользоваться методикой, примененной ранее для нахождения параметра $\gamma$ .

В таблице 2 приведены результаты измерений зависимости температуры от времени при постоянном опускании исследуемого тела в стакан. На рис.3 построен график экспериментальной зависимости в логарифмическом масштабе.

Таблица 2.

$t$ , °C	$\tau$ , с	$\ln(t - t_0)$
51	0	3,56
50	20	3,53
49	76	3,50
48	129	3,47
47	195	3,43
46	247	3,40
45	306	3,37
44	370	3,33
43	475	3,30
42	553	3,26
41	623	3,22
40	720	3,18
39	792	3,14
38	865	3,09
37	995	3,04
36	1092	3,00
35	1231	2,94

Коэффициент наклона данного графика, найденный по МНК равен

a_1 = -(4{,}82 \pm 0{,}17) \cdot 10^{-4}\ \text{с}^{-1}

Следовательно, параметр

\gamma_1 = -a_1 c_1 m_1 = 4{,}8 \cdot 10^{-4}\ \text{с}^{-1} \cdot 4{,}2 \cdot 10^3\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0{,}20\ \text{кг} = 0{,}40\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}

с погрешностью $\Delta\gamma_1 = 0{,}01\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}$ .

Разность этих параметров равна

\gamma_1 - \gamma = \frac{C_0}{\delta\tau} = (0{,}16 \pm 0{,}02)\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}},

откуда следует, что теплоемкость исследуемого тела равна

C_0 = (\gamma_1 - \gamma)\delta\tau = (9{,}6 \pm 1{,}2)\ \frac{\text{Дж}}{\text{К}}.

Заметим, что при массе использованного нами железного болта массой примерно равной 20 г, получается практически табличное значение $\overline{C}_0 = cm = 0{,}46\ \frac{\text{Дж}}{\text{г} \cdot \text{К}} \cdot 20\ \text{г} = 9{,}2\ \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$ .

Таким образом, предложенная методика позволила измерить теплоемкость тела, которая значительно меньше теплоемкости воды в сосуде. При стандартной методике (опустить тело в сосуд и измерить уменьшение температуры), этого достичь невозможно!

График ln(t − t0) (2,8–3,6) от времени τ (с, 0–1200) при многократном опускании тела: точки лежат на убывающей прямой от 3,5 до 2,94. — Рис. 3 Логарифмический масштаб

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_experimental_solutions.pdf