Съдържание

Условие Часть 1. Исследование элемента Часть 2. Элемент и резистор Решение

BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 5. 10 класс — 2. На грани…

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Оригиналы содержат девять целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Каталог перечисляет только три задачи 9 класса и 18 частей; у них в оригинале 6+8+4 номерные группы. Здесь сохранены также полные самостоятельные комплекты 10 и 11 классов: всего девять задач и 52 основные группы, включая все внутренние запросы машинки и испарения.

Ключ 9.1 отсылает к первой части 11.1, а ключ 10.1 — к первой и второй частям 11.1. Здесь полностью переданы соответствующие исходные разделы решения. Перенос заряда относится только к 11.1. Сохранены все необязательные точные дополнения.

Время выполнения, баллы и таблицы распределения баллов не напечатаны. Комментарий ключа испарения допускает другие коэффициенты и 30% численную погрешность. Единственная полученная инструкция помечена 9 классом. Отдельных пустых графических бланков в этих оригиналах нет.

Сохранены исходные опечатки и противоречия: «растворы слои»; в путешествии 35 и 280 столбов ключа при 30 столбах торможения условия; в переносах лишнее $=x_k=$ и повтор (2.8); в пружинках $F_{\text{у}}$ вместо $F_{\text{у}n}$ и $ma$ для группы из $n$ тел; в «На грани» измененные номера пунктов и $I_0\sqrt2$ ; в машинке высота $h$ без множителя массы, переставленные 3.1/3.2 и исходный ответ пункта 5, равный нулю; в порометрии $\rho$ без водяного индекса в (2)/(3); в испарении $m=M/R$ , повтор (6), «молекул воздуха» условия при водяном потоке ключа и $(1-\varphi_0)$ последнего дополнения при подстановке 0.3. Исходные формулы, числа, графики и все методы переданы буквально.

Авторская обложка и инструкция 9 класса

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур.

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2010 г.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Удельное сопротивление металлов в жидком состоянии значительно больше, чем в твердом. Например, жидкая медь или жидкий свинец приблизительно в два раза хуже проводят электрический ток. При этом их плотность увеличивается очень незначительно. В этой задаче Вам предстоит исследовать резистор, находящийся на грани перехода из одного агрегатного состояния в другое.

Полный исходный элемент: жидкость/твердое тело, оболочка с обоими концами, x, плавление/кристаллизация и стрелки.

Исследуемый элемент изображен на рисунке. Непроводящая оболочка имеет незначительное сужение с одной стороны и расширение с другой. Это сделано для того, чтобы плавление твердого проводника начиналось слева, а кристаллизация справа. При расчетах пренебрегайте этими участками и считайте форму проводника цилиндрической. Также считайте, что граница раздела жидкой и твердой фаз всегда перпендикулярна оси системы (см. рисунок). В данной задаче температура исследуемого элемента будет всегда близка к температуре плавления (немного больше, немного меньше), поэтому можете пренебречь зависимостью удельного сопротивления материала от температуры.

Часть 1. Исследование элемента

Сопротивление проводника в твердом состоянии равно $R_0$ , а в жидком в два раза больше. Длина проводника равна l .

1.1 Чему равно сопротивление элемента, если длина расплавившейся области равна x? Оболочка элемента рассеивает тепло в атмосферу, причем мощность тепловых потерь прямо пропорциональна разности температур элемента и окружающей среды. Температура окружающей среды остается постоянной. Напряжение на элементе медленно увеличивают, и при некотором значении $U_0$ температура элемента достигает температуры плавления материала.

2.1 При каком напряжении материал элемента полностью расплавится?

3.1 Напряжение на элементе плавно увеличивается от 0,5U 0 до 2U 0 . Нарисуйте график зависимости сопротивления элемента от напряжения.

4.1 Изобразите вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента — зависимость тока от напряжения — в том же диапазоне, что и в предыдущем пункте.

Часть 2. Элемент и резистор

Последовательно к элементу подключают резистор с сопротивлением r = $R_0$ . На цепь подают напряжение U .

2.1 В каком интервале напряжений ( $U_{\mathrm{MIN}}$ и $U_{\mathrm{MAX}}$ ) материал элемента будет частично расплавлен?

2.2 Определите значение тока в цепи в трех различных случаях: U = $U_{\mathrm{MIN}}$ , U = $U_{\mathrm{MAX}}$ , U = ( $U_{\mathrm{MAX}}$ + $U_{\mathrm{MIN}}$ ) / 2 Последовательно к элементу подключают резистор с сопротивлением r = 2R 0 .

2.3 Как будет изменяться сила тока при медленном увеличении напряжения от 2U 0 до 4U 0 .

Решение

На грани. Решение

1.1 Сопротивление элемента равно сопротивлению двух последовательно соединенных проводников. Один (жидкий) имеет сопротивление:

R_{\text{Ж}}=2R_0\frac xl,\qquad (1)

другой (твердый):

R_{\text{Т}}=R_0\frac{l-x}l.\qquad (2)

Таким образом, сопротивление элемента равно:

R=R_0\left(1+\frac xl\right).\qquad (3)

1.2 Напряжение меняется медленно, поэтому в любой момент времени мощность тепловых потерь равна мощности тепловыделения вследствие протекания тока. Т. к. в течение плавления температура элемента не изменяется, то не изменяется и мощность тепловых потерь, а значит, выполняется условие:

\frac{U^2}R=\mathrm{const}=\frac{U_0^2}{R_0}.\qquad (4)

В расплавленном состоянии сопротивление элемента равно 2R 0 , следовательно, напряжение на элементе равно:

U=U_0\sqrt2.\qquad (5)

1.3 При напряжении меньшем $U_0$ (твердое состояние) сопротивление равно $R_0$ . При напряжении большем $U_0\sqrt2$ материал элемента полностью расплавлен и сопротивление равно 2 $R_0$ . Между этими значениями, исходя из (4), зависимость сопротивления элемента от напряжения имеет вид:

R=R_0\frac{U^2}{U_0^2}.\qquad (6)

График зависимости представлен на рисунке.

Полный исходный график R(U): R0/2R0,0.5U0/U0/√2U0/2U0,все участки и оси.

1.4 При напряжении меньшем $U_0$ и большем $U_0\sqrt2$ ВАХ элемента — прямая линия с наклоном $R_0$ и 2 $R_0$ соответственно. На участке плавления зависимость тока от напряжения имеет вид:

I=\frac UR=\frac{U_0^2}{R_0U}=\frac{U_0I_0}U,\qquad (7)

где $I_0$ = $U_0$ / $R_0$ . ВАХ элемента изображена на рисунке.

Полная исходная ВАХ I(U): I0,0.5I0,I0/√2,0.5U0/U0/√2U0/2U0,все участки и оси.

2.1 Плавление начнется, когда напряжение на элементе достигнет значения $U_0$ . Т. к. до этого материал элемента находился в твердом состоянии с сопротивлением $R_0$ , то плавление начнется, когда напряжение на всей цепи будет в два раза больше. Предположим, что напряжение на всей цепи достаточно высокое, чтобы материал элемента находился в расплавленном состоянии (сопротивление 2 $R_0$ ). Начнем постепенно уменьшать напряжение. Кристаллизация начинается при напряжении на элементе $U_0\sqrt2$ . Тогда напряжение на всей цепи равно $3U_0/\sqrt2$ . Таким образом материал элемента будет частично расплавлен при:

U\in\left(2U_0;\frac3{\sqrt2}U_0\right).\qquad (8)

2.2 Сила тока в цепи в крайних случаях очевидно равна $I_0=U_0/R_0$ и $I_0\sqrt2$ . Когда элемент находится в промежуточном состоянии, сила тока определяется решением уравнения:

IR_0+\frac{I_0U_0}I=U,\qquad (9)

где IR0 — напряжение на резисторе; $I_0U_0/I$ — напряжение на элементе. Решение этого уравнения имеет вид:

I=\frac{U\pm\sqrt{U^2-4R_0I_0U_0}}{2R_0}=\frac{U\pm\sqrt{U^2-4U_0^2}}{2R_0}=\frac{U_0}{R_0}\left(\frac{U/U_0\pm\sqrt{U^2/U_0^2-4}}2\right).\qquad (10)

Подставляя значение $U=U_0\left((2+3/\sqrt2)/2\right)$ , получим два решения:

I=1{,}28\frac{U_0}{R_0},\qquad (11)

I=0{,}782\frac{U_0}{R_0}.\qquad (12)

Очевидно, что решение (11) не имеет смысла, т. к. при таком токе материал элемента полностью расплавлен. Поэтому верным является решение (12).

2.3 Вначале определим, при каком напряжении элемент начинает плавиться, а при каком кристаллизоваться. Рассуждая аналогично п.2.1, получим: $U_{\mathrm{MIN}}$ = 3U 0 и $U_{\mathrm{MAX}}=2\sqrt2U_0=2.82U_0$ , что выглядит довольно противоречиво. Попробуем решить задачу с помощью ВАХ элемента. Для определения тока необходимо решить уравнение:

U_{\text{ЭЛ}}+U_{\text{РЕЗ}}=U,\qquad (13)

или в другой форме:

U_{\text{ЭЛ}}=U-2R_0I.\qquad (14)

Точка пересечения ВАХ элемента с прямой U − 2R 0 I даст решение уравнения.

На графике изображены четыре прямых, соответствующих различным напряжениям. Видим, что при некоторых напряжениях (прямые 2 и 3), одновременно существуют два решения. Одно — при сопротивлении элемента $R_0$ , другое — при 2R 0 . Прямые, проходящие между 2 и 3, пересекают ВАХ три раза. Однако заметим, что для того, чтобы «перепрыгнуть» с прямолинейного участка ВАХ в точку В или в точку, лежащую на гиперболическом участке, материал элемента должен начать плавиться. А этого не произойдет до тех пор, пока напряжение на нем не достигнет $U_0$ (точка А). Поэтому, вплоть до напряжения на всей цепи $U_{\mathrm{MIN}}$ = 3U 0 , ток будет линейно увеличиваться от значения $2U_0/(3R_0)=\frac23I_0=0{,}67I_0$ до $3U_0/(3R_0)=I_0$ .

Полная исходная ВАХ с четырьмя нагрузочными прямыми: A/B,номера1–4,шкалы,все пересечения и оси.

При дальнейшем увеличении напряжения сразу произойдет переход на второй прямолинейный участок ВАХ. Физически это означает, что как только начинается плавление и сопротивление элемента возрастает, мощность, выделяемая в проводнике, становится больше рассеиваемой мощности. Поэтому устойчивые состояния с частично расплавленным материалом не реализуются. Таким образом, ток в цепи достаточно быстро (за время, необходимое для плавления материала) уменьшится до значения $3U_0/(4R_0)=\frac34I_0=0{,}75I_0$ . Затем ток будет линейно увеличиваться до значения

\frac{4U_0}{4R_0}=I_0.

График зависимости тока в цепи от напряжения представлен на рисунке.

Полный исходный график I(U) при нагревании: I0/0.75I0,2U0/3U0/4U0,оба линейных участка,скачок и оси.

Заметим, что при уменьшении напряжения зависимость тока от напряжения несколько изменится, т. к. переход из жидкого состояния в твердое начнется при достижении точки В, т. е. при напряжении $U_{\mathrm{MAX}}=2\sqrt2U_0=2.82U_0$ .

Решения задач — авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_theoretical_solutions.pdf