Съдържание

Условие Часть 1. Перенос вещества.Часть 2. Перенос теплоты «вручную».Решение

BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 4. 10 класс — 1. Переносы…

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Оригиналы содержат девять целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Каталог перечисляет только три задачи 9 класса и 18 частей; у них в оригинале 6+8+4 номерные группы. Здесь сохранены также полные самостоятельные комплекты 10 и 11 классов: всего девять задач и 52 основные группы, включая все внутренние запросы машинки и испарения.

Ключ 9.1 отсылает к первой части 11.1, а ключ 10.1 — к первой и второй частям 11.1. Здесь полностью переданы соответствующие исходные разделы решения. Перенос заряда относится только к 11.1. Сохранены все необязательные точные дополнения.

Время выполнения, баллы и таблицы распределения баллов не напечатаны. Комментарий ключа испарения допускает другие коэффициенты и 30% численную погрешность. Единственная полученная инструкция помечена 9 классом. Отдельных пустых графических бланков в этих оригиналах нет.

Сохранены исходные опечатки и противоречия: «растворы слои»; в путешествии 35 и 280 столбов ключа при 30 столбах торможения условия; в переносах лишнее $=x_k=$ и повтор (2.8); в пружинках $F_{\text{у}}$ вместо $F_{\text{у}n}$ и $ma$ для группы из $n$ тел; в «На грани» измененные номера пунктов и $I_0\sqrt2$ ; в машинке высота $h$ без множителя массы, переставленные 3.1/3.2 и исходный ответ пункта 5, равный нулю; в порометрии $\rho$ без водяного индекса в (2)/(3); в испарении $m=M/R$ , повтор (6), «молекул воздуха» условия при водяном потоке ключа и $(1-\varphi_0)$ последнего дополнения при подстановке 0.3. Исходные формулы, числа, графики и все методы переданы буквально.

Авторская обложка и инструкция 9 класса

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур.

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2010 г.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Часть 1. Перенос вещества.

В двух сосудах A и В находятся растворы слои в воде. Начальные концентрации растворов равны $x_0$ в сосуде А и $y_0$ в сосуде В. Объемы растворов одинаковы и равны V . Под концентрацией раствора понимается отношение массы растворенного вещества к объему раствора. Для перемешивания растворов используют небольшой сосуд объема v . Этот сосуд полностью заполняют раствором из сосуда А и вливают в сосуд В, затем получившийся раствор хорошо перемешивают и заполняют им сосуд v , и вливают в сосуд А. После этого цикл повторяют. Обозначим $x_k$ , $y_k$ - концентрации растворов в сосудах А и В, соответственно, после k циклов переливания (один цикл – два переливания из первого во второй, а затем из второго в первый).

Полная родная повторная схема переноса вещества для10класса: A/В, V, xk/yk, v и стрелка.

1.7 Найдите начальные массы растворенных веществ в обоих сосудах.

1.8 Найдите концентрации растворов $x_1$ , $y_1$ после одного цикла переливаний.

1.9 Найдите разность концентраций растворов после одного переливания ( $y_1$ − $x_0$ ) .

1.10 Найдите разность концентраций растворов после второго переливания ( $x_1$ − $y_1$ ) .

1.11 Найдите концентрации растворов $x_k$ , $y_k$ после k циклов переливания (получите явные выражения для этих концентраций чрез начальные концентрации и объемы сосудов)

Часть 2. Перенос теплоты «вручную».

В двух сосудах A и В находятся вода. Начальные температуры воды равны $x_0$ в сосуде А и $y_0$ в сосуде В. Массы воды в обоих сосудах одинаковы и равны m , удельная теплоемкость воды равна c . Для выравнивания температур используется небольшое тело теплоемкость которого равна $C_0$ . Первоначально это тело находится в сосуде А. Его достают и перемещают в сосуд В, после установления теплового равновесия возвращают в сосуд А, после этого цикл повторяют. Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

2.1 Найдите температуры воды в сосудах $x_k$ , $y_k$ после k циклов переноса теплоты.

Решение

Смотри решение первой и второй частей задачи 11.1.

Часть 1 Перенос вещества.

Для решения данной задачи необходимо последовательно рассмотреть изменения концентраций растворов при каждом переливании. Понятно, что при сливании растворов будут сохраняться суммарная масса растворенного вещества и их общий объем.

1.1 Массы растворенного вещества в сосудах и их общая масса определяются по очевидным формулам

m_A=x_0V;\quad m_B=y_0V\Rightarrow m_0=x_0V+y_0V.\qquad (1.1)

1.2 При наполнении малого сосуда в него попадет масса раствора, равная $\delta m_{A\to B}$ = $x_0$ v . Эта масса попадет во второй сосуд, поэтому масса растворенного вещества во втором сосуде окажется равной $m_B$ = $y_0V$ + $\delta m_{A\to B}$ = $y_0V$ + $x_0$ v , а его концентрация станет равной

y_1=\frac{m_B}{V+v}=\frac{y_0V+x_0v}{V+v}.\qquad (1.2)

Зачерпнув из второго сосуда, мы «захватим» массу растворенного вещества равную $\delta m_{B\to A}$ = $y_1v$ . Она попадет в первый сосуд, при этом концентрация раствора в этом сосуде станет равной

\begin{aligned}x_1&=\frac{x_0(V-v)+y_1v}{(V-v)+v}=\frac{x_0(V-v)+\frac{y_0V+x_0v}{V+v}v}{V}\\&=\frac{x_0(V^2-v^2)+y_0Vv+x_0v^2}{V(V+v)}=\frac{x_0V^2+y_0Vv}{V(V+v)}=\frac{x_0V+y_0v}{V+v}.\end{aligned}\qquad (1.3)

1.3 Расчет разностей концентраций требует только аккуратности в алгебраических преобразованиях:

y_1-x_0=\frac{y_0V+x_0v}{V+v}-x_0=\frac{y_0V+x_0v-x_0V-x_0v}{V+v}=(y_0-x_0)\frac V{V+v}.\qquad (1.4)

x_1-y_1=\frac{x_0V+y_0v}{V+v}-\frac{y_0V+x_0v}{V+v}=\frac{x_0(V-v)+y_0(v-V)}{V+v}=(x_0-y_0)\frac{V-v}{V+v}.\qquad (1.5)

Полученная формула является основой дальнейшего решения: разность концентраций после одного цикла уменьшается в

\lambda=\frac{V-v}{V+v}\qquad (1.6)

раз. Это соотношение можно обобщить на любой следующий полный цикл переливания

x_k-y_k=\lambda(x_{k-1}-y_{k-1}).\qquad (1.7)

Следовательно, разности концентраций образую геометрическую прогрессию, поэтому разность концентрации можно выразить в явном виде.

x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k.\qquad (1.8)

1.4 Массы растворенных веществ выражаются через концентрации растворов

m_{Ak}=x_kV;\quad m_{Bk}=y_kV.\qquad (1.9)

Общая масса этого вещества осталась неизменной, определяемой по формуле (1). Поэтому можно выразить и сумму концентраций растворов

(x_k+y_k)V=(x_0+y_0)V\Rightarrow x_k+y_k=x_0+y_0.\qquad (1.10)

1.5 Таким образом, мы получили два уравнения (1.8) и (1.10) для определения концентраций растворов, решение которых представляет чисто техническую проблему, складывая эти уравнения получим концентрацию раствора в первом сосуде

\begin{cases}x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k,\\x_k+y_k=x_0+y_0\end{cases}\Rightarrow x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k).\qquad (1.11)

Концентрацию раствора во втором сосуде можно выразить из уравнения (1.8):

\begin{aligned}y_k&=x_k-(x_0-y_0)\lambda^k=x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k)-(x_0-y_0)\lambda^k\\&=\frac12x_0(1-\lambda^k)+\frac12y_0(1+\lambda^k).\end{aligned}\qquad (1.12)

Наконец, подставляя значение параметра $\lambda$ , получим выражения для концентраций через известные исходные параметры

x_k=\frac12x_0\left(1+\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right)+\frac12y_0\left(1-\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right).\qquad (1.13)

y_k=\frac12x_0\left(1-\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right)+\frac12y_0\left(1+\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right).\qquad (1.14)

Часть 2. Перенос теплоты «вручную».

Эта задача практически полностью аналогична первой части. Аналогом массы растворенного вещества служит количество переданной теплоты, а аналогом концентрации раствора – температура. Поэтому следует ожидать, что разности температур после одного цикла переноса («туда и обратно») будут составлять геометрическую процессию. Так в после опускания тела (имеющего температуру равную начальной температуре в первом сосуде), установится температура $y_1$ , которую можно найти из уравнения теплового баланса 2

C_0(x_0-y_1)=cm(y_1-y_0)\Rightarrow y_1=\frac{C_0x_0+cmy_0}{C_0+cm}.\qquad (2.1)

Аналогичное уравнение можно записать для определения установившуюся температуру в первом сосуде, после повторного опуская тела

C_0(x_1-y_1)=cm(x_0-x_1)\Rightarrow x_1=\frac{cmx_0+C_0y_1}{C_0+cm}.\qquad (2.2)

Вычислив разности температур после первого цикла переноса

\begin{aligned}x_1-y_1&=\frac{cmx_0+C_0y_1}{C_0+cm}-y_1=\frac{cmx_0-cmy_1}{C_0+cm}\\&=\frac{cmx_0-cm\frac{C_0x_0+cmy_0}{C_0+cm}}{C_0+cm}=\left(\frac{cm}{C_0+cm}\right)^2(x_0-y_0),\end{aligned}\qquad (2.3)

видим, что аналогичное соотношения справедливо для любого цикла переноса, поэтому соотношение (3) показывает, что разности температур изменяются в геометрической прогрессии

x_k-y_k=(x_0-y_0)\left(\frac{cm}{cm+C_0}\right)^{2k}=(x_0-y_0)\lambda^k.\qquad (2.4)

² В принципе, можно записывать уравнения вида (4) из первой части, истолковывая их в духе закона сохранения энергии. Однако мы предпочитаем более традиционную запись в виде уравнений теплового баланса.

где обозначено

\lambda=\left(\frac{cm}{cm+C_0}\right)^2.\qquad (2.5)

Теперь запишем уравнения теплового баланса для теплоты, перенесенной за k циклов:

(cm+C_0)(x_k-x_0)=cm(y_0-y_k).\qquad (2.6)

Это уравнение перепишем в виде:

(cm+C_0)x_k+cmy_k=(cm+C_0)x_0+cmy_0.\qquad (2.7)

Так тело, с помощью которого осуществляется перенос теплоты, является малым, то в уравнении (6) можно считать, что $C_0\ll cm$ , и пренебречь малой теплоемкостью $C_0$ . В этом случае получим

x_k+y_k=x_0+y_0.\qquad (2.8)

Заметим, что использовать такое приближение в формуле (2.5) нельзя, так в этом случае $\lambda$ = 1 и никакого переноса теплоты не будет. Таким образом, мы получаем систему уравнений (2.4) и (2.8), для определения температур воды в сосудах, что и система уравнений (1.8) и (1.10) для определения концентраций. Поэтому температуры воды в сосудах будут определяться такими же соотношениями, как и выражения (1.11)-(1.12) для концентраций:

x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k),\qquad (2.8)

y_k=\frac12x_0(1-\lambda^k)+\frac12y_0(1+\lambda^k).\qquad (2.9)

Только в этих выражениях параметр $\lambda$ определяется по формуле (2.5)

Не обязательное дополнение. Использование приближения $C_0\ll cm$ не является обязательным. Можно точно решить и систему уравнений (2.4) и точного уравнения (2.7). Эти уравнение образуют систему, из которой не сложно найти явные выражения для температур воды в сосудах. В первом:

\begin{cases}x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k,\\\frac{cm+C_0}{cm}x_k+y_k=\frac{cm+C_0}{cm}x_0+y_0\end{cases}\Rightarrow x_k=\frac{C_0}{2cm+C_0}x_0+\frac{cm}{2cm+C_0}\left(x_0(1+\lambda^k)+y_0(1-\lambda^k)\right).

Во втором:

y_k=x_k-(x_0-y_0)\lambda^k=\frac{cm+C_0}{2cm+C_0}\left(x_0(1-\lambda^k)+y_0(1+\lambda^k)\right)-\frac{C_0}{2cm+C_0}y_0.

Если теперь положить $C_0<cm$ , то они переходят в формулы (2.8)-(2.9)

Решения задач — авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_theoretical_solutions.pdf