Съдържание

BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 3. 9 класс — 3. Пружинки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Оригиналы содержат девять целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Каталог перечисляет только три задачи 9 класса и 18 частей; у них в оригинале 6+8+4 номерные группы. Здесь сохранены также полные самостоятельные комплекты 10 и 11 классов: всего девять задач и 52 основные группы, включая все внутренние запросы машинки и испарения.

Ключ 9.1 отсылает к первой части 11.1, а ключ 10.1 — к первой и второй частям 11.1. Здесь полностью переданы соответствующие исходные разделы решения. Перенос заряда относится только к 11.1. Сохранены все необязательные точные дополнения.

Время выполнения, баллы и таблицы распределения баллов не напечатаны. Комментарий ключа испарения допускает другие коэффициенты и 30% численную погрешность. Единственная полученная инструкция помечена 9 классом. Отдельных пустых графических бланков в этих оригиналах нет.

Сохранены исходные опечатки и противоречия: «растворы слои»; в путешествии 35 и 280 столбов ключа при 30 столбах торможения условия; в переносах лишнее $=x_k=$ и повтор (2.8); в пружинках $F_{\text{у}}$ вместо $F_{\text{у}n}$ и $ma$ для группы из $n$ тел; в «На грани» измененные номера пунктов и $I_0\sqrt2$ ; в машинке высота $h$ без множителя массы, переставленные 3.1/3.2 и исходный ответ пункта 5, равный нулю; в порометрии $\rho$ без водяного индекса в (2)/(3); в испарении $m=M/R$ , повтор (6), «молекул воздуха» условия при водяном потоке ключа и $(1-\varphi_0)$ последнего дополнения при подстановке 0.3. Исходные формулы, числа, графики и все методы переданы буквально.

Авторская обложка и инструкция 9 класса

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур.

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2010 г.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

1.1 Два одинаковых бруска массой $m$ каждый, соединенные легкой пружиной с коэффициентом упругости $k$ , движутся по горизонтальной плоскости под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ , приложенной к одному из них. Найдите установившееся абсолютное удлинение пружины $\Delta x$ в зависимости от модуля $F$ приложенной силы. Коэффициент трения брусков о плоскость — $\mu$ . Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Полная схема двух брусков: оба m, k, F, стрелки и g.

1.2 Два одинаковых шара, соединенные легкой пружиной жесткости $k$ , движутся в вязкой среде под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ , приложенной к одному из них. Известно, что при движении такого шара в вязкой среде со скоростью $\vec\upsilon$ на него действует сила сопротивления $\vec F_{\text{сопр}}=-\beta\cdot\vec\upsilon$ , где $\beta$ — некоторый постоянный для данной среды коэффициент. Найдите установившееся абсолютное удлинение пружины $\Delta x$ в зависимости от модуля $F$ приложенной силы. Силами сухого трения пренебречь.

Полная схема двух шаров в вязкой среде, пружина k, F и стрелка.

1.3 $N$ одинаковых брусков массой $m$ каждый, соединенные легкими пружинами с коэффициентом упругости $k$ каждая, движутся по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $\mu$ под действием постоянной горизонтальной силы $\vec F$ , приложенной к одному из брусков. Найдите суммарное установившееся удлинение всех пружин $\Delta x_{\text{общ}}$ в зависимости от модуля приложенной силы $F$ . Силой сопротивления воздуха пренебречь.

Полная цепочка N брусков: все m, k, N, F, g и стрелки.

1.4 $N$ одинаковых шаров, соединенных легкими пружинами жесткости $k$ , движутся в вязкой среде. Известно, что при движении такого шара в вязкой среде со скоростью $\vec\upsilon$ на него действует сила сопротивления $\vec F_{\text{сопр}}=-\beta\cdot\vec\upsilon$ , где $\beta$ — некоторый постоянный для данной среды коэффициент. Найдите зависимость суммарного установившегося удлинения пружин $\Delta x_{\text{общ}}$ от модуля приложенной силы $F$ . Силами сухого трения пренебречь.

Полная цепочка N шаров в вязкой среде: k, N, F и стрелки.

Решение

1.1 Ускорение а системы, образованной двумя брусками, найдем из второго закона Ньютона

2ma=F-2F_{\text{тр}}=F-2\mu mg,\qquad (1)

где $F_{\text{тр}}=F_{\text{тр}1}=F_{\text{тр}2}$ сила трения, действующая на каждый из брусков.

Полная схема сил двух брусков: все F/Fтр1/Fтр2,N1/N2,mg,m,k,g и стрелки.

Поскольку силы упругости пружины в данном случае являются внутренними (действуют на оба бруска), то в уравнение (1) они не вошли (на рисунке не отмечены). Из (1) получим

a=\frac{F-2\mu mg}{2m}.\qquad (2)

Подчеркнем, что при записи (1) и (2) предполагается (и следует из условия задачи), что выполняется условие F > 2μmg . Теперь применим второй закон Ньютона к движению левого бруска 2, который ускоряется под действием силы упругости пружины $\vec F_{\text{у}}$ и силы трения $\vec F_{\text{тр}2}$

Полная схема сил левого бруска2: m,N2,mg,Fу,Fтр2 и все стрелки.

ma=F_{\text{у}}-F_{\text{тр}2}=F_{\text{у}}-\mu mg.\qquad (3)

Выражая из (3) значение силы упругости $F_{\text{у}}$ пружины, найдем

ma=m\frac{F-2\mu mg}{2m}=F_{\text{у}}-\mu mg.\qquad (4)

Из (4) следует, что $F_{\text{у}}=F/2$ , следовательно, согласно закону Гука

F_{\text{у}}=\frac F2=k\Delta x\Rightarrow\Delta x=\frac F{2k}.\qquad (5)

Как следует из (5), абсолютное удлинение пружины $\Delta x$ в данном случае прямо пропорционально модулю F силы, приложенной к одному из брусков. Интересно, что коэффициент трения μ брусков о плоскость не вошел в окончательный ответ.

1.2 Под действием внешней силы шары начнут ускоряться по горизонтальной плоскости (сухим трением, согласно условию, можно пренебречь). По мере роста скорости шаров будут увеличиваться модули сил сопротивления $\vec F_{\text{сопр}}$ , действующих на них в системе, причем, поскольку скорости шаров одинаковы, то $F_{\text{сопр}1}=F_{\text{сопр}2}$ . Следовательно, при некоторой скорости $\upsilon_1=\mathrm{const}$ сумма сил сопротивления сравняется по модулю с силой $\vec F$ , после чего разгон системы прекратится (движение установится, т.е. ее ускорение станет равным нулю $a=0$ ).

Полная схема сил двух шаров: F,Fсопр1/Fсопр2,m,k и все стрелки.

Запишем второй закон Ньютона для установившегося движения системы шаров

2ma=0=F-2F_{\text{сопр}}=F-2\beta\upsilon_1.\qquad (6)

Поскольку силы упругости пружины в данном случае являются внутренними (действуют на оба шара), то в уравнение (6) они не вошли. Из (6) следует, что

F_{\text{сопр}}=\frac F2.

Аналогично применяя второй закон Ньютона к установившемуся движению шара 2, получим

Полная схема сил шара2: Fу,Fсопр2,m и все стрелки.

ma=0=F_{\text{у}}-F_{\text{сопр}2}.\qquad (7)

Из (7) найдем модуль силы упругости

F_{\text{у}}=F_{\text{сопр}2}=\frac F2.\qquad (8)

Применяя закон Гука, находим абсолютное удлинение пружины $\Delta x$ в зависимости от модуля F приложенной силы

F_{\text{у}}=\frac F2=k\Delta x\Rightarrow\Delta x=\frac F{2k}.\qquad (9)

Как следует из (9), абсолютное удлинение пружины $\Delta x$ в данном случае также прямо пропорционально модулю F силы, приложенной к одному из шаров. Опять же интересно, что коэффициент сопротивления $\beta$ также не вошел в окончательный ответ.

1.3 В случае произвольного количества N брусков действуем аналогично пункту 1.1 задачи. Рассмотрим все бруски как целое (систему), имеющую массу М = N ⋅m. Силы упругости пружин в данном случае опять являются внутренними (действуют попарно) и их можно не учитывать при записи второго закона Ньютона

Полная схема сил N брусков: N,F,Fтр1/2/N,m,k,g и все стрелки.

Nma=F-NF_{\text{тр}}=F-N\mu mg.\qquad (10)

Из (10) найдем ускорение системы как целого

a=\frac{F-N\mu mg}{Nm}.\qquad (11)

Далее рассмотрим n –ый брусок от конца цепочки. Сила упругости n –ой пружины $F_{\text{у}n}$ , действующая на него слева, разгоняет n брусков, следовательно, второй закон Ньютона для системы рассматриваемых брусков примет вид

Полная схема сил n брусков: n,Fуn,FтрN,m,k,g и все стрелки.

nma=F_{\text{у}n}-nF_{\text{тр}}=F_{\text{у}}-n\mu mg.\qquad (12)

Из (12) найдем модуль $F_{\text{у}n}$ силы упругости n –ой пружины

F_{\text{у}n}=\frac nNF.\qquad (13)

Согласно (13) натяжение пружин цепочки возрастает пропорционально номеру n пружины от конца цепочки. Следовательно, минимальное натяжение будет у пружины с номером n = 1 (в конце цепочки), а максимальное — с номером n = N − 1 , у пружины в начале цепочки, прикрепленной к грузу, на который действует сила $\vec F$ . Аналогично будет вести себя и абсолютная деформация n –ой пружины

\Delta x_n=\frac{F_{\text{у}n}}k=\frac nN\frac Fk.\qquad (14)

Как следует из (14) для нахождения суммарного удлинения всех пружин $\Delta x_{\text{общ}}$ необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии

\Delta x_{\text{общ}}=\Delta x_1+\Delta x_2+\ldots+\Delta x_{N-1}=\sum_{n=1}^{N-1}\Delta x_n.\qquad (15)

При записи (15) учтено, что между N брусками расположено N − 1 пружина. Суммирование дает

\Delta x_{\text{общ}}=\Delta x_1+\Delta x_2+\ldots+\Delta x_{N-1}=\frac1N\frac Fk+\frac2N\frac Fk+\ldots+\frac{N-1}N\frac Fk=\frac F{Nk}(1+2+\ldots+(N-1))=\frac Fk\frac{N-1}2.\qquad (16)

Окончательный ответ

\Delta x_{\text{общ}}=\frac Fk\frac{N-1}2.\qquad (17)

1.4 Поведение системы из N шаров, движущихся в вязкой среде, будет аналогично поведению двух шаров, рассмотренных в пункте 1.2 задачи — с течением времени скорости шаров перестанут меняться, т.е. примут некоторое установившееся значение $\upsilon_2$ . (ускорение системы станет равным нулю a = 0 ). Деформации пружин при этом также будут оставаться неизменными. Запишем второй закон Ньютона для установившегося движения системы (ускорение равно нулю)

Полная схема N шаров в вязкой среде: N,F,все Fсопр,m,k и стрелки.

F-NF_{\text{сопр}}=0\Rightarrow F_{\text{сопр}}=\frac FN.\qquad (18)

Опять же рассмотрим n –ый шарик от конца цепочки. Сила упругости n –ой пружины $F_{\text{у}n}$ , действующая на него слева, движет n брусков, следовательно, второй закон Ньютона для рассматриваемых шариков примет вид

ma=0=F_{\text{у}n}-nF_{\text{сопр}}\Rightarrow F_{\text{у}n}=\frac nNF.\qquad (19)

Как видим результат (19) полностью аналогичен выражению (13) для предыдущего пункта задачи. Следовательно, суммарное удлинение пружин $\Delta x_{\text{общ}}$ в данном случае также можно просчитать как сумму соответствующей арифметической прогрессии

\Delta x_{\text{общ}}=\Delta x_1+\Delta x_2+\ldots+\Delta x_{N-1}=\frac F{Nk}(1+2+\ldots+(N-1))=\frac Fk\frac{N-1}2.\qquad (20)

Окончательный ответ

\Delta x_{\text{общ}}=\frac Fk\frac{N-1}2.\qquad (21)

При большом числе шаров ( N → ∞ ) единицей в числителе (21) можно пренебречь. В таком случае выражение для суммарного удлинения принимает вид

\Delta x_{\text{общ}}\approx\frac Fk\frac N2.

Интересно, что при рассмотрении различных механизмов трения (сухого и вязкого) окончательные результаты (17) и (21) для суммарного удлинения систем совпали. Подумайте самостоятельно, всегда ли будет иметь место подобное совпадение.

Решения задач — авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_theoretical_solutions.pdf