Съдържание

Условие Часть 1. Перенос вещества.Часть 2. Перенос теплоты «вручную».Часть 3. Перенос заряда.Решение

BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 7. 11 класс — 1. Переносы…

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Оригиналы содержат девять целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Каталог перечисляет только три задачи 9 класса и 18 частей; у них в оригинале 6+8+4 номерные группы. Здесь сохранены также полные самостоятельные комплекты 10 и 11 классов: всего девять задач и 52 основные группы, включая все внутренние запросы машинки и испарения.

Ключ 9.1 отсылает к первой части 11.1, а ключ 10.1 — к первой и второй частям 11.1. Здесь полностью переданы соответствующие исходные разделы решения. Перенос заряда относится только к 11.1. Сохранены все необязательные точные дополнения.

Время выполнения, баллы и таблицы распределения баллов не напечатаны. Комментарий ключа испарения допускает другие коэффициенты и 30% численную погрешность. Единственная полученная инструкция помечена 9 классом. Отдельных пустых графических бланков в этих оригиналах нет.

Сохранены исходные опечатки и противоречия: «растворы слои»; в путешествии 35 и 280 столбов ключа при 30 столбах торможения условия; в переносах лишнее $=x_k=$ и повтор (2.8); в пружинках $F_{\text{у}}$ вместо $F_{\text{у}n}$ и $ma$ для группы из $n$ тел; в «На грани» измененные номера пунктов и $I_0\sqrt2$ ; в машинке высота $h$ без множителя массы, переставленные 3.1/3.2 и исходный ответ пункта 5, равный нулю; в порометрии $\rho$ без водяного индекса в (2)/(3); в испарении $m=M/R$ , повтор (6), «молекул воздуха» условия при водяном потоке ключа и $(1-\varphi_0)$ последнего дополнения при подстановке 0.3. Исходные формулы, числа, графики и все методы переданы буквально.

Авторская обложка и инструкция 9 класса

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур.

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2010 г.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

Часть 1. Перенос вещества.

В двух сосудах A и В находятся растворы слои в воде. Начальные концентрации растворов равны $x_0$ в сосуде А и $y_0$ в сосуде В. Объемы растворов одинаковы и равны V . Под концентрацией раствора понимается отношение массы растворенного вещества к объему раствора. Для перемешивания растворов используют небольшой сосуд объема v . Этот сосуд полностью заполняют раствором из сосуда А и вливают в сосуд В, затем получившийся раствор хорошо перемешивают и заполняют им сосуд v , и вливают в сосуд А. После этого цикл повторяют. Обозначим $x_k$ , $y_k$ - концентрации растворов в сосудах А и В, соответственно, после k циклов переливания (один цикл – два переливания из первого во второй, а затем из второго в первый).

1.12 Найдите начальные массы растворенных веществ в обоих сосудах.

1.13 Найдите концентрации растворов $x_1$ , $y_1$ после одного цикла переливаний.

1.14 Найдите разность концентраций растворов после одного переливания ( $y_1$ − $x_0$ ) .

1.15 Найдите разность концентраций растворов после второго переливания ( $x_1$ − $y_1$ ) .

1.16 Найдите концентрации растворов $x_k$ , $y_k$ после k циклов переливания (получите явные выражения для этих концентраций чрез начальные концентрации и объемы сосудов)

Часть 2. Перенос теплоты «вручную».

В двух сосудах A и В находятся вода. Начальные температуры воды равны $x_0$ в сосуде А и $y_0$ в сосуде В. Массы воды в обоих сосудах одинаковы и равны m , удельная теплоемкость воды равна c . Для выравнивания температур используется небольшое тело теплоемкость которого равна $C_0$ . Первоначально это тело находится в сосуде А. Его достают и перемещают в сосуд В, после установления теплового равновесия возвращают в сосуд А, после этого цикл повторяют. Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

2.2 Найдите температуры воды в сосудах $x_k$ , $y_k$ после k циклов переноса теплоты.

Часть 3. Перенос заряда.

Два одинаковых проводящих шара, радиусы которых равны R , находятся на большом расстоянии друг от друга и несут электрические заряды одного знака равные $x_0$ и $y_0$ . Для переноса заряда используют небольшой проводящий шарик радиуса r . Маленьким шариком касаются первого шара переносят ко второму и прикасаются к нему, после этого шарик подносят к и

Полная схема переноса заряда: оба R, зарядыxk/yk, малый шарик r и вся стрелка.

касаются первого шара, далее этот цикл повторяют. Обозначим $x_k$ , $y_k$ - заряды шаров после k циклов переноса (один цикл – два переноса заряда из первого на второй, а затем из второго на первый).

3.1 Пусть на шаре радиуса R находится заряд Q , если к этому шару поднести небольшой шарик радиуса r , то на этот шарик перейдет заряд равный q = $\gamma$ Q . Оцените коэффициент $\gamma$ в данной формуле. В дальнейшем считайте его известным.

3.2 Найдите заряды шаров $x_k$ , $y_k$ после k циклов переноса заряда.

3.3 Пусть $x_0/y_0=10$ , $\gamma=0{,}10$ . Сколько циклов переноса заряда необходимо совершить, чтобы относительная разность зарядов шаров стала меньшей 1,0%?

Решение

Часть 1 Перенос вещества.

Для решения данной задачи необходимо последовательно рассмотреть изменения концентраций растворов при каждом переливании. Понятно, что при сливании растворов будут сохраняться суммарная масса растворенного вещества и их общий объем.

1.1 Массы растворенного вещества в сосудах и их общая масса определяются по очевидным формулам

m_A=x_0V;\quad m_B=y_0V\Rightarrow m_0=x_0V+y_0V.\qquad (1.1)

1.2 При наполнении малого сосуда в него попадет масса раствора, равная $\delta m_{A\to B}$ = $x_0$ v . Эта масса попадет во второй сосуд, поэтому масса растворенного вещества во втором сосуде окажется равной $m_B$ = $y_0V$ + $\delta m_{A\to B}$ = $y_0V$ + $x_0$ v , а его концентрация станет равной

y_1=\frac{m_B}{V+v}=\frac{y_0V+x_0v}{V+v}.\qquad (1.2)

Зачерпнув из второго сосуда, мы «захватим» массу растворенного вещества равную $\delta m_{B\to A}$ = $y_1v$ . Она попадет в первый сосуд, при этом концентрация раствора в этом сосуде станет равной

\begin{aligned}x_1&=\frac{x_0(V-v)+y_1v}{(V-v)+v}=\frac{x_0(V-v)+\frac{y_0V+x_0v}{V+v}v}{V}\\&=\frac{x_0(V^2-v^2)+y_0Vv+x_0v^2}{V(V+v)}=\frac{x_0V^2+y_0Vv}{V(V+v)}=\frac{x_0V+y_0v}{V+v}.\end{aligned}\qquad (1.3)

1.3 Расчет разностей концентраций требует только аккуратности в алгебраических преобразованиях:

y_1-x_0=\frac{y_0V+x_0v}{V+v}-x_0=\frac{y_0V+x_0v-x_0V-x_0v}{V+v}=(y_0-x_0)\frac V{V+v}.\qquad (1.4)

x_1-y_1=\frac{x_0V+y_0v}{V+v}-\frac{y_0V+x_0v}{V+v}=\frac{x_0(V-v)+y_0(v-V)}{V+v}=(x_0-y_0)\frac{V-v}{V+v}.\qquad (1.5)

Полученная формула является основой дальнейшего решения: разность концентраций после одного цикла уменьшается в

\lambda=\frac{V-v}{V+v}\qquad (1.6)

раз. Это соотношение можно обобщить на любой следующий полный цикл переливания

x_k-y_k=\lambda(x_{k-1}-y_{k-1}).\qquad (1.7)

Следовательно, разности концентраций образую геометрическую прогрессию, поэтому разность концентрации можно выразить в явном виде.

x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k.\qquad (1.8)

1.4 Массы растворенных веществ выражаются через концентрации растворов

m_{Ak}=x_kV;\quad m_{Bk}=y_kV.\qquad (1.9)

Общая масса этого вещества осталась неизменной, определяемой по формуле (1). Поэтому можно выразить и сумму концентраций растворов

(x_k+y_k)V=(x_0+y_0)V\Rightarrow x_k+y_k=x_0+y_0.\qquad (1.10)

1.5 Таким образом, мы получили два уравнения (1.8) и (1.10) для определения концентраций растворов, решение которых представляет чисто техническую проблему, складывая эти уравнения получим концентрацию раствора в первом сосуде

\begin{cases}x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k,\\x_k+y_k=x_0+y_0\end{cases}\Rightarrow x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k).\qquad (1.11)

Концентрацию раствора во втором сосуде можно выразить из уравнения (1.8):

\begin{aligned}y_k&=x_k-(x_0-y_0)\lambda^k=x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k)-(x_0-y_0)\lambda^k\\&=\frac12x_0(1-\lambda^k)+\frac12y_0(1+\lambda^k).\end{aligned}\qquad (1.12)

Наконец, подставляя значение параметра $\lambda$ , получим выражения для концентраций через известные исходные параметры

x_k=\frac12x_0\left(1+\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right)+\frac12y_0\left(1-\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right).\qquad (1.13)

y_k=\frac12x_0\left(1-\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right)+\frac12y_0\left(1+\left(\frac{V-v}{V+v}\right)^k\right).\qquad (1.14)

Часть 2. Перенос теплоты «вручную».

Эта задача практически полностью аналогична первой части. Аналогом массы растворенного вещества служит количество переданной теплоты, а аналогом концентрации раствора – температура. Поэтому следует ожидать, что разности температур после одного цикла переноса («туда и обратно») будут составлять геометрическую процессию. Так в после опускания тела (имеющего температуру равную начальной температуре в первом сосуде), установится температура $y_1$ , которую можно найти из уравнения теплового баланса 2

C_0(x_0-y_1)=cm(y_1-y_0)\Rightarrow y_1=\frac{C_0x_0+cmy_0}{C_0+cm}.\qquad (2.1)

Аналогичное уравнение можно записать для определения установившуюся температуру в первом сосуде, после повторного опуская тела

C_0(x_1-y_1)=cm(x_0-x_1)\Rightarrow x_1=\frac{cmx_0+C_0y_1}{C_0+cm}.\qquad (2.2)

Вычислив разности температур после первого цикла переноса

\begin{aligned}x_1-y_1&=\frac{cmx_0+C_0y_1}{C_0+cm}-y_1=\frac{cmx_0-cmy_1}{C_0+cm}\\&=\frac{cmx_0-cm\frac{C_0x_0+cmy_0}{C_0+cm}}{C_0+cm}=\left(\frac{cm}{C_0+cm}\right)^2(x_0-y_0),\end{aligned}\qquad (2.3)

видим, что аналогичное соотношения справедливо для любого цикла переноса, поэтому соотношение (3) показывает, что разности температур изменяются в геометрической прогрессии

x_k-y_k=(x_0-y_0)\left(\frac{cm}{cm+C_0}\right)^{2k}=(x_0-y_0)\lambda^k.\qquad (2.4)

² В принципе, можно записывать уравнения вида (4) из первой части, истолковывая их в духе закона сохранения энергии. Однако мы предпочитаем более традиционную запись в виде уравнений теплового баланса.

где обозначено

\lambda=\left(\frac{cm}{cm+C_0}\right)^2.\qquad (2.5)

Теперь запишем уравнения теплового баланса для теплоты, перенесенной за k циклов:

(cm+C_0)(x_k-x_0)=cm(y_0-y_k).\qquad (2.6)

Это уравнение перепишем в виде:

(cm+C_0)x_k+cmy_k=(cm+C_0)x_0+cmy_0.\qquad (2.7)

Так тело, с помощью которого осуществляется перенос теплоты, является малым, то в уравнении (6) можно считать, что $C_0\ll cm$ , и пренебречь малой теплоемкостью $C_0$ . В этом случае получим

x_k+y_k=x_0+y_0.\qquad (2.8)

Заметим, что использовать такое приближение в формуле (2.5) нельзя, так в этом случае $\lambda$ = 1 и никакого переноса теплоты не будет. Таким образом, мы получаем систему уравнений (2.4) и (2.8), для определения температур воды в сосудах, что и система уравнений (1.8) и (1.10) для определения концентраций. Поэтому температуры воды в сосудах будут определяться такими же соотношениями, как и выражения (1.11)-(1.12) для концентраций:

x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k),\qquad (2.8)

y_k=\frac12x_0(1-\lambda^k)+\frac12y_0(1+\lambda^k).\qquad (2.9)

Только в этих выражениях параметр $\lambda$ определяется по формуле (2.5)

Не обязательное дополнение. Использование приближения $C_0\ll cm$ не является обязательным. Можно точно решить и систему уравнений (2.4) и точного уравнения (2.7). Эти уравнение образуют систему, из которой не сложно найти явные выражения для температур воды в сосудах. В первом:

\begin{cases}x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k,\\\frac{cm+C_0}{cm}x_k+y_k=\frac{cm+C_0}{cm}x_0+y_0\end{cases}\Rightarrow x_k=\frac{C_0}{2cm+C_0}x_0+\frac{cm}{2cm+C_0}\left(x_0(1+\lambda^k)+y_0(1-\lambda^k)\right).

Во втором:

y_k=x_k-(x_0-y_0)\lambda^k=\frac{cm+C_0}{2cm+C_0}\left(x_0(1-\lambda^k)+y_0(1+\lambda^k)\right)-\frac{C_0}{2cm+C_0}y_0.

Если теперь положить $C_0<cm$ , то они переходят в формулы (2.8)-(2.9)

Часть 3. Перенос заряда.

Для решения этой задачи также можно воспользоваться аналогичным подходом. Только в данной задаче нам необходимо рассчитать изменение электрических зарядов, которые являются аналогами масс растворенных веществ (в первой части задачи) и количества теплоты (во второй части). Аналогом же концентраций и температур могут выступать электрические потенциалы. При контакте шаров происходит выравнивание именно их потенциалов. Если рассчитать изменение потенциалов, то далее можно найти и значения зарядов шаров. Будем обозначать потенциалы первого шара после k полных циклов переноса - $\varphi_k$ , а потенциалы второго шара $\phi_k$ . Строго говоря, при изменении расстояния между шарами их потенциалы изменяются (так как электрическое поле совершает работу), однако нас интересует количество перенесенного заряда, поэтому изменение потенциала при перемещении шарика для нас не существенно. Пусть малый шарик касается большого, обозначим в этом положении электрическую емкость большого шара C , а емкость малого шарика $c_0$ , суммарная емкость системы равна (C + $c_0$ ) . Если суммарный заряд двух соприкасающихся шаров равен Q , то потенциал же шаров будет равен

\varphi=\frac Q{C+c_0}\qquad (3.1)

заряд малого шарика (следовательно, и переносимый заряд) рассчитывается по формуле

q=\frac{c_0}{C+c_0}Q\qquad (3.2)

3.1 Таким образом, заданный параметр $\gamma$ выражается через отношение емкостей³

\gamma=\frac{c_0}{C+c_0},\quad1-\gamma=\frac C{C+c_0}\qquad (3.3)

Для оценки этого параметра можно воспользоваться выражением для электрической емкости уединенного шара, которая пропорциональна его радиусу, то есть

\gamma\approx\frac r{R+r}.\qquad (3.4)

Это выражение является приближенным, так как при электрическом контакте изменяется распределение зарядов на поверхностях шаров. В дальнейшем мы будем использовать выражение (3.3) для данного параметра.

3.2 Дальнейший ход решения полностью аналогичен решениям первых двух частей данной проблемы: основная идея остается прежней – получить рекуррентные соотношения для потенциалов шаров после каждого цикла переноса зарядов. «Начальным состоянием» будем считать, момент, когда маленький шарик первый раз касается первого шара. Итак, мы прикоснулись маленьким шариков к первому шару, потенциал этой систему оказался равным

\varphi_0=\frac{x_0}{C+c_0}.\qquad (3.5)

На маленький шарик перетечет заряд равный $q=x_0c_0/(C+c_0)=c_0\varphi_0$ , а на шаре остается заряд $C\varphi_0$ . Заряд второго шарика выразим через его начальный потенциал $y_0$ = $C\phi_0$ . Если шарик поднести ко второму шару, то суммарный заряд этой системы окажется равным $\widetilde y$ = $C\phi_0$ + $c_0\varphi_0$ , а ее потенциал

\phi_1=\frac{C\phi_0+c_0\varphi_0}{C+c_0}=(1-\gamma)\phi_0+\gamma\varphi_0.\qquad (3.6)

На маленьком шарике окажется заряд q = $c_0\phi_1$ , а на втором шаре останется заряд $y_1$ = $C\phi_1$ . Далее маленький шарик переносят к первому шару, суммарный заряд этой системы оказывается равным ( $C\varphi_0$ + $c_0\phi_1$ ) , соответственно, потенциал системы

³ Приводим также выражение для $(1-\gamma)$ , так оно нам понадобится в дальнейшем

\varphi_1=\frac{C\varphi_0+c_0\phi_1}{C+c_0}=(1-\gamma)\varphi_0+\gamma\phi_1.\qquad (3.7)

Далее по общей схеме, находим разность потенциалов шаров после первого цикла переносов:

\begin{aligned}\varphi_0-\phi_1&=\varphi_0-(1-\gamma)\phi_0-\gamma\varphi_0=(1-\gamma)(\varphi_0-\phi_0),\\\varphi_1-\phi_1&=(1-\gamma)\varphi_0+\gamma\phi_1-\phi_1=(1-\gamma)(\varphi_0-\phi_1)=(1-\gamma)^2(\varphi_0-\phi_0).\end{aligned}\qquad (3.8)

Видим, что, как и в предыдущих частях, разности потенциалов изменяются в геометрической прогрессии

\varphi_k-\phi_k=(\varphi_0-\phi_0)\lambda^k.\qquad (3.9)

Здесь знаменатель прогрессии выражается через заданный в условии параметр $\gamma$ :

\lambda=(1-\gamma)^2.\qquad (3.10)

Если пренебречь малым зарядом на маленьком шарике, с помощью которого осуществляется перенос, то заряды шариков пропорциональны их потенциалам, поэтому

x_k-y_k=(x_0-y_0)\lambda^k.\qquad (3.11)

Пренебрегая зарядом, находящимся на малом шарике, из условия сохранения заряда

x_k+y_k=x_0+y_0.\qquad (3.12)

Таким образом, мы в третий раз получаем систему уравнений (3.11), (3.12), решение которой найдено ранее

x_k=\frac12x_0(1+\lambda^k)+\frac12y_0(1-\lambda^k),\qquad (3.13)

y_k=\frac12x_0(1-\lambda^k)+\frac12y_0(1+\lambda^k).\qquad (3.14)

3.3 Разность зарядов определяется по формуле (3.9), поэтому относительная разность зарядов определяется по формуле

\varepsilon=\frac{x_k-y_k}{x_0+y_0}=\frac{x_0-y_0}{x_0+y_0}\lambda^k=\frac{x_0/y_0-1}{x_0/y_0+1}\lambda^k.\qquad (3.15)

Из этого уравнения находим необходимое число актов переноса

\lambda^k=\varepsilon\frac{x_0/y_0+1}{x_0/y_0-1}\Rightarrow k=\frac{\lg\left(\varepsilon\frac{x_0/y_0+1}{x_0/y_0-1}\right)}{\lg(1-\gamma)^2}\approx21.\qquad (3.16)

Не обязательное дополнение.

Как и во второй части можно найти и точное решение полученной системы уравнений (3.9), (3.12). В уравнении (3.9) выразим потенциалы через искомые заряды:

\begin{aligned}\frac{x_k}{C+c_0}-\frac{y_k}C&=\left(\frac{x_0}{C+c_0}-\frac{y_0}C\right)\lambda^k\Rightarrow\frac C{C+c_0}x_k-y_k=\left(\frac C{C+c_0}x_0-y_0\right)\lambda^k\\&\Rightarrow(1-\gamma)x_k-y_k=((1-\gamma)x_0-y_0)\lambda^k.\end{aligned}

Добавляем к этому уравнению условие сохранения заряда , получим

\begin{cases}(1-\gamma)x_k-y_k=((1-\gamma)x_0-y_0)\lambda^k,\\x_k+y_k=x_0+y_0\end{cases}\Rightarrow x_k=\frac1{2-\gamma}\left((1-\gamma)x_0(1+\lambda^k)+y_0(1-\lambda^k)\right)+\frac\gamma{2-\gamma}x_0.

После этого находим заряд второго шара

\begin{aligned}y_k&=x_0+y_0-\frac1{2-\gamma}\left((1-\gamma)x_0(1+\lambda^k)+y_0(1-\lambda^k)\right)-\frac\gamma{2-\gamma}x_0\\&=\frac1{2-\gamma}\left((1-\gamma)x_0(1-\lambda^k)+y_0(1+\lambda^k)\right)-\frac\gamma{2-\gamma}y_0.\end{aligned}

Если в этих выражениях положить $\gamma$ ≪ 1 , то после упрощений получаем формулы (3.13)-(3.14). Разность зарядов в этом случае оказывается равной

x_k-y_k=\frac2{2-\gamma}((1-\gamma)x_0-y_0)\lambda^k+\frac\gamma{2-\gamma}(x_0+y_0).

Последнее слагаемое в данной формуле равен заряду на маленьком шарике, поэтому его следует отбросить. Тогда из формулы для относительной разности зарядов шаров находим необходимое число циклов переноса

\varepsilon=\frac{x_k-y_k}{x_0+y_0}=\frac{2((1-\gamma)x_0-y_0)}{(2-\gamma)(x_0+y_0)}\lambda^k=\frac{16}{20{,}9}\lambda^k\Rightarrow k=\frac{\lg(0{,}21/16)}{2\lg0{,}9}\approx21,

которое не отличается от полученного ранее.

Решения задач — авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_theoretical_solutions.pdf