BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 8. 11 класс — 2. Порометрия

Часть 1

Введем следующие обозначения: $\rho_{\text{В}}$ — плотность воды, $\rho$ — плотность материала пористого тела. Пренебрегая силой Архимеда действующей в воздухе, можем записать выражение для веса тела в воздухе:

Вес тела в воде:

Вес в воде пористого тела с закрытыми порами:

Согласно условия задачи:

Решая систему получим:

т. е. пористость образца равна:

Часть 2

Рассмотрим отдельную пору, которая, как сказано в условии, представляет собой трубку определенного радиуса r . Т. к. ртуть не смачивает материал пористого тела, то ее движение внутри поры возможно только в случае, если сила, создаваемая внешним давлением ( $p\pi r^2$ ), превосходит силы поверхностного натяжения $\sigma_{\text{Р}}$ ⋅ 2πr (краевой угол 180°). Другим словами, как только давление достигает значения:

ртуть полностью заполняет пору с радиусом r .

Анализируя график, приведенный в условии, делаем вывод, что максимальный радиус пор равен:

т. к. при меньшем давлении ртуть не входит в образец. Затем, при достижения давления 2 $p_0$ и 3 $p_0$ объем вошедшей ртути, снова резко увеличивается, т. е. ртуть проникает в поры с радиусами $r_2$ = $\sigma_{\text{Р}}$ / $p_0$ и $r_3$ = $2\sigma_{\text{Р}}/(3p_0)$ . Таким образом в исследуемом образце существуют поры трех видов с радиусами $r_1$ , $r_2$ = $r_1$ / 2 и $r_3$ = $r_1$ / 3 . Пусть общее количество пор равно N = $N_1$ + $N_2$ + $N_3$ . Согласно зависимости приведенной на графике, объем ртути вошедшей в поры радиуса $r_1$ равен:

где l - длина поры. Объем ртути вошедшей в поры радиуса $r_2$ и $r_3$ :

и

соответственно. Тогда отношение числа пор:

Подставляя соотношения между радиусами пор, получим:

Преобразовав выражение (13), получим:

Таким образом, 50 % пор имеют радиус $r_3$ , 25 % - радиус $r_2$ и 25 % радиус $r_1$ .

Часть 3

В случае порометрии капиллярных потоков необходимо вытеснять воду из пор образца. Вода выйдет и поры с радиусом r , когда разность давления достигнет значения:

т. е. при разности давлений меньше Δ$p_0$ = $2\sigma_{\text{В}}$ / $r_1$ (значение $r_1$ определено в предыдущем пункте) газ не будет проходить через образец. После того, как откроются поры большего радиуса, установится некоторый массовый расход газа:

где $\rho$ - плотность газа; v - скорость движения газа в порах; S - суммарная площадь поперечного сечения пор определенного радиуса. При увеличении давления (если не открываются поры меньшего радиуса) массовый расход газа будет увеличиваться, т. к. с одной стороны возрастает скорость движения газа в порах ( v ~ ΔP ), а с другой возрастает плотность газа $\rho$ ~ ΔP . Таким образом массовый расход будет изменяться пропорционально квадрату разности давлений q ~ $\Delta p^2$ . Затем при достижении давления Δp = $2\sigma_{\text{В}}$ / $r_2$ = 2 Δ$p_0$ , расход снова резко увеличится, т. к.

откроются поры радиуса $r_2$ . Суммарная площадь поперечного сечения этих пор в 4 раза меньше по сравнению с порами радиуса $r_1$ (количество пор такое же, но радиус в два раза меньше). Поэтому расход газа резко увеличится на 25 %. Аналогичный «скачок» расхода произойдет, когда откроются самые маленькие поры. Площадь поперечного сечения увеличится на 0,15 / (0.68 + 0,17 ) = 0,176 ≈ 18% . На столько увеличится и расход газа. Качественный график зависимости расхода газа от разности давлений представлен на рисунке.