Съдържание

BelPhO 2011, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9. 11 класс — 3. Испарение воды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Оригиналы содержат девять целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. Каталог перечисляет только три задачи 9 класса и 18 частей; у них в оригинале 6+8+4 номерные группы. Здесь сохранены также полные самостоятельные комплекты 10 и 11 классов: всего девять задач и 52 основные группы, включая все внутренние запросы машинки и испарения.

Ключ 9.1 отсылает к первой части 11.1, а ключ 10.1 — к первой и второй частям 11.1. Здесь полностью переданы соответствующие исходные разделы решения. Перенос заряда относится только к 11.1. Сохранены все необязательные точные дополнения.

Время выполнения, баллы и таблицы распределения баллов не напечатаны. Комментарий ключа испарения допускает другие коэффициенты и 30% численную погрешность. Единственная полученная инструкция помечена 9 классом. Отдельных пустых графических бланков в этих оригиналах нет.

Сохранены исходные опечатки и противоречия: «растворы слои»; в путешествии 35 и 280 столбов ключа при 30 столбах торможения условия; в переносах лишнее $=x_k=$ и повтор (2.8); в пружинках $F_{\text{у}}$ вместо $F_{\text{у}n}$ и $ma$ для группы из $n$ тел; в «На грани» измененные номера пунктов и $I_0\sqrt2$ ; в машинке высота $h$ без множителя массы, переставленные 3.1/3.2 и исходный ответ пункта 5, равный нулю; в порометрии $\rho$ без водяного индекса в (2)/(3); в испарении $m=M/R$ , повтор (6), «молекул воздуха» условия при водяном потоке ключа и $(1-\varphi_0)$ последнего дополнения при подстановке 0.3. Исходные формулы, числа, графики и все методы переданы буквально.

Авторская обложка и инструкция 9 класса

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур.

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады. _____________________ К.С. Фарино. «___» декабря 2010 г.

9 класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Условие

В данной задаче вам необходимо оценить скорость испарения воды. Используйте следующие характеристики воды и водяного пара:

молярная масса $M=18\cdot10^{-3}\text{ кг}/\text{моль}$ ;
плотность воды $\rho=1{,}0\cdot10^3\text{ кг}/\text{м}^3$ ;
универсальная газовая постоянная $R=8{,}31\text{ Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$ ; постоянная Больцмана $k=1{,}38\cdot10^{-23}\text{ Дж}/\text{К}$ ;
атмосферное давление считать постоянным и равным $P_0=1{,}0\cdot10^5\text{ Па}$ температуру воздуха и воды во всех пунктах задачи также считать постоянной и равной $t_0=20^\circ\text{C}$ ;
давление насыщенного пара при данной температуре равно $p_{\text{н}}=2{,}3\text{ кПа}$ ;
при попадании молекул воды из пара на свободную поверхность жидкости только $\eta=4{,}0\%$ молекул задерживаются ею, остальные отражаются;
коэффициент диффузии молекул воды в воздухе при заданных условиях равен $D=3{,}1\cdot10^{-5}\text{ м}^2/\text{с}$ ;
абсолютный нуль температуры $t_0=-273{,}15^\circ\text{C}$ .

1 Покажите, что число молекул газа, ударяющихся о площадку единичной площади за единицу времени, пропорционально концентрации молекул и средней скорости их движения. Получите формулу для расчета числа ударов молекул газа.

2 В вертикальном открытом цилиндрическом сосуде находится вода при заданных условиях.

2.1 Определите число молекул воды, вылетающих с единицы площади свободной поверхности в единицу времени.

2.2 Считая, что все молекулы воды, вылетевшие с ее поверхности, назад не возвращаются, рассчитайте скорость высыхания воды в сосуде, т.е. скорость изменения высоты ее уровня $\Delta h/\Delta t$ (Получите формулу и найдите численное значение, выразив его в $\text{м}/\text{час}$ )

Полная схема испаряющейся воды в сосуде: H,h,верх/низ,поверхность и стрелка.

3 Скорее всего, полученная в предыдущем пункте оценка скорости высыхания сильно завышена. Уточните ее, считая, что над водой находится воздух, влажность которого равна $\varphi$ = 70% .

4 Скорее всего, что новая оценка также завышена! Поэтому учтите влияние диффузии водяного пара в сосуде на скорость испарения. Пусть высота свободной части сосуде над поверхностью воды равна H = 10 см . В сосуде установится некоторое стационарное распределение концентрации молекул водяного пара по высоте (влиянием боковых стенок можно пренебречь и считать, что концентрация молекул пара зависит только от высоты). Вне сосуда (то есть на высоте H = 10 см над поверхностью воды) находится воздух, влажность которого равна $\varphi$ = 70% . Обозначим влажность воздуху, непосредственно примыкающего к поверхности воды $\varphi_0$ .

4.1 Найдите зависимость влажности воздуха от расстояния до свободной поверхности воды.

4.2 Рассчитайте количество молекул воздуха, покидающих сосуд в единицу времени (величины граничных влажностей $\varphi$ , $\varphi_0$ и площадь поперечного сечения сосуда считайте известными).

4.3 Найдите влажность воздуха, непосредственно примыкающего в свободной поверхности воды $\varphi_0$ .

4.4 Рассчитайте скорость высыхания воды с учетом вертикальной диффузии молекул воды.

Теоретическая подсказка.

Диффузионный поток (число молекул пересекающих площадку единичной площади в единицу времени) определяется законом Фика

q=D\frac{\Delta n}{\Delta z},

Полная схема подсказки Фика: цилиндр, n,n+Δn, q, Δz и все стрелки.

где Δn - изменение концентрации молекул диффундирующих молекул на расстоянии Δz , D - коэффициент диффузии.

Решение

Формулу для числа ударов молекул о стенку можно получить различными способами. Например, за время Δt до стенки долетят и ударятся о нее те молекулы, которые находятся на расстоянии меньшем v x Δt , где v x - проекция скорости молекулы на направление, перпендикулярное стенке. Если площадь рассматриваемой стенки равна ΔS , то число этих молекул равно (с учетом того, что половина молекул летит к стенке, а половина от нее)

Полная кинетическая модель ударов молекул: весь параллелепипед, молекулы/скорости,ΔS,vxΔt и стрелки.

\Delta N=\frac12n|v_x|\Delta t\Delta S.\qquad (1)

Далее необходимо провести усреднение по скоростям молекул. Корректный расчет приводит к результату

\nu=\frac14n\langle v\rangle=\frac14n\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M}.\qquad (2)

Комментарий. Трудно ожидать, что учащиеся средней школы выведут точно эту формулу, поэтому при оценивании работы приемлемы и другие значения коэффициентов в формуле (2). Например, более традиционное «школьное» выражение

\nu=\frac16nv_{\text{ср.кв.}}=\frac16n\sqrt{\frac{3RT}M}.\qquad (2*)

Численные значения коэффициентов равны $\frac14\sqrt{8/\pi}\approx0{,}40$ в формуле(2); $\frac16\sqrt3\approx0{,}29$ . Поэтому в численных расчетах погрешность в30% допустима.

Число вылетевших молекул можно найти, используя понятие насыщенного водяного пара. Если над поверхностью воды находится насыщенный водяной пар, то число молекул вылетающих с поверхности равно числу молекул, возвращающихся обратно. Число возвращающихся молекул равно числу молекул, ударяющихся о поверхность, умноженному на коэффициент $\eta$ (доля молекул, задерживаемых водой). Поэтому, число вылетающих в единицу времени с единицы площади молекул равно

\nu_0=\frac14n\langle v\rangle\eta=\frac14\eta n\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M}=\frac14\eta\frac{p_{\text{н}}}{kT}\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M},\qquad (3)

где концентрация молекул насыщенного пара выражена из уравнения состояния $n=p_{\text{н}}/(kT)$ . Масса всех молекул, вылетевших с единицы площади за промежуток времени Δt равна

\Delta m=\nu_0m\Delta t,\qquad (4)

где $m=M/R$ — масса одной молекулы воды. С другой стороны эта же величина может быть выражена через объем испарившейся воды Δm = $\rho\Delta h$ . Приравнивая эти два выражения, найдем скорость высыхания

\frac14\eta\frac{p_{\text{н}}}{kT}\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M}\frac MR\Delta t=\rho\Delta h\Rightarrow\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac14\eta\frac{p_{\text{н}}}{kT}\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M}\frac MR\frac1\rho=\eta\frac{p_{\text{н}}}\rho\sqrt{\frac M{2\pi RT}}.\qquad (5)

Подстановка численных значений приводит к результату

\left(\frac{\Delta h}{\Delta t}\right)_0=\eta\frac{p_{\text{н}}}\rho\sqrt{\frac M{2\pi RT}}=0{,}04\frac{2{,}3\cdot10^3}{1{,}0\cdot10^3}\sqrt{\frac{18\cdot10^{-3}}{2\pi\cdot8{,}31\cdot293}}\approx1{,}0\cdot10^{-4}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx0{,}36\frac{\text{м}}{\text{час}}.\qquad (6)

Как и было сказано в условии, оценка слишком завышена – трудно согласится с такой высокой скоростью испарения.

Так как над водой находится влажный воздух, то часть молекул воды, находящихся в воздухе, возвращается обратно в жидкость. Число этих молекул можно рассчитать по формуле (3), заменив в ней давление насыщенного пара на парциальное давление, которое равно p = $\varphi$ p н ( $\varphi$ - относительная влажность воздуха). Таким образом, скорость испарения будет определяться разностью чисел молекул, вылетающих из жидкости и возвращающихся обратно. Иными словами, полученную оценку (6) следует умножить на (1 − $\varphi$ ) :

\left(\frac{\Delta h}{\Delta t}\right)_1=\eta\frac{p_{\text{н}}}\rho\sqrt{\frac M{2\pi RT}}(1-\varphi)\approx0{,}30\cdot10^{-4}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx0{,}11\frac{\text{м}}{\text{час}}.\qquad (6)

В стационарном состоянии диффузионный поток должен быть равен потоку частиц, покидающих поверхность воды.

4.1 Так как диффузионный поток пропорционален величине $\Delta n/\Delta z$ и постоянен по всей высоте сосуда, то концентрация молекул водяного пара должна убывать линейно с увеличением высоты над поверхностью сосуда. С учетом граничных условий, эта зависимость может быть записана в виде

n=n_0-\frac{n_0-n_1}Hz.\qquad (7)

Так как влажность воздуха при постоянной температуре пропорциональна концентрации, то аналогичное соотношение справедливо и для относительной влажности

\varphi(z)=\varphi_0-\frac{\varphi_0-\varphi_1}Hz.\qquad (8)

где $\varphi_1$ - относительная влажность на высоте H

4.2 При заданных условиях диффузионный поток молекул воды определяется законом Фика, который приводит к выражению (с учетом $n=(p_{\text{н}}/(kT))\varphi$ )

q=DS\frac{p_{\text{н}}}{kT}\frac{\varphi_0-\varphi_1}H.\qquad (9)

4.3 С другой стороны этот же поток может быть выражен через число молекул воды вылетающих с поверхности жидкости

q=S\nu_0(1-\varphi_0),\qquad (10)

где $\nu_0$ - величина, определяемая формулой (3). Приравнивая эти потоки, получим

D\frac{p_{\text{н}}}{kT}\frac{\varphi_0-\varphi_1}H=\nu_0(1-\varphi_0)\Rightarrow\varphi_0=\frac{\gamma\varphi_1+1}{\gamma+1}\qquad (11)

где обозначено $\frac D{H\nu_0}\frac{p_{\text{н}}}{kT}=\gamma$ . Найдем также величину

(1-\varphi_0)=1-\varphi_0=1-\frac{\gamma\varphi_1+1}{\gamma+1}=\frac\gamma{1+\gamma}(1-\varphi_1).\qquad (12)

Так как скорость испарения пропорциональна (1 − $\varphi_0$ ) , то расчета скорости испарения необходимо предыдущую оценку (6) умножить на коэффициент $\gamma/(1+\gamma)$ . Рассчитаем численное значение параметра

\gamma=\frac D{H\nu_0}\frac{p_{\text{н}}}{kT}=\frac{4D}{H\eta\sqrt{\frac8\pi\frac{RT}M}}=\frac{4\cdot3{,}1\cdot10^{-5}}{0{,}1\cdot0{,}04\sqrt{\frac8\pi\frac{8{,}31\cdot293}{18\cdot10^{-3}}}}\approx5{,}3\cdot10^{-5}.\qquad (13)

Так как этот параметр чрезвычайно мал, то им можно пренебречь в знаменателе выражения (12). В этом случае скорость высыхания оказывается равной

\left(\frac{\Delta h}{\Delta t}\right)_2=\gamma\eta\frac{p_{\text{н}}}\rho\sqrt{\frac M{2\pi RT}}(1-\varphi_1)\approx1{,}6\cdot10^{-9}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx0{,}14\frac{\text{мм}}{\text{сутки}}.\qquad (14)

Итак, основной вывод из решения данной задачи – скорость высыхания определяется не скоростью выхода молекул из жидкости, а скоростью диффузии водяного пара в окружающую среду!

Заметим, что в данном случае скорость высыхания полностью определяется диффузионным потоком, а над поверхностью воды находится практически насыщенный пар. В этом прямая подстановка значения параметра $\gamma$ в выражение для потока испаряющихся частиц дает

\nu=(1-\varphi_0)\nu_0=\gamma(1-\varphi_1)\nu_0=D\frac{n_{\text{нас}}}H(1-\varphi_0).\qquad (15)

Таким образом, этот поток равен диффузионному потоку, при условии, что над жидкостью находится насыщенный пар. С этой точки зрения можно провести и прямой расчет скорости высыхания

\begin{aligned}\frac{\Delta h}{\Delta t}&=D\frac{n_{\text{нас}}}H(1-\varphi_0)\frac M{N_A}\frac1\rho=\frac DH\frac{p_{\text{н}}M}{RT}\frac1\rho(1-\varphi_0)\\&=\frac{3{,}1\cdot10^{-5}\cdot2{,}3\cdot10^3\cdot18\cdot10^{-3}}{0{,}1\cdot8{,}31\cdot293\cdot1\cdot10^3}\cdot0{,}3\approx1{,}6\cdot10^{-9}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx0{,}14\frac{\text{мм}}{\text{сутки}}.\end{aligned}

Решения задач — авторская обложка

А.И. Слободянюк. А.А. Мищук. Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (III этап). 2011 год. Теоретический тур. Решения задач.

Оригинал в Архива: 3_etap_2011_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2011_theoretical_solutions.pdf