Съдържание

Условие Часть 1. Сообщающиеся сосуды.Решение

BelPhO 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. 9 класс · Задача 9-1. «Вода и масло»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны 11 страниц условий и 28 страниц архивного ключа: пять целых экспериментов 9-1, 9-2, 10-1, 10-2 и 11-2, 39 напечатанных номерованных запросов, включая повторный 2.4. Задача 11-1 отсутствует в обоих PDF. Все доступные инструкции, оборудование, методы, формулы, таблицы с пустыми клетками, графики, дополнительный анализ и конечные объяснения сохранены. Баллы, рубрики и общий лимит времени не напечатаны. Исходные противоречия слов, обозначений, формул, чисел и единиц сохранены с отдельными примечаниями читателя. Отдельный измерительный бланк сканера не приложен. Обложки обеих архивных книг называют четырех авторов; дополнительное подтверждение официального ключа организаторов отсутствует.

Титульный лист условий

А.И. Слободянюк, Н.В. Козловский, В.В. Барашков, В.О. Богомолов. Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Гомель 2011.

Титульный лист архивного ключа

А.И. Слободянюк, Н.В. Козловский, В.В. Барашков, В.О. Богомолов. Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Решения задач. Гомель 2011. Совпадающий архивный ключ; отдельное подтверждение официального авторства организаторами не установлено.

Условие

Приборы и оборудование: две собранные установки, описание которых дано ниже; Масло подсолнечное вода, 2 шприца, стаканчики одноразовые, секундомер.

Плотность воды считать равной $\rho_0=1{,}00\cdot10^3\,\text{кг/м}^3$ .

Часть 1. Сообщающиеся сосуды.

Эта часть работы выполняется на установке, показанной на рис. 1.

Две стеклянные трубки соединенные снизу резиновым шлангом закреплены на вертикально расположенном куске картона, рядом с трубками приклеены полоски миллиметровой бумаги. Трубки расположены под некоторыми различными углами к вертикали. Начала отсчета шкал также могут находиться не на одном уровне. С помощью шприцов (один для масла, второй для воды!) в трубки можно доливать воду и масло.

Будьте аккуратны! Добавляйте воду и масло не спеша, постарайтесь поменьше его вылить на свою одежду! При необходимости вы можете слить жидкости из трубок, сняв всю установку со штатива!

Теоретическое описание.

Пусть в обеих трубках находится вода. Обозначим высоты начал отсчета обеих шкал $h_{10},h_{20}$ (они вам неизвестны, да и не нужны!). С помощью шкал (полосок миллиметровой бумаги) вы можете (и должны) измерять длины столбиков воды в трубках $l_1,l_2$ . Обозначим $h_1,h_2$ — высоты, измеренные по вертикали обоих столбиков. Очевидно, что

\begin{aligned}h_1&=k_1l_1,\\h_2&=k_2l_2.\end{aligned}\qquad (1)

где $k_1,k_2$ — некоторые постоянные коэффициенты (они вам не известны, но могут понадобиться!).

Рис. 1. Установка с наклонными трубками и миллиметровыми шкалами.

Схема столбиков воды: h₁₀,h₂₀,h₁,h₂,l₁,l₂.

Схема сообщающихся сосудов с маслом: Δl,l₁,l₂,h₁₀,h₂₀.

1.1 Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба $l_2$ от длины столба $l_1$ — $l_2(l_1)$ .

1.2 Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости $l_2(l_1)$ .

1.3 С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов $\frac{k_1}{k_2}$ , которые входят в формулы (1).

Заполните трубки водой примерно наполовину. Теперь вам необходимо добавлять в одну из трубок подсолнечное масло. Во вторую трубку при необходимости можно добавлять воду. Но, прежде, чем вы начнете …

Опять теоретическое описание.

Все прежние обозначения оставляем в силе и добавляем к ним $\Delta l$ — длину столбика масла в трубке и $\rho_1$ — плотность масла.

1.4 Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду

al_1+bl_2=F(\Delta l),\qquad (2)

где $a,b$ — уже известные коэффициенты, $F(\Delta l)$ — некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида (2), так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным.

1.5 Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин $l_1,l_2,\Delta l$ .

1.6 Используя полученное уравнение (2) и экспериментальные данные определите плотность масла.

Решение

Задача 9-1. «Вода и масло». Часть 1. Сообщающиеся сосуды.

1.1 В сообщающихся высоты уровней жидкости в обоих коленах в состоянии равновесия равны, поэтому должно выполняться условие

h_{10}+k_1l_1=h_{20}+k_2l_2.\qquad (1)

Из этого условия следует, что

l_2=\frac{h_{10}-h_{20}}{k_2}+\frac{k_1}{k_2}l_1.\qquad (2)

1.2 В таблице 1 приведены результаты измерений длин столбиков воды в обеих трубках (проведены две серии измерений и объединены). График полученной зависимости показан на рисунке.

График l₂(l₁), две серии измерений и прямая l₂=a l₁+b.

Таблица 1.

$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
14	18
46	45
72	68
89	82
120	109
148	133
194	175
45	44
64	60
85	78
119	107
151	135
168	150
190	169

Коэффициент наклона прямой, рассчитанный по методу наименьших квадратов¹, оказался равным

a=0{,}865\pm0{,}08.\qquad (2)

В соответствии с формулой (1) он равен отношению коэффициентов $\frac{k_1}{k_2}$ . Это значение будет использовано в дальнейших расчетах.

¹ Для учащихся 9 классов использование МНК не обязательно, вполне достаточно провестри графическую обработку результатов.

1.4 В состоянии равновесия суммарные давления жидкостей на нижнем уровне трубок будут равны, что выражается уравнением

\rho_0(h_{10}+k_1l_1)=\rho_0(h_{20}+k_2l_2)+k_2\rho_1\Delta l,\qquad (3)

здесь $\Delta l$ — длина столбика масла.

Это уравнение легко преобразуется к виду, указанному в условии, если обе его части разделить на $k_2\rho_0$ :

\rho_0(h_{10}+k_1l_1)=\rho_0(h_{20}+k_2l_2)+k_2\rho_1\Delta l\quad\Rightarrow\quad\frac{k_1}{k_2}l_1-l_2=\frac{\rho_1}{\rho_0}\Delta l+\frac{h_{20}-h_{10}}{k_2}.\qquad (4)

Теперь, если построить зависимость величины $z=\frac{k_1}{k_2}l_1-l_2$ от высоты столбика масла $\Delta l$ , то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды.

1.5 Результаты проведенных измерений показаны в Таблице 2. График зависимости $z(\Delta l)$ показан на рисунке.

Таблица 2.

$l_1$ , мм	$l_2$ , мм	$\Delta l$ , мм	$z$ , мм
77	69	0	−2,40
100	44	52	42,50
115	27	83	72,48
135	6	126	110,78
150	−14	164	143,75
167	−32	194	176,46

Коэффициент наклона данного графика (рассчитанный по МНК) равен

a_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}=0{,}91\pm0{,}03.\qquad (5)

Следовательно, плотность масла равна

\rho_1=a_1\rho_0=(0{,}91\pm0{,}03)\cdot10^3\,\text{кг/м}^3.\qquad (6)

Примечание читателя — 9 класс · Задача 9-1. «Вода и масло»

Примечание читателя. Сохранены повторная нумерация (2), напечатанная погрешность 0,08 и слово «высоты» при обозначении длины $\Delta l$ . Условие упоминает две установки и секундомер, но в сохранившихся условии и ключе этой задачи напечатана только часть 1; дополнительная часть не восстановлена предположительно.

Примечание читателя — 9 класс · Задача 9-2. «Механический сканер»

Примечание читателя. Условие задает страницы 243–244, ключ — 245–246. Сохранены исходная фраза «а на нагрузку», единица даН/мм² в вводной цитате, значения таблицы при $X=4$ и 16 см (разности не совпадают с непосредственным вычитанием), обозначение $\ell_2$ в записи интервала и единица Н/см у теоретической суммы сил. Расчет не исправлен. Отдельный измерительный бланк, выданный как оборудование, в двух сохранившихся PDF не приложен; график ключа не выдается за пустой бланк.

Описание читателя к заключительному графику. На заключительном графике изображены зависимости: звездочка — $F_{\text{ТР}2}(X)$ , точка — $F_{\text{ТР}1}(X)$ , треугольник — $F_{\text{ТР}1}(X)-F_{\text{ТР}2}(X)$ .

Примечание читателя — 10 класс · Задание 10-1. «Стабилизация»

Примечание читателя. В запросе 3.2 напечатано «напряжения на резисторе», хотя заголовок части и ключ относятся к стабилитрону. Сохранены обе исходные строки таблицы после часа зарядки, включая сочетание $U_0=2{,}0$ В и $\overline U_C=3500$ мВ; в грубых оценках сохранен символ $U_R$ в знаменателе, хотя числа вычитаются для напряжения конденсатора. Заключительный ответ о последовательном подключении в ключе обозначен 4.2, тогда как в условии это 4.3–4.4. Численные данные для этого последнего графика отдельной таблицей не напечатаны; они не восстановлены из пикселей как точные измерения. Отдельная схема ВАХ названа очевидной, но не нарисована в ключе; новый рисунок не добавлен.

Примечание читателя к таблицам. Исходные обозначения и числа сохранены; пустые ячейки означают исходные пустые ячейки, единицы, кроме с для $\tau$ , в таблицах не подписаны.

Примечание читателя — 10 класс · Задание 10-2. «Странные» законы движения.

Примечание читателя. Сохранены исходное сложение давлений и уравнение (5), смена значения символа $k$ в необязательном дополнении (9)–(11), слово «т» перед (10), повторный заголовок Таблица 1 и все численные значения квадрата в таблице намокания; единое $x_0$ в ключе числом не задано. Эти строки не исправлены расчетом. Пустые клетки скорости у крайних измерений исходные.

Примечание читателя — 11 класс · Задание 11-2. Зеркало Френеля.

Примечание читателя. Повторный номер 2.4, слова «зеркала» в запросе про линзу и «линзы» в запросе 3.2, исходная разница обозначений $x,z,y$ сохранены. В ключе сохранены $\Delta x_1$ в (6), $R_1,\Delta R_1,K_1$ при расчетах второй поверхности, фраза про превышение погрешностей расстояний и их неучет, 9,64 в сумме коэффициентов для собирающей линзы, знак минус с положительными числами в расчете $n-1$ рассеивающей линзы, единица мм у столбца $1/y$ , формула синуса с $y$ в (15), повторный номер (15), все табличные синусы и положительные $d$ при отрицательных $y$ . Соотношения и числа не заменены физически исправленным решением. Задание 11-1 отсутствует и в вопросном, и в ключевом PDF.

Примечание читателя к нумерации. Второй напечатанный пункт 2.4 обозначен в разметке «2.4 (повторно)»; исходный номер не заменен на 2.5.

Оригинал в Архива: 2011_experimental_problems.pdf · решение от архива: 2011_experimental_solutions.pdf

$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
14	18
46	45
72	68
89	82
120	109
148	133
194	175
45	44
64	60
85	78
119	107
151	135
168	150
190	169

$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
14	18
46	45
72	68
89	82
120	109
148	133
194	175
45	44
64	60
85	78
119	107
151	135
168	150
190	169

$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
14	18
46	45
72	68
89	82
120	109
148	133
194	175
45	44
64	60
85	78
119	107
151	135
168	150
190	169