Съдържание

Условие Часть 1. Перетекание.Часть 2. Намокание.Решение

BelPhO 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. 10 класс · Задание 10-2. «Странные» законы движения.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2011

Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны 11 страниц условий и 28 страниц архивного ключа: пять целых экспериментов 9-1, 9-2, 10-1, 10-2 и 11-2, 39 напечатанных номерованных запросов, включая повторный 2.4. Задача 11-1 отсутствует в обоих PDF. Все доступные инструкции, оборудование, методы, формулы, таблицы с пустыми клетками, графики, дополнительный анализ и конечные объяснения сохранены. Баллы, рубрики и общий лимит времени не напечатаны. Исходные противоречия слов, обозначений, формул, чисел и единиц сохранены с отдельными примечаниями читателя. Отдельный измерительный бланк сканера не приложен. Обложки обеих архивных книг называют четырех авторов; дополнительное подтверждение официального ключа организаторов отсутствует.

Титульный лист условий

А.И. Слободянюк, Н.В. Козловский, В.В. Барашков, В.О. Богомолов. Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Гомель 2011.

Титульный лист архивного ключа

А.И. Слободянюк, Н.В. Козловский, В.В. Барашков, В.О. Богомолов. Республиканская физическая олимпиада 2011 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Решения задач. Гомель 2011. Совпадающий архивный ключ; отдельное подтверждение официального авторства организаторами не установлено.

Условие

Помимо равномерного и равноускоренного движения существуют и другие виды движения! Убедитесь в этом…

Часть 1. Перетекание.

Внимание! Этот эксперимент вы можете провести только один раз! Прежде чем заливать воду, тщательно продумайте свои действия. Имейте также в виду, что время измерений превышает 20 минут. Разбирать установку запрещено!

Две стеклянные трубки одна закрытая снизу, вторая — открытая с обоих концов, соединены кусочком пластиковой трубки. В месте соединения в обе трубки вставлена поролоновая пробка, через которую пропущены две тонкие пластиковые трубки для коктейля. Нижняя трубка полностью заполнена маслом. Устройство закреплено вертикально в лапке штатива.

Если верхнюю трубку полностью заполнить водой, то масло из нижней трубки начнет медленно перетекать в верхнюю по соломинке от коктейля.

Верхняя и нижняя трубки с соединением и соломинками.

Симметричная схема скорости Vₖ по соседним измерениям.

1.1 Заполните верхнюю трубку до верху водой. Вода начнет медленно по внутренней пластиковой трубке начнет опускаться в нижнюю трубку, а масло подниматься вверх. Измерьте зависимость высоты столбиков масла в верхней трубке и воды в нижней трубке от времени. Постройте графики полученных зависимостей.

1.2 Нарисуйте, как, по вашему мнению, пластиковые трубки проходят через поролоновую пробку.

1.3 На основании разумных предположений покажите, что скорость подъема воды в нижней трубке линейно зависит от высоты столбика воды $h$ в этой трубке

v=kh+b.\qquad (1)

1.4 На основании полученной экспериментальной зависимости проверьте предположение, высказанное в п. 1.3. Постройте график зависимости скорости подъема уровня воды от высоты этого уровня. Определите параметры $k,b$ в формуле (1), при которых она наиболее точно описывает экспериментальные данные.

Математическая подсказка. Предлагаем следующий алгоритм расчета скорости.

Пусть у вас есть таблица экспериментальных данных $t_k$ — момент времени, когда координата движущего тела равна $x_k$ . Тогда для вычисления скорости в точке $x_k$ предпочтительнее использовать симметричную схему

V_k=\frac{x_{k+1}-x_{k-1}}{t_{k+1}-t_{k-1}}.

Часть 2. Намокание.

Закрепите вертикально в лапке штатива полоску фильтровальной бумаги, на которую нанесите шкалу с шагом 0,5 см. Нижнюю часть полоски опустите в воду. Вода начнет медленно подниматься по бумаге.

2.1 Измерьте зависимость высоты подъема воды (длины намокшей части) от времени. Постройте график полученной зависимости.

2.2 На основании разумных предположений, покажите, что квадрат высоты подъема пропорционален времени

x^2=At.\qquad (2)

2.3 На основании экспериментальных данных проверьте выполнимость зависимости два. Определите коэффициент пропорциональности в этой формуле.

Подсказка. Подумайте, что такое $x$ в этой формуле и что вы измеряете.

Решение

Задание 10-2. «Странные» законы движения. Часть 1. Перетекание.

1.1 Результаты измерений зависимости высоты столбика масла $x$ в верхней трубке от времени даны в Таблице 1. Там же приведены и результаты необходимых в дальнейшем расчетов.

Симметричная схема расчета скорости в ключе.

Для расчета скорости использовалась предложенная в условии схема.

Отметим, что высота столбика воды в нижней практически такая же, как и масла в верхней. График полученной зависимости показан на рисунке.

Таблица 1. Перетекание масла.

$t$ , с	$x$ , мм	$v$ , мм/с	$\ln(L-x)$
37	0		5,159
99	5	0,136	5,130
147	15	0,227	5,069
165	20	0,256	5,037
186	25	0,250	5,004
205	30	0,303	4,970
219	35	0,345	4,934
234	40	0,313	4,898
251	45	0,303	4,860
267	50	0,303	4,820
284	55	0,294	4,779
301	60	0,286	4,736
319	65	0,250	4,691
341	70	0,227	4,644
363	75	0,213	4,595
388	80	0,204	4,543
412	85	0,208	4,489
436	90	0,182	4,431
467	95	0,169	4,369
495	100	0,169	4,304
526	105	0,154	4,234
560	110	0,147	4,159
594	115	0,132	4,078
636	120	0,118	3,989
679	125	0,115	3,892
723	130	0,115	3,784
766	135	0,106	3,664
817	140	0,088	3,526
880	145	0,081	3,367
941	150		3,178

1.2 Для объяснения наблюдаемого эффекта необходимо предположить, что нижний край верхней пластиковой трубки находится вверху нижнего сосуда, а верхний край нижней трубки внизу верхнего сосуда. В этом случае по первой трубке масло будет перетекать вверх, а по второй — вода вниз (см. рисунок).

1.3 Покажем, что скорость перетекания жидкостей линейно зависит от высоты столбика масла (и равной ей высоты столбика воды) $x$ . Обозначим давление жидкости на верхнем срезе трубки в верхнем сосуде $P_0$ , тогда давление в нижней области этой трубки будет равно

Схема обеих соломинок, вода/масло, давления P₀,P₁,высоты x,L−x и направления скорости.

P=P_0+\rho gx+\rho_0g(L-x),\qquad (1)

где $\rho_0,\rho$ — плотности воды и масла, соответственно, $L$ — высота сосуда и примерно равная ей длина трубки (различием в них и толщиной пробки пренебрегаем).

Аналогично для нижнего сосуда: $P_1$ — давление в его верхней части, тогда давление у дна

P=P_1+\rho g(L-x)+\rho_0gx.\qquad (2)

Разумно предположить, что скорость течения жидкостей в трубках пропорциональна разности давлений на ее концах³. Тогда для скорости течения масла (вверх!) можно записать уравнение

P_1-P_0-\rho gL=\beta v,\qquad (3)

где $\beta$ — некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических размеров трубки и вязкости масла, $\rho gL$ — гидростатическое давление масла в трубке. Аналогично для движения воды (вниз — поэтому гидростатическое давление воды в трубке войдет с другим знаком!) справедливо уравнение

\bigl(P_0+\rho gx+\rho_0g(L-x)\bigr)-\bigl(P_1+\rho g(L-x)+\rho_0gx\bigr)+\rho_0gL=\beta_0v.\qquad (4)

Сложив уравнения (3)–(4), и после приведения подобных членов, получим

\begin{aligned}P_1-P_0-\rho gL&=\beta v,\\\bigl(P_0+\rho gx+\rho_0g(L-x)\bigr)-\bigl(P_1+\rho g(L-x)+\rho_0gx\bigr)+\rho_0gL&=\beta_0v\end{aligned}\quad\Rightarrow\quad(\rho_0-\rho)g(L-x)=(\beta_0+\beta)v.\qquad (5)

Отсюда следует, что скорость движения жидкостей в трубках пропорциональна величине $(L-x)$ , то есть высоте столба воды в верхнем сосуде

v=\frac{(\rho_0-\rho)g}{\beta_0+\beta}(L-x).\qquad (6)

Следовательно, этой же величине пропорциональна и скорость движения границ масла и воды в обоих сосудах.

³ Это утверждение называют законом Пуазейля.

1.4 На графике показана зависимость скорости движения границы от координаты $x$ , рассчитанная по экспериментальным данным.

На начальном этапе, пока процесс перетекания не установился (когда случайным образом влияют пузырьки воздуха, капельки воды и масла в трубках) скорость даже возрастает. Этот же факт можно видеть и на начальном этапе графика закона движения. В дальнейшем скорость движения практически линейно зависит от координаты, что подтверждает проделанные теоретические расчеты.

График v(x), начальные отклонения и линейный участок.

Параметры линейной зависимости

v=kx+b,\qquad (7)

рассчитанные по МНК оказываются равными

\begin{aligned}k&=-(2{,}4\pm0{,}2)\cdot10^{-3}\,\text{с}^{-1},\\b&=(0{,}41\pm0{,}02)\,\text{мм/с}.\end{aligned}\qquad (8)

Заметим, что уравнение (7) можно записать в виде $v=k_1(L-x)$ , где $k_1=-k$ , $L=-\frac bk\approx175\,\text{мм}$ , что, во-первых, совпадает с видом уравнения (6); во-вторых, дает значение длины трубки $L$ близкое к ее реальной длине.

Дополнение (не обязательное для участников олимпиады).

Более строго и надежно закон движения можно обосновать на основании уравнения (6). Если скорость изменения координаты $x$ подчиняется уравнению

\frac{dx}{dt}=k(L-x),\qquad (9)

Логарифмический график ln(L−x) от времени.

т закон движения имеет вид

x=L(1-\exp(-kt)).\qquad (10)

Его удобно представить в логарифмической шкале

\ln(L-x)=\ln L-kt.\qquad (11)

График этой зависимости показан на рисунке. Как видно, в этом случае разброс точек значительно меньше (так как мы избежали процедуры численного дифференцирования). С помощью этого графика можно определить требуемые параметры с большей точностью. Так, например, коэффициент наклона оказывается равным $k=-(2{,}24\pm0{,}03)\cdot10^{-3}\,\text{с}^{-1}$ , что на порядок точнее, чем приведенное ранее значение.

Часть 2. Намокание.

2.1 Результаты измерений⁴ зависимости высоты подъема мокрой границы $x$ от времени $t$ приведены в Таблице 1. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 1. Намокание бумаги.

$x$ , мм	$t$ , с	$(x-x_0)^2$ , мм²	$\sqrt t$ , с $^{1/2}$
15	0	0	0,00
20	16	36	4,00
25	53	121	7,28
30	91	256	9,54
35	155	441	12,45
40	212	676	14,56
45	319	961	17,86
50	418	1296	20,45
55	552	1681	23,49
65	900	2601	30,00

Полоска бумаги, граница намокания и высота x.

⁴ В реальности измерялось время до достижения заданной величины, поэтому в таблице 1 шаг координаты постоянен, а шаг времени заметно изменяется. Поэтому, строго говоря, и следовало обрабатывать зависимость $t(x)$ . Однако, в данном случае нам важно проверить только вид зависимости, поэтому обработка обратной функции $x(t)$ более наглядна и приводит практически к тем же результатам.

2.2 Так как процесс подъема воды медленный, то можно считать, что его скорость определяется процессами вязкого трения. В этом случае сила сопротивления пропорциональны скорости движения и высоте поднятого столба. Силы поверхностного натяжения, поднимающие воду, постоянны. Поэтому, приравнивая эти силы, получим

\beta xv=f.\qquad (1)

Из этого уравнения следует

\beta xv=f\quad\Rightarrow\quad x\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac f\beta\quad\Rightarrow\quad x\Delta x=\frac f\beta\Delta t.\qquad (2)

Если просуммировать⁵ полученное уравнение, получим

(x-x_0)^2=At,\qquad (3)

где $A$ — неизвестная постоянная, выражающаяся через столь же неизвестные параметры $\beta,f$ . Для проверки данной зависимости можно воспользоваться двумя равноценными способами, построив зависимость либо $(x-x_0)^2=At$ , либо $x=x_0+\sqrt{At}$ .

На графиках представлены обе зависимости. Как видно, они достаточно близки к линейным, что подтверждает сделанное предположение и проведенные теоретический анализ. Значения требуемого параметра оказались в пределах погрешности совпадающими

A=(3{,}0\pm0{,}1)\,\text{мм}^2/\text{с}.

Отметим, что, не смотря на кажущееся подобие законов движения в двух частях данного задания, они оказались различными.

Справедливости ради следует сказать, что с определенной точностью процесс намокания бумаги также может быть аппроксимирован экспоненциальной зависимостью.

⁵ Проинтегрировать!

Примечание читателя — 9 класс · Задача 9-1. «Вода и масло»

Примечание читателя. Сохранены повторная нумерация (2), напечатанная погрешность 0,08 и слово «высоты» при обозначении длины $\Delta l$ . Условие упоминает две установки и секундомер, но в сохранившихся условии и ключе этой задачи напечатана только часть 1; дополнительная часть не восстановлена предположительно.

Примечание читателя — 9 класс · Задача 9-2. «Механический сканер»

Примечание читателя. Условие задает страницы 243–244, ключ — 245–246. Сохранены исходная фраза «а на нагрузку», единица даН/мм² в вводной цитате, значения таблицы при $X=4$ и 16 см (разности не совпадают с непосредственным вычитанием), обозначение $\ell_2$ в записи интервала и единица Н/см у теоретической суммы сил. Расчет не исправлен. Отдельный измерительный бланк, выданный как оборудование, в двух сохранившихся PDF не приложен; график ключа не выдается за пустой бланк.

Описание читателя к заключительному графику. На заключительном графике изображены зависимости: звездочка — $F_{\text{ТР}2}(X)$ , точка — $F_{\text{ТР}1}(X)$ , треугольник — $F_{\text{ТР}1}(X)-F_{\text{ТР}2}(X)$ .

Примечание читателя — 10 класс · Задание 10-1. «Стабилизация»

Примечание читателя. В запросе 3.2 напечатано «напряжения на резисторе», хотя заголовок части и ключ относятся к стабилитрону. Сохранены обе исходные строки таблицы после часа зарядки, включая сочетание $U_0=2{,}0$ В и $\overline U_C=3500$ мВ; в грубых оценках сохранен символ $U_R$ в знаменателе, хотя числа вычитаются для напряжения конденсатора. Заключительный ответ о последовательном подключении в ключе обозначен 4.2, тогда как в условии это 4.3–4.4. Численные данные для этого последнего графика отдельной таблицей не напечатаны; они не восстановлены из пикселей как точные измерения. Отдельная схема ВАХ названа очевидной, но не нарисована в ключе; новый рисунок не добавлен.

Примечание читателя к таблицам. Исходные обозначения и числа сохранены; пустые ячейки означают исходные пустые ячейки, единицы, кроме с для $\tau$ , в таблицах не подписаны.

Примечание читателя — 10 класс · Задание 10-2. «Странные» законы движения.

Примечание читателя. Сохранены исходное сложение давлений и уравнение (5), смена значения символа $k$ в необязательном дополнении (9)–(11), слово «т» перед (10), повторный заголовок Таблица 1 и все численные значения квадрата в таблице намокания; единое $x_0$ в ключе числом не задано. Эти строки не исправлены расчетом. Пустые клетки скорости у крайних измерений исходные.

Примечание читателя — 11 класс · Задание 11-2. Зеркало Френеля.

Примечание читателя. Повторный номер 2.4, слова «зеркала» в запросе про линзу и «линзы» в запросе 3.2, исходная разница обозначений $x,z,y$ сохранены. В ключе сохранены $\Delta x_1$ в (6), $R_1,\Delta R_1,K_1$ при расчетах второй поверхности, фраза про превышение погрешностей расстояний и их неучет, 9,64 в сумме коэффициентов для собирающей линзы, знак минус с положительными числами в расчете $n-1$ рассеивающей линзы, единица мм у столбца $1/y$ , формула синуса с $y$ в (15), повторный номер (15), все табличные синусы и положительные $d$ при отрицательных $y$ . Соотношения и числа не заменены физически исправленным решением. Задание 11-1 отсутствует и в вопросном, и в ключевом PDF.

Примечание читателя к нумерации. Второй напечатанный пункт 2.4 обозначен в разметке «2.4 (повторно)»; исходный номер не заменен на 2.5.

Оригинал в Архива: 2011_experimental_problems.pdf · решение от архива: 2011_experimental_solutions.pdf