Съдържание

Условие Часть 1.Часть 2.Часть 3.Часть 4.Отговори Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 2. Задание 2. Что такое длина и ширина?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2012 год. Экспериментальный тур

Условие

Приборы и оборудование: мензурка объемом 250 мл, две стальные спицы, мультиметр, источник питания ЛИП, резистор с известным сопротивлением (2 кОм), ключ двух полюсной, трубка пластиковая для коктейля, соединительные провода, чистая вода, кусочек наждачной бумаги, салфетки, линейка.

Вам должна быть хорошо знакома формула для расчета сопротивления проводника

R = \rho\frac{l}{S}, \qquad (1)

где $\rho$ - удельное сопротивление материала проводника, $l$ - его длина, $S$ - площадь поперечного сечения. Но в каком направлении измерять длину, а поперечное к чему сечение необходимо брать?

При выполнении данной работы вы должны продемонстрировать свое понимание этого вопроса. Вам предстоит измерять электрическое сопротивление слоя воды при протекании тока между спицами, вставленными в воду.

Время от времени зачищайте спицы наждачной бумагой. После каждой серии экспериментов меняйте воду в мензурке. Не пропускайте большой ток через воду – это приводит к появлению в воде большого числа ионов, которые могут «испортить» результата ваших экспериментов.

Мультиметр используйте только в режиме вольтметра!

Для измерения сопротивления используйте электрическую схему, показанную на рисунке. Здесь $R_0$ - резистор с известным сопротивлением, $R_x$ - измеряемое сопротивление (спицы в мензурке с водой).

Электрическая схема: источник (батарея), последовательно соединенные резисторы R0 и Rx; вольтметр V через переключатель подключается либо к R0, либо к Rx.

Часть 1.

1.1 Запишите формулу, по которой вы будете рассчитывать неизвестное сопротивление в приведенной схеме. Укажите, какие величины вы будете измерять.

Часть 2.

Опустите спицы до дна мензурки на максимальном расстоянии друг от друга. Закрепите их с помощью кусочков скотча.

Мензурка (цилиндр) с двумя спицами, опущенными до дна у противоположных стенок; к спицам подведены провода; высота налитой воды обозначена h.

2.1 Измерьте зависимость сопротивления между спицами от высоты налитой в мензурку воды. Постройте график полученной зависимости.

2.2 Нарисуйте схематически как, по вашему мнению протекает электрический ток через воду. Выскажите предположение о виде полученной зависимости $R(h)$ , запишите ее в виде формулы, в которой могут быть некоторые параметры. Объясните ваше предположение.

2.3 На основании полученных экспериментальных данных обоснуйте ваше предположение, высказанное в п. 2.2 (обоснование можно провести с помощью иного графика!). Определите неизвестные параметры вашей предполагаемой зависимости.

Часть 3.

Одну спицу поместите внутрь пластиковой трубки, так чтобы отрытым оставался только нижний конец спицы длиной в 1 см. Мензурку полностью заполните водой. Вторую спицу погружайте в воду на разную глубину.

Мензурка, полностью заполненная водой; одна спица находится внутри трубки (подпись «трубка») и доходит до дна, вторая спица погружена сверху; расстояние между концами спиц по вертикали обозначено l.

3.1 Измерьте зависимость сопротивления между спицами от расстояния между концами спиц $l$ (которое можно измерять по вертикали) Постройте график полученной зависимости.

3.2 Нарисуйте схематически как, по вашему мнению протекает электрический ток через воду в этом случае. Выскажите предположение о виде полученной зависимости $R(l)$ , запишите ее в виде формулы, в которой могут быть некоторые параметры. Объясните ваше предположение.

Возможно, что ваша формула будет приблизительно описывать полученную зависимость только в каком то интервале расстояний $l$ . Объясните возможные причины отклонений результатов измерений от предсказанной вами зависимости.

3.3 На основании полученных экспериментальных данных обоснуйте ваше предположение, высказанное в п. 3.2. Определите неизвестные параметры вашей предполагаемой зависимости.

Часть 4.

На основании полученных экспериментальных данных (каких именно определите самостоятельно) оцените удельное электрическое сопротивление воды.

Оценивать погрешность не нужно!

Отговори

Решение

1.1 Так как при последовательном соединении проводников сила тока одинакова через каждый из них, то справедливо соотношение

\frac{U_R}{R_0} = \frac{U_x}{R_x},

из которой следует расчетная формула для измеряемого сопротивления

R_x = R_0\frac{U_x}{U_R} \qquad (1)

Таким образом, для измерения неизвестного сопротивления необходимо измерить напряжения на измеряемом и известном резисторах.

Схема измерения: батарея, последовательно соединенные R0 и Rx; вольтметр V через переключатель; стрелками отмечены напряжения UR на R0 и Ux на Rx.

Если бы напряжение источника было стабилизировано, то достаточно было измерить напряжение на одном из них.

Часть 2.

Результаты измерений напряжений в зависимости от высоты уровня налитой воды представлены в Таблице 1. В ней же приведены результаты расчета сопротивления воды между электродами. Удобно проводить измерения по шкале мензурки, которая задана в миллилитрах. Простым измерением легко установить, что объему $V_0 = 200\,\text{мл}$ соответствует высота $h_0 = 175\,\text{мм}$ . Поэтому высота уровня налитой жидкости рассчитывается по формуле $h = V\frac{h_0}{V_0}$ .

Таблица 1. Зависимость от высоты столба воды.

V,мл	Ur, В	Ux, В	Rx, кОм	1/Rx, кОм $^{-1}$	h см
30	1,64	2,92	3,56	0,28	26,25
40	1,95	2,57	2,64	0,38	35,00
50	2,22	2,33	2,10	0,48	43,75
60	2,38	2,15	1,81	0,55	52,50
70	2,57	1,99	1,55	0,65	61,25
80	2,69	1,84	1,37	0,73	70,00
90	2,81	1,75	1,25	0,80	78,75
100	2,89	1,65	1,14	0,88	87,50
110	3,00	1,56	1,04	0,96	96,25
120	3,05	1,52	1,00	1,00	105,00
130	3,10	1,45	0,94	1,07	113,75
140	3,15	1,39	0,88	1,13	122,50
150	3,21	1,34	0,83	1,20	131,25
160	3,25	1,28	0,79	1,27	140,00
170	3,32	1,22	0,73	1,36	148,75
180	3,36	1,18	0,70	1,42	157,50
190	3,41	1,14	0,67	1,50	166,25
200	3,45	1,10	0,64	1,57	175,00
210	3,47	1,08	0,62	1,61	183,75
220	3,47	1,05	0,61	1,65	192,50
230	3,52	1,02	0,58	1,73	201,25
240	3,54	1,00	0,56	1,77	210,00
250	3,56	0,99	0,56	1,80	218,75

На рисунке показан график полученной зависимости. Кривая очень похожа на гиперболу, намекающую на обратно пропорциональную зависимость.

Схематическое распределение токов в этом случае показано на следующем рисунке. Ток протекает между боковыми поверхностями спиц, поэтому высота уровня жидкости определяет площадь некоторого эффективного поперечного сечения. Поэтому разумно предположить, что измеренное сопротивление обратно пропорционально высоте уровня жидкости

R_x = \frac{A}{h}. \qquad (2)

где $A$ - некоторая постоянная величина.

Для проверки этого предположения можно построить график зависимости проводимости от высоты уровня жидкости

\frac{1}{R_x} = \frac{1}{A}h. \qquad (3)

Построенный график подтверждает сделанное предположение – так как он очень близок к линейному. Только при больших $h$ наблюдаются отклонения от пропорциональной зависимости. Коэффициент наклона этого графика примерно равен 0,009 кОм $^{-1}$ мм $^{-1}$ . Следовательно, параметр $A$ в формуле (2) примерно равен

A = 11\,\text{кОм}\cdot\text{мм}. \qquad (4)

График R, кОм (0–4,0) от h, мм (0–250): экспериментальные точки убывают по гиперболической кривой от примерно 3,6 кОм при малых h до примерно 0,55 кОм при h около 220 мм.

График 1/R, кОм⁻¹ (0–2,5) от h, мм (0–250): точки близки к прямой, проходящей через начало координат; при больших h точки отклоняются вниз от прямой.

Схема распределения токов: «вид сбоку» — мензурка со спицами «+» и «−» у стенок, горизонтальные линии тока I в воде, эффективное сечение Sэф.; «вид сверху» — круг с точками «+» и «−» и дугообразными линиями тока I между ними, эффективное сечение Sэф.

Часть 3.

Результаты измерений и расчетов сопротивлений представлены в Таблице 2. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 2.

V,мл	Ur, В	Ux, В	Rx, кОм	h см
30	1,61	2,94	3,65	26,25
40	1,53	3,02	3,95	35,00
50	1,45	3,09	4,26	43,75
60	1,37	3,17	4,63	52,50
70	1,31	3,23	4,93	61,25
80	1,25	3,29	5,26	70,00
90	1,19	3,35	5,63	78,75
100	1,14	3,4	5,96	87,50
110	1,1	3,44	6,25	96,25
120	1,05	3,49	6,65	105,00
130	1,01	3,52	6,97	113,75
140	0,97	3,57	7,36	122,50
150	0,94	3,6	7,66	131,25
160	0,9	3,64	8,09	140,00
170	0,87	3,67	8,44	148,75
180	0,84	3,71	8,83	157,50
190	0,81	3,73	9,21	166,25
200	0,77	3,77	9,79	175,00
210	0,73	3,81	10,44	183,75
220	0,69	3,84	11,13	192,50
230	0,66	3,88	11,76	201,25
240	0,6	3,92	13,07	210,00

Полученная зависимость близка к линейной.

Примерное распределение токов в этом случае показано на следующем рисунке. В этом случае расстояние между спицами играет роль некоторой эффективной длины проводника, поэтому сопротивление воды между спицами в этом случае оказывается примерно линейно зависящим от $l$ , что и подтверждается экспериментальными данными. Небольшое дополнительное сопротивление может быть связано с ограничением токов вблизи острия спиц.

Функционально данная зависимость описывается формулой

R_x = al + b \qquad (5)

Параметры этой формулы можно найти с помощью построенного графика

a \approx 0{,}04\,\frac{\text{кОм}}{\text{мм}},\quad b \approx 2{,}5\ \text{кОм}. \qquad (6)

Полученное значение коэффициента наклона графика представляет собой сопротивление одного миллиметра столба воды, что дает возможность оценить ее удельное электрическое сопротивление

a = \frac{\Delta R}{\Delta l} = \frac{\rho}{S}\quad\Rightarrow\quad \rho = aS = a\frac{V_0}{h_0}. \qquad (7)

Подстановка численных значений дает

\rho = a\frac{V_0}{h_0} = 0{,}04\frac{10^3\,\text{Ом}}{10^{-3}\,\text{м}}\cdot\frac{200\cdot 10^{-6}\,\text{м}^3}{175\cdot 10^{-3}\,\text{м}} \approx 45\,\text{Ом}\cdot\text{м} \qquad (8)

График R, кОм (0–14) от l, см (0–250): точки лежат вблизи прямой от примерно 3,5 кОм до 10 кОм; последние точки при больших l поднимаются выше прямой, до примерно 13 кОм.

Схема распределения токов: мензурка с водой, одна спица у левой стенки до дна, вторая погружена сверху; изогнутые линии тока I между концами спиц; эффективная длина lэф. отмечена по вертикали.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2012_experimental_solutions.pdf