Съдържание

Условие Часть 0.Часть 1. Сопротивление мокрого картона.Часть 2.Отговори Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 3. 10 Класс. Задание 1. Диффузия соли.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Республиканская физическая олимпиада (III этап) 2012 год. Экспериментальный тур

Условие

Приборы и оборудование: источник тока (ЛИП, или батарейка 4,5 В), мультиметр, резистор сопротивлением 2,0 кОм, ключ двухполюсный, соединительные провода, две канцелярских скрепки, две полоски картона, тарелка одноразовая, стакан, чайная ложка, секундомер, линейка, вода, соль кухонная, скотч, салфетки бумажные, ножницы.

Намокший картон является проводником электрического тока. Если его посолить, то его электрическое сопротивление заметно падает. Вам предстоит измерить сопротивление картона. Также по измерению изменяющегося сопротивления изучить процесс диффузии соли в мокром картоне.

Внимание!

Эксперимент по изучению диффузии длится не менее 20 минут.

Планируйте свое время!

Для измерения сопротивления используйте электрическую схему, показанную на рисунке. Здесь $R_0$ - резистор с известным сопротивлением, $R_x$ - измеряемое сопротивление.

Электрическая схема: батарея, последовательно соединенные резисторы R0 и Rx; вольтметр V через переключатель подключается к R0 или к Rx.

Часть 0.

Запишите формулу, по которой вы будете рассчитывать неизвестное сопротивление в приведенной схеме. Укажите, какие величины вы будете измерять.

Картонные полоски подключайте в цепь, используя канцелярские скрепки в качестве контактов. Следите, чтобы они были крепко прижаты к картону. При измерениях картонную полоску размещайте в тарелке.

После каждой серии экспериментов с солью промывайте и протирайте тарелку, следите, чтобы ни соль, ни вода в тарелке не оставались.

Часть 1. Сопротивление мокрого картона.

Хорошо намочите полоску картона длиной 10 см в чистой воде. Для этого можете налить воду в тарелку и погрузить в нее полоску. Время намокания должно быть не менее 3-4 минут. Не забудьте слить воду перед измерениями сопротивления. Сначала проведите все измерения этой части, а потом приступайте к их обработке – иначе полоска высохнет.

1.1 Измерьте зависимость сопротивления полоски картона от расстояния между контактами (скрепками). Постройте график полученной зависимости.

Рекомендуем передвигать только одну скрепку, оставляя вторую на месте.

Начинайте измерения с малых расстояний.

1.2 После того, как расстояние между скрепками стало максимальным посолите ее по всей длине – соли не жалейте. Измерьте сопротивление соленой полоски длиной максимальной длины. После того, как вы насыпали соли, подождите несколько минут – дайте соли впитаться.

В этом пункте расстояние между контактами изменять не надо.

1.3 По полученным данным рассчитайте с максимальной точностью сопротивление одного сантиметра мокрой, но не соленой полоски.

1.4 Рассчитайте сопротивление одного сантиметра мокрой и соленой картонной полоски. Не забудьте оценить погрешности ваших результатов!

Часть 2.

Внимательно ознакомьтесь с заданием этой части: повторного эксперимента может и не быть! Разберитесь с тем, что вам нужно будет делать и, только после этого, приступайте к измерениям!

Используйте вторую полоску. Хорошо намочите ее, подключите к ней контакты (скрепки) на расстоянии около 5 см. Положите ее на дно тарелки и почти полностью закройте ее скотчем, но так, чтобы на середине полоски оставалась небольшая щель шириной около 2 мм.

Полоска картона, закрытая кусками скотча с узкой щелью посередине; на концах полоски — скрепки с проводами. Подписи: «скотч», «щель для соли», «скрепка», «скрепка».

2.1 Измерьте электрическое сопротивление полоски после ее закрепления на дне

Капните на щель немного воды, так, чтобы она покрыла ее. Насыпьте на щель горочку соли, так, чтобы она полностью накрыла щель.

2.2 Измерьте зависимость сопротивления между контактами от времени (не мене 20 минут).

2.3 Постройте график полученной зависимости. Качественно объясните его поведение.

При диффузии, расстояние $x$ , на которое смещаются диффундирующие частицы (в данном случае – ионы соли) связано со временем приближенным уравнением

x^2 = 2Dt.

2.4 Проверьте выполнимость этого закона в проведенном вами эксперименте. Оцените коэффициент диффузии соли $D$ .

Здесь можно обойтись без оценки погрешности.

Отговори

Решение

1.1 Так как при последовательном соединении проводников сила тока одинакова через каждый из них, то справедливо соотношение

\frac{U_R}{R_0} = \frac{U_x}{R_x},

из которой следует расчетная формула для измеряемого сопротивления

R_x = R_0\frac{U_x}{U_R} \qquad (1)

Таким образом, для измерения неизвестного сопротивления необходимо измерить напряжения на измеряемом и известном резисторах.

Схема измерения: батарея, последовательно соединенные R0 и Rx; вольтметр V через переключатель; стрелками отмечены напряжения UR и Ux.

При временных измерениях можно измерять только напряжение $U_x$ , а напряжение на резисторе рассчитывать по формуле $U_R = U_0 - U_x$ , где $U_0$ - напряжение источника $^1$ , тогда формула (1) преобразуется к

R_x = R_0\frac{U_x}{U_0 - U_R} \qquad (2)

$^1$ В своих измерения мы использовали стабилизированный источник, поэтому данные приведены только для напряжения $U_x$ , расчеты проведены по формуле (2).

Часть 1. Сопротивление мокрого картона.

Результаты измерения сопротивления полоски в зависимости от расстояния между контактами приведены в Таблице 1. Там же представлены результаты расчета сопротивлений. Справа показан график полученной зависимости.

Таблица 1.

$l$ , см	$U_x$ , B	$R_x$ , кОм
1	1,42	0,92
2	1,76	1,28
3	2,08	1,72
4	2,43	2,35
5	2,58	2,69
6	2,75	3,14
7	2,87	3,52
8	2,96	3,84
9	3,07	4,29
10	3,14	4,62

Расчет по МНК для линейной зависимости $R_x = al + b$ дал следующие значения параметров этой зависимости

a = (0{,}42 \pm 0{,}02)\frac{\text{кОм}}{\text{см}},\quad b = (0{,}54 \pm 0{,}12)\,\text{кОм}

Заметное постоянное сопротивление $b$ скорее всего, связано с сопротивлением подводящих контактов.

Параметр $a$ дает искомое сопротивление 1 сантиметра мокрого картона.

Измеренное сопротивление добротно посоленной картонной полоски оказалось равным $R_1 = 0{,}011\frac{\text{кОм}}{\text{см}}$ , что значительно (в 50 раз!) меньше сопротивления полоски без соли.

График Rx, кОм (0–6) от l, см (0–12): десять экспериментальных точек около прямой, идущей от примерно 0,9 кОм при l = 1 см до 4,6 кОм при l = 10 см.

Часть 2.

Так как сопротивление «соленой» полоски значительно меньше несоленой, то можно считать, что та часть картона до которой в следствии диффузии дошла соль имеет нулевое сопротивление. Иными словами сопротивление определяется только оставшейся несоленой частью. Далее, в 1 части было показано, что сопротивление полоски пропорционально ее длине. Поэтому будет выполняться соотношение

\frac{R_0 - R}{R_0} = \frac{l_0 - l}{l_0} = \frac{x_c}{l_0} = \eta \qquad (3)

где $x$ - длина участка полоски, до которой дошла соль, $\eta$ - отношение длины просолившейся части к длине полоски (или размер просолившейся части в относительных единицах). Тем самым по измерению зависимости сопротивления от времени можно изучать диффузионное движение соли.

В таблице 2 приведены результаты измерений зависимости сопротивления от времени и результаты расчетов величины $\eta$ (начальное сопротивление равнялось 0,66 кОм). Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 2.

$t$ , мин	ит $U_x$ , B	$R_x$ , кОм	$\eta$
1	711	0,38	0,43
2	687	0,36	0,46
3	675	0,35	0,47
4	665	0,35	0,48
5	658	0,34	0,48
6	651	0,34	0,49
7	648	0,34	0,49
8	643	0,33	0,50
9	636	0,33	0,50
10	630	0,33	0,51
11	627	0,32	0,51
12	623	0,32	0,52
13	617	0,32	0,52
14	613	0,32	0,52
15	607	0,31	0,53
16	601	0,31	0,53
17	593	0,30	0,54
18	584	0,30	0,55
19	581	0,30	0,55
20	573	0,29	0,56
21	567	0,29	0,56
22	563	0,29	0,57
23	558	0,28	0,57

График похож на корневую зависимость. Для проверки этого предположения можно построить зависимость смещения от $\sqrt{t}$ . Этот график показан справа. Видно, что полученная зависимость действительно близка к прямо пропорциональной, что подтверждает приведенный в условии закон диффузии. Согласно этому закону ширина просолившейся полоски (с учетом того, что диффузия идет в обе стороны) равна

x = \sqrt{4Dt}

Следовательно, коэффициент наклона приведенного графика определяется формулой

a = \frac{\Delta\eta}{\Delta\left(\sqrt{t}\right)} = \frac{2}{l_0}\sqrt{D} \qquad (3)

Из которой следует, что коэффициент диффузии может быть оценен, как $D = \frac{a^2 l_0^2}{4}$ .

Найденной значение коэффициента наклона $a = 0{,}034$ (время в минутах) дает следующее значение коэффициента диффузии

D = \frac{0{,}034^2\,\text{мин}^{-1}\cdot 5^2\,\text{см}^2}{4} = \frac{0{,}034^2\,\frac{1}{60}\,\text{с}^{-1}\cdot 5^2\cdot 10^{-4}\,\text{м}^2}{4} = 1{,}2\cdot 10^{-8}\,\frac{\text{м}^2}{\text{с}}.

График η (0,40–0,60) от t, мин (0–25): точки растут от 0,43 до 0,57 и приближены возрастающей корневой кривой.

График η (0,40–0,60) от √t (0–5,0): точки лежат вблизи прямой, возрастающей от примерно 0,40 при √t = 0 до примерно 0,57 при √t ≈ 4,8.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_experimental_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2012_experimental_solutions.pdf