Съдържание

Условие 9.1. Простая задача про простые механизмы Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 9-1. Простая задача про простые механизмы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

Когда великий Архимед открыл правило рычага, он воскликнул: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!». И не случайно — еще в античные времена это правило трансформировалось в «золотое правило механики»: «ни один механизм не дает выигрыша в работе, во сколько раз выигрываешь в силе, во столько раз проигрываешь в работе!». А через 2 тысячи лет из этого правила вырос закон сохранения энергии, основа современной физики.

Вам предстоит доказать, что Вы тоже понимаете «золотое правило механики» и его применение к различным механизмам. В каждой части не только приведите ответ, но и обоснуйте его. Во всех устройствах трением пренебрегайте.

9.1. Простая задача про простые механизмы

1.1 Ворот. Подъемное устройство (ворот) состоит из двух соединенных толстых дисков, насаженных на одну горизонтальную ось. Радиусы дисков равны $R_1,R_2$ . На боковые поверхности дисков намотаны крепкие веревки. Одну из них тянут горизонтально с постоянной силой $\vec F_0$ . Определите массу груза $m$ , который можно поднять с помощью этого устройства.

1.2 Полиспаст. На рисунке показано еще одно подъемное устройство — полиспаст. Определите массу груза $M$ , который может поднять человек массы $m_0$ с помощью этого устройства. Масса всех одинаковых блоков полиспаста равна $m_1$ , массой остальных его частей можно пренебречь.

1.3 Лебедка. На рисунке показана схема еще одного подъемного устройства — лебедки. Сдвоенные шестерни 1–4 имеют $n_1$ зубьев на большей шестеренке и $n_2$ зубьев на меньшей шестеренке (причем $n_1=2n_2$ ). На последней 5 ступени меньшая шестеренка заменена на диск радиуса $r$ , на который намотана веревка, к которой привязывают поднимаемый груз $m$ . Первую шестерню приводят во вращения с помощью червячного механизма. Ось червяка вращают с помощью ручки, длина плеча которой равна $l$ . Силу $F_0$ прикладывают к рукоятке перпендикулярно плечу. Определите массу груза, которую можно поднять с помощью этой лебедки.

1.4 Домкрат. На рисунке показан домкрат и его схема. Основу домкрата составляет подвижная рама $ABCD$ , имеющая форму ромба со стороной $a=25\,\text{см}$ . Эти стороны соединены шарнирно. Между точками $A$ и $C$ находится стержень с резьбой с шагом $h=2{,}0\,\text{мм}$ . При вращении стержня узел $A$ (внутри которого имеется гайка с соответствующей резьбой) приближается к узлу $C$ , при этом узел $B$ поднимается и поднимает необходимый груз. Стержень с резьбой вращают с помощью рукоятки $AE$ , длина которой $L=30\,\text{см}$ . Силу $F_0=50\,\text{Н}$ прикладывают к ручке рукоятки перпендикулярно к плечу $AE$ . Рассчитайте подъемную силу домкрата (т.е. силу $F$ ) в тот момент, когда расстояние $AC$ (обозначим его $x$ ) в два раза больше расстояния $BD$ . Постройте примерный график зависимости подъемной силы домкрата от длины $x$ (которая изменяется в ходе подъема).

Подсказка. Рассмотрите малое изменение величины $x$ .

Домкрат: исходная фотография и схема ABCD с рукояткой AE

Решение

1.1. Ворот

Если конец веревки, к которой приложена сила, сместить на расстояние $l$ , то груз поднимется на высоту $h$ , которую можно найти из условия равенства углов поворота:

\frac l{R_1}=\frac h{R_2}.\qquad (1)

В соответствии с «золотым правилом» выполняется условие

F_0l=mgh.\qquad (2)

Из этих выражений следует, что масса поднимаемого груза равна

m=\frac{F_0}g\frac{R_1}{R_2}.\qquad (3)

1.2. Полиспаст

Из условия постоянства длины веревки следует, что если человек опустит конец веревки на величину $l$ , то груз поднимется на высоту $h=l/8$ . Так как максимальная сила, которую может приложить человек, равна $m_0g$ , то максимальный груз, который можно поднять, находится из «золотого правила механики»:

m_0gl=\left(M+\frac{m_1}{2}\right)gh.\qquad (1)

Откуда следует, что

M=8m_0-\frac{m_1}{2}.\qquad (2)

1.3. Лебедка

Допустим, рукоятку повернули на один оборот (при этом ее конец прошел расстояние равное $L=2\pi l$ ), первая шестерня повернулась на угол $\varphi_1=2\pi/n_1$ . Вторая шестерня при этом повернется на угол в 2 раза меньший (так как на меньшей шестеренке в два раза меньше зубьев), угол поворота каждой следующей также будет в два раза меньше предыдущей. Следовательно, пятая шестерня повернется на угол $\varphi_5=\varphi_1/16$ , при этом груз поднимется на высоту

h=r\varphi_5=r\frac1{16}\frac{2\pi}{n_1}.\qquad (1)

Из «золотого правила механики» следует равенство

F_0L=mgh\quad\Rightarrow\quad m=F_0\frac Lh=F_0\frac{2\pi l}{r\frac1{16}\frac{2\pi}{n_1}}=16n_1\frac lrF_0.\qquad (2)

1.4. Домкрат

Нам необходимо связать путь, пройденный рукояткой, с высотой подъема груза. Пусть узел $A$ сместился на малое расстояние $\Delta x$ , а груз поднялся на высоту $\Delta y$ . Из теоремы Пифагора для длины стороны ромба можно записать два выражения (до смещения и после смещения)

\begin{aligned}\left(\frac x2\right)^2+\left(\frac y2\right)^2&=a^2,\\ \left(\frac{x-\Delta x}{2}\right)^2+\left(\frac{y+\Delta y}{2}\right)^2&=a^2.\end{aligned}\qquad (1)

Здесь $y$ — высота $BD$ до начала смещения. Раскроем скобки во втором уравнении

\frac{x^2-2x\Delta x+(\Delta x)^2}{4}+\frac{y^2-2y\Delta y+(\Delta y)^2}{4}=a^2.\qquad (2)

Так как мы считаем смещения малыми, то в этой формуле можно пренебречь еще более малыми квадратами смещений. Если теперь из уравнения (2) вычесть первое уравнение системы (1), то получим

-2x\Delta x+2y\Delta y=0\quad\Rightarrow\quad\Delta y=\frac yx\Delta x.\qquad (3)

Если рукоятка сделает один оборот (ее конец пройдет путь $S=2\pi L$ ), то узел $A$ сместится на величину шага винта $\Delta x=h$ , при этом груз поднимется на величину $\Delta y=(y/x)h$ . В очередной раз записываем уравнение, следующее из «золотого правила механики»

2\pi LF_0=F\frac yxh\quad\Rightarrow\quad F=\frac{2\pi L}h\frac xyF_0.\qquad (4)

Подставляя численные значения, получим окончательный результат

F=\frac{2\pi L}h\frac xyF_0=\frac{2\pi\cdot30\,\text{см}}{0{,}2\,\text{см}}\cdot2\cdot50\,\text{Н}=9{,}4\cdot10^4\,\text{Н}.\qquad (5)

Итак, грузоподъемность — более 9 Тонн, а приложенная сила всего-то 5 Килограмм!

Для построения графика в формуле (4) необходимо выразить подставить $y$ как функцию $x$ . Эту зависимость можно выразить из первого уравнения системы (1):

y=\sqrt{4a^2-x^2}.\qquad (6)

Таким образом, искомая функция имеет вид

F=\frac{2\pi L}h\frac xyF_0=\frac{2\pi L}hF_0\frac{x}{\sqrt{4a^2-x^2}}=\frac{2\pi L}hF_0\frac{x/a}{\sqrt{4-(x/a)^2}}=4{,}7\cdot10^4\frac{x/a}{\sqrt{4-(x/a)^2}}.\qquad (7)

График этой функции можно построить по точкам. При $x\to2a$ , то есть в начале подъема грузоподъемность наибольшая, по мере подъема грузоподъемность падает.

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf