Съдържание

Условие Для разминки 9.2. Убойная задача про убойные механизмы Решение

BelPhO 2012, Областен етап — Задача 9-2. Убойная задача про убойные механизмы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — III этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts and76lowest native requests. Complete available archive keys, tables, graphs, reference data and all52figures retained. Native printed signs, units, numerical/label discrepancies and source omissions preserved with separately attributed reader notes. Resonance question9 height-detuning graph absent from key; solution marked incomplete without invention. No further theoretical companion listed.

Республиканская физическая олимпиада (III этап), 2012 год — Теоретический тур

А.И. Слободянюк

А.А. Мищук

В.И. Анцулевич

Л.Г. Маркович

Условие

Попасть точно в цель из артиллерийского орудия — не простая задача. Еще более сложная — рассчитать, куда попадет снаряд при заданной скорости вылета и ориентации ствола. Необходимо рассмотреть множество факторов — ветер, вращение земли и т.д. В данной задаче мы предлагаем Вам учесть тот факт, что снаряд вылетает не точно вдоль ствола, а имеет некоторую скорость и в перпендикулярном направлении. Величина и направление этой скорости зависят от многих случайных факторов, поэтому при одной и той же ориентации ствола и одинаковой начальной скорости (вдоль ствола) вылета снарядов они будут попадать в некоторую область, границы которой Вам предстоит определить.

Историческое артиллерийское орудие в условии

Для разминки

Пусть снаряд вылетает из пушки со скоростью $v_0$ , направленной вдоль ствола, ориентированного под углом $\alpha$ к горизонту. Ось $x$ направим вдоль земли в направлении движения снаряда. Ось $y$ — перпендикулярно земле.

0 Запишите уравнения движения снаряда ( $x(t),y(t)$ ) и определите дальность полета $x_0$ .

9.2. Убойная задача про убойные механизмы

Помимо скорости $\vec v_0$ , направленной вдоль оси ствола (в плоскости $xOy$ и под углом $\alpha$ к горизонту), в результате случайных факторов снаряд в момент выстрела приобретает дополнительную скорость, направленную перпендикулярно вектору $\vec v_0$ . Эту дополнительную скорость можно разложить на две компоненты: $\vec u$ , лежащую в плоскости $xOy$ , и $\vec w$ — направленную перпендикулярно ей, то есть вдоль оси $Oz$ .

Оси x y z и скорости v0 u w; исходная подпись места падения x1 y1

1 Запишите выражения для проекций скорости снаряда на соответствующие оси координат: $v_x,v_y,v_z$ .

2 Запишите уравнения движения снаряда вдоль всех трех осей.

3 Определите координаты места падения снаряда $(x_1;z_1)$ .

4 Отклонением снаряда от расчетной траектории назовем величины: $\Delta x=x_1-x_0$ и $\Delta z=z_1$ . Скорости $u$ и $w$ значительно меньше скорости $v_0$ , поэтому, отбросив несущественные слагаемые, выражения для $\Delta x$ и $\Delta z$ можно записать в простом виде:

\Delta x=A\cos2\alpha,\qquad\Delta z=B\sin\alpha.

Выразите постоянные $A$ и $B$ через $u$ и $w$ , $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ .

5 Пусть $v_0=500\,\text{м/с}$ , $g=10{,}0\,\text{м/с}^2$ . Рассмотрите частные случаи:

а) $u=\pm10{,}0\,\text{м/с}$ , $w=0$ ;
б) $w=\pm10{,}0\,\text{м/с}$ , $u=0$ .

Рассчитайте величины отклонений ( $\Delta x$ и $\Delta z$ ) для углов $30{,}0^\circ$ , $45{,}0^\circ$ и $60{,}0^\circ$ градусов.

6 При стрельбе скорости $u$ и $w$ меняются случайным образом, однако максимальная суммарная перпендикулярная скорость $\sqrt{u^2+w^2}$ не превосходит значения $u_0$ . Пусть $u_0=10\,\text{м/с}$ . Изобразите схематически область, в которую будут попадать снаряды при многочисленных выстрелах с одной и той же скоростью $v_0=500\,\text{м/с}$ при одинаковом угле $\alpha$ . Рассмотрите три случая для углов: $30{,}0^\circ$ , $45{,}0^\circ$ и $60{,}0^\circ$ градусов.

Тригонометрические подсказки:

\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha,\qquad2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha,\qquad\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha.

Решение

0. Уравнения движение вдоль осей:

x(t)=v_0\cos\alpha\,t,\qquad (1)

y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}.\qquad (2)

Время полета снаряда:

t_\text{п}=2\frac{v_0\sin\alpha}{g}.\qquad (3)

Тогда дальность полета:

x_0=\frac{2v_0^2\cos\alpha\sin\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}.\qquad (4)

1. Проекции скорости на оси:

v_x=v_0\cos\alpha-u\sin\alpha,\qquad (5)

v_y=v_0\sin\alpha+u\cos\alpha,\qquad (6)

v_z=w.\qquad (7)

2. Уравнения движения:

x(t)=(v_0\cos\alpha-u\sin\alpha)t,\qquad (8)

y(t)=(v_0\sin\alpha+u\cos\alpha)t-\frac{gt^2}{2},\qquad (9)

z(t)=wt.\qquad (10)

3. Время полета снаряда:

t_\text{п}=2\frac{v_0\sin\alpha+u\cos\alpha}{g}.\qquad (11)

Подставляя в (8) и (10), получим:

x_1=2(v_0\cos\alpha-u\sin\alpha)(v_0\sin\alpha+u\cos\alpha)=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}-\frac{u^2\sin2\alpha}{g}+\frac{2v_0u\cos2\alpha}{g},\qquad (12)

z_1=2w\frac{v_0\sin\alpha+u\cos\alpha}{g}.\qquad (13)

4. Величины отклонения равны:

\Delta x=\frac{2v_0u\cos2\alpha}{g}-\frac{u^2\sin2\alpha}{g},\qquad (14)

\Delta z=\frac{2wv_0\sin\alpha}{g}+\frac{2wu\cos\alpha}{g}.\qquad (15)

Т.к. $w\ll v_0$ и $u\ll v_0$ , то вторыми слагаемыми в выражениях можно пренебречь. Тогда искомые постоянные равны:

A=\frac{2v_0u}{g},\qquad (15)

B=\frac{2v_0w}{g}.\qquad (16)

5. Результаты расчетов представлены в таблице:

Случай	$\alpha=30{,}0^\circ$	$\alpha=45{,}0^\circ$	$\alpha=60{,}0^\circ$
а) $u=\pm10{,}0\,\text{м/с},w=0$	$\pm500\,\text{м}$	$0\,\text{м}$	$\pm500\,\text{м}$
б) $w=\pm10{,}0\,\text{м/с},u=0$	$\pm500\,\text{м}$	$\pm707\,\text{м}$	$\pm866\,\text{м}$

Заметим, что при угле $\alpha=45{,}0^\circ$ отклонение вдоль оси $x$ получилось равным нулю. На самом деле если учесть ранее отброшенное в (13) слагаемое, то величина отклонения оказывается равной $-10\,\text{м}$ , что совершенно несущественно.

6. Найденные в предыдущем пункте значения — это крайние точки искомой области. Но чем больше скорость вдоль одного направления, тем меньше она вдоль другого. Поэтому точки необходимо соединить кривой, похожей (неужели?) на эллипс. В зависимости от угла, эта область будет иметь различную протяженность вдоль соответствующих осей. При угле $\alpha=30{,}0^\circ$ — это круг. А при угле $\alpha=45{,}0^\circ$ — прямая линия (см. рис.1).

Рис.1. Исходные области разброса для трех углов с осями x y

Reader note: complete obtainable source packet and archive authority

Nine whole assignments belong to grades9,10,11, three in each cohort; repeated printed11.1 belongs to the distinct Railgun assignment and is retained. The52native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. No separate theory response form, numerical grading rubric or further theory companion is listed. Cover artwork remains in the native PDF; all52scientific/illustrative question/key crops are retained. Catalogue74parts is provisional; actual lowest native requests total76. No causal claim about the catalogue count is made.

Reader note: resonance answer gap

The native question9 asks for the maximum-height graph against detuning. The obtainable key has no such graph: its heading9 estimates the height error requested by question10. The available y(t) key graph is retained for question6. No missing height-detuning graph was invented; the resonance solution is explicitly incomplete.

Примечание читателя: 9.1. Простая задача про простые механизмы

В условии буквально напечатано «проигрываешь в работе»; это не исправлено на расстояние. Формула массы лебедки в архивном ключе после $F_0L=mgh$ теряет деление на $g$ . В решении домкрата знак линейного члена в (2) расходится с (1), а переход (3) меняет отношение $x/y$ на $y/x$ . Все дальнейшие исходные формулы, численный результат, словесные единицы и график сохранены как напечатаны; эти замечания не являются исправленным решением.

Примечание читателя: 9.2. Убойная задача про убойные механизмы

В исходном рисунке условия подпись точки — $(x_1,y_1)$ , хотя текст использует $(x_1,z_1)$ ; в рисунке ключа вертикальная ось подписана $y$ . В первом произведении (12) ключа отсутствует деление на $g$ , которое присутствует в последующих членах. Номер (15) повторен, а ссылка (13) в обсуждении отклонения сохранена буквально.

Примечание читателя: 9.3. Большая теплая задача про тепловые большие механизмы

В справочных данных теплоемкость воды $4{,}2\cdot10^3$ , а в первом расчете ключа $4{,}21\cdot10^3$ ; оба значения оставлены. Исходная формула теплопроводности дана для единичного сечения, однако в ответе2.2.3 ключ не умножает ее на площадь данного стержня и печатает $2{,}7\cdot10^3\,\text{Вт}$ . Это исходное расхождение, а не исправленный расчет.

Примечание читателя: 10.1. Лихач (не задирай носа)

В ключе используется $g=9{,}81\,\text{м/с}^2$ . Формула (16) не содержит множителя $l$ в знаменателе, а следующая численная подстановка содержит. В обсуждении старта с пробуксовкой единица ускорения буквально $\text{м/с}$ ; нумерация (13) повторяется. Эти исходные расхождения сохранены.

Примечание читателя: 10.2. Две трубы, два поршня, две части…

Первое обозначение ключа «2.1.2.2» относится к воздушным вопросам1.1/1.2. Отрицательная формула изменения давления и положительное число $5{,}6\,\text{кПа}$ напечатаны вместе; в (8) стоит $p_2+\Delta p$ , в (10) $V/V_1$ . Число $4{,}5\,\text{кг}$ в (13) расходится с формулой и исходными данными. Во второй части сохраняются та же положительная сила $T$ и знаки сил, но текст называет стержень растянутым, тогда как первая часть — сжатым. Нумерация формул и замена заданной массы $m$ на $M$ в ключе оставлены. Эти замечания обозначают источник, без подмены напечатанного решения.

Примечание читателя: 10.3. В чем причина появления поверхностной энергии?

Заголовок ключа говорит о поверхностном натяжении, условие — об энергии. В (7) ключа смешаны $\varepsilon$ и $\delta$ . В таблице клетка $u_5$ буквально имеет показатель $-5$ и дополнительный конечный штрих, сохраненный как тире; эта клетка расходится с формулой коэффициента. В дополнительном выводе буквально $\delta=nr_0$ , суммирование «от нуля», а положительный линейный член квадратичной энергии расходится с указанным положительным положением минимума. В (12) стоит $F_{23}$ , на рисунке $F_{13}$ . В (15) вместо табличного $s_2$ подставлено $2{,}66\cdot10^{-2}$ , равное табличному $c_2$ . Положительные деформации (18)–(19) сопровождаются словом «сжатие»; арифметика (21) дает знак, противоположный напечатанному. Все исходные знаки, значения, слова, добавочные выводы и заключение сохранены без исправления.

Примечание читателя: 11.1. Новые Архимеды

В формуле (4) напечатано $T_0$ , тогда как график непрерывен после завершения погружения нижнего цилиндра и предыдущее значение — $T_1$ . В конусе ключ использует $\theta$ , условие $\alpha$ ; начало отсчета в формуле конуса отдельно не поясняется. Вопрос требует $r(z)$ , ключ печатает $r(x)$ без явного преобразования координат. Все исходные формулы и оба измеренных графика сохранены.

Примечание читателя: 11.2. Резонанс

Последний напечатанный пункт9 ключа является оценкой ошибки, запрошенной в вопросе10. Для вопроса9 отдельный график высоты от расстройки в полностью прочитанных страницах23–24 отсутствует; он не придуман. В вопросе7 напечатаны вместе количество ударов и слово «время»; ключ дает $k$ . Формулы моментов столкновений и график сохраняют исходную приблизительную нумерацию и значения.

Примечание читателя: 11.1 (третий вопрос). «Railgun»

Этот третий самостоятельный вопрос11класса исходно озаглавлен «Задача1», в ключе «11.1», как и предыдущие «Новые Архимеды»; два разных задания сохранены отдельно. В производной (5) ключ меняет степени знаменателя; в (21) второй переход вводит дополнительный множитель2, переносимый в (25). Исходные знаки силы, формулы скоростей, описание притяжения/отталкивания и объяснение энергетической оговорки сохранены буквально, без исправленного вывода.

Оригинал в Архива: 3_etap_2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2012_theoretical_solutions.pdf